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河北省衡水中学2013届高三第三次模拟考试数学(文)试题含答案)


河北省衡水中学 2013 届高三第三次模拟考试



学(文)



题 2013.04

第I卷

选择题 (共 60 分)

一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的 序号填涂在答题卡上)

1.“ a ? b ? 0 ”是“

1 1 ? ”的( a b

)条件 B.必要而不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 ( C. )

A.充分而不必要 2.复数

1 1 的虚部为 ? i ? 2 1 ? 2i 1 1 A. ? B. ? i 5 5

1 5

D. i

1 5

3.已知 α、β 是不同的平面,m、n 是不同的直线,给出下列命题: ①若 m ? ? , m ? ? , 则? ? ? .
?

②若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? 则 ? // ? ③如果 m ? ? , n ? ? ,m、n 是异面直线,那么 n 与 α 相交。 ④若 ? ? ? ? m, n / / m, 且n ? ? , n ? ? ,则 n//α 且 n//β。 其中正确命题的个数是( A. 4 4.若 tan ? + A. B.3 ) C.2 ) C. D.1

1 5

1 =4,则 sin2 ? =( tan ? 1 B. 4

5.将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 是( ).

?
4

1 3

D.

1 2

个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式

A. y ? cos 2 x

B. y ? 2 cos x
2

C. y ? 1 ? sin( 2 x ?

?
4

)

D. y ? 2sin x
2

6.设等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,若 S 9 ? 72 ,求 a2 ? a4 ? a9 的值是( A.24 B.19 C.36

) D.40

7.已知某个几何体的三视图如右图,根据图中标出的尺寸 (单位: cm) ,可得这个几何体的体积是( )

A.

5 3 cm 2

B.

3 3 cm 2

C. 3 cm3

D.2 cm3

8.对于使 ? x 2 ? 2 x ? M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最 小值 1 叫做 ? x 2 ? 2 x 的上确界,若 a、b ? R ? ,且 a ? b ? 1 ,则 ?

1 2 ? 的上确界为( 2a b
D.-4



A.

9 2

B. ?

9 2

C.

1 4
)

9.函数 f (x ) ? ? A.0

?ln x ? x 2 ? 2x (x ? 0) ?2x ? 1(x ? 0)
B.1

的零点的个数为( C.2

D.3

10.如图,点 P 为⊙O 的弦 AB 上一点,且 AP=16,BP=4,连接 OP, 作 PC⊥OP 交圆于 C,则 PC 的长为( A.9 B.8 ) C.6 D.4

11.已知函数 f (x ) ?| sin x | 的图象与直线 y ? kx (k ? 0) 有且仅有三个公共点,这三个公共 点横坐标的最大值为 a ,则 a 等于( A. ? cos a 12.过抛物线 y
2

) C. ? tan a D. tan a

B. ? sin a

? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,抛物线准线与 x 轴
)

交于 C 点,若 ?CBF ? 90 0 ,则|AF|-|BF|的值为( A.

p 2

B. p

C.

3 p 2

D. 2 p

第Ⅱ卷
?? ?

非选择题

(共 90 分)

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题纸的相应位置上) 13.设单位向量 m ? ( x, y ), b ? (2, ?1) 。若 m ? b ,则 | x ? 2 y |? _________

??

?

ex ?1 1 , 若f (m) ? , 则f ( ?m) ? 14.已知 f ( x) ? x e ?1 2

? 15.如右图:PA 为圆 O 的切线,A 为切点,割线 PBC 过圆
心 O,PA=10,PB=5,则 AC 长为 16.已知 ?ABC 的一个内角为 120o,并且三边长构成公差

为 4 的等差数列,则 ?ABC 的面积_______________ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. ( 本 题 满 分 10 分 ) 在 极 坐 标 中 , 已 知圆 C 经 过 点 P (1,?

?
3

) ,圆心为直线

? 2 与极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程. ? cos(? ? ) ?
4 2

18.(本题满分 12 分) 已知数列 ?a n ? 的通项公式为 a n ? 2n ? 1 , 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , 且满足 Tn ? 1 ? bn (1)求 {bn } 的通项公式; (2)在 ?an ? 中是否存在使得

1 是 {bn } 中的项,若存在,请写出满足题意的一项(不 an ? 25

要求写出所有的项) ;若不存在,请说明理由.

19.(本题满分 12 分) 如图,PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面,

AD ? PA ? 2, CD ? 2 2 ,E、F 分别是 AB、PD 的中点.
(1)求证:平面 PCE ? 平面 PCD; (2)求三棱锥 P-EFC 的体积.

20. (本题满分 12 分)过点 F (0,1) 作直线 l 与抛物线

x 2 ? 4 y 相交于两点 A、B ,圆 C : x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1
(1)若抛物线在点 B 处的切线恰好与圆 C 相切, 求直线 l 的方程;

BD、 (2)过点 A、B 分别作圆 C 的切线 AE , BD
试求 AB ? AE ? BD 的取值范围.
2 2 2

21.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? x ? ln x, a ? R.
2

(1)若 a ? 0, 求f ( x) 的单调区间; (2)若函数 f ( x) 存在极值,且所有极值之和大于 5 ? ln

1 ,求 a 的取值范围。 2

22.(本题满分 12 分)已知 F1 , F2 分别为椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,点 A, B 在椭圆上, 3

且 F1 A ? 5 F2 B (1)求点 A 的坐标; (2)设点 C 与点 A 关于坐标原点对称,直线 F2 B 上有一点 H (m, n)(m ? 0) 在 ?AF1C 的外 接圆上,求

????

???? ?

n 的值 m

高三年级数学试卷(文科)答案

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.. 【答案】解:∵圆 C 圆心为直线 ? cos(? ?

?
4

)?

2 与极轴的交点, 2

∴在 ? cos(? ?

?
4

)?

2 中令? =0 ,得 ? ? 1 。 ∴圆 C 的圆心坐标为(1,0) 。 2
3 ) ,∴圆 C 的半径为 | PC |? 1 。∴圆 C 经过极点。

∵圆 C 经过点 P (1,?

?

∴圆 C 的极坐标方程为 ? =2cos ? 。 18. .解: (I)当 n ? 1 时,? b1 ? T1 ? 1 ? b1 ? b1 ? 当 n ? 2 时,? Tn ? 1 ? bn ? Tn?1 ? 1 ? bn?1
1 ………………………………………2 分 2

1 bn ?1 …………………………………………6 分 2 1 1 故{ bn }为首项和公比均为 的等比数列,? bn ? ( ) n ……………………………8 分 2 2

两式相减得: bn ? bn?1 ? bn ,即: bn ?

(II)设 ?an ? 中第 m 项 am 满足题意,即

所以 m ? 2n ?1 ? 12 m ? N * , n ? N * , 取n ? 5, 则m ? 4

?

a4 ? 7 (其它形如 m ? 2n ?1 ? 12 m ? N * , n ? N * 的数均可)……………………12 分
19.取 PC 中点 G,连接 GE,GF,AF GF //

?

?

1 1 ? ( ) n ,即 2m ? 1 ? 25 ? 2n am ? 25 2

?

1 1 CD , AE // CD ,所以 GF //AE ,所以 AF // EG 2 2

19. 解(Ⅰ)? PA ? AD ? 2,? AF ? PD

? ? PA ? 平面ABCD,CD ? 平面ABCD ? PA ? CD

? AD ? CD,PA ? AD ? A,? CD ? 平面PAD, ? AF ? 平面PAD, AF ? CD ? ? PD ? CD ? D, AF ? 平面PCD, ? ? GE ? 平面PCD, ? GE ? 平面PEC, 平面PCE ? 平面PCD; ?
(Ⅱ)由(2)知 GE ? 平面PCD,所以EG为四面体PEFC的高 ,

P

又GF // CD,所以GF ? PD 1 EG ? AF ? 2,GF ? CD ? 2 2 1 S ?PCF ? PD ? GF ? 2 E 2 1 2 2 B 得四面体PEFC的体积V ? S ?PCF ? EG ? 3 3 1 2 20.解:设 A? x1 , y1 ?, B? x 2 , y 2 ? 由 x ? 4 y ,得 y ' ? x,? 过点 B 的切线方程为: 2
G

F

A
C

D

y ? y2 ?

2 x2 ?x ? x2 ? ,即 x2 x ? y ? y 2 ? x2 ? 0 2 2 2

(3 分)

由已知:

2 x2 1 ? y2 ? 2 2 x2 ?1 4

? 1 ,又 y 2 ?

2 x2 , 4

(5 分)

2 ? x 2 ? 12 ? x 2 ? ?2 3 , y 2 ? 3 ,即点 B 坐标为 ? 2 3 ,3 ,

?

?

(6 分)

? 直线 l 的方程为: y ? ?

3 x ? 1. 3

(7 分)

(Ⅱ)由已知,直线 l 的斜率存在,则设直线 l 的方程为: y ? kx ? 1 , 联立 x ? 4 y ,得 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 ? x1 ? x 2 ? 4k , x1 x 2 ? ?4
2 2 ? x12 ? x 2 ? 16k 2 ? 8

(8 分)

(9 分)
2

解法二: AB ? AE ? BD ? AC ? CB ? AC ? 1 ? CB ? 1
2 2

???? ??? 2 ?

?

???? 2

??

??? 2 ?

?

(12 分)

???? ??? ? ? 2 AC ? ? 2 ? 2 ? ? x1 , ?1 ? y1 ?? x2 ,1 ? y2 ? ? 2 ? 2 ? ? x1 x2 ? ?1 ? y1 ??1 ? y2 ? ? ? 2 CB ?

? 2 ? ? x1 x2 ? ? kx1 ? 2 ?? kx2 ? 2 ? ? ? 2
? ? ?2 ? 2k 2 ? x1 x2 ? 4k ? x1 ? x2 ? ? 6
? 2 ? 8k 2 ? 2
解法三: AB ? y1 ? 1 ? y 2 ? 1 ?

(13 分)

(15 分)

x12 x2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 4k 2 ? 4 , 4 4
2 2

x14 3 x12 AE ? AC ? CE ? ? x1 ? 0 ? ? ? y1 ? 1? ? 1 ? ? , 16 2
2 2 2

同理, BD
2

2

?
2

4 2 x2 3x2 ? , 16 2
2

(13 分)

? AB ? AE ? BD ? 2 ? 8k 2 ? 2
故 AB ? AE ? BD 的取值范围是 ? ??, 2? .
2 2 2

(15 分)

21. 解: (1)函数 f (x ) 的定义域为 (0,??)

a ? 0 时 f / (x ) ? ?
增区间

1 ? 2x ? 0 对 (0,??) 恒成立,所以 f (x ) 的递减区间是 (0,??) ,无递 x

(2) f (x ) ? ?
/

2x 2 ? ax ? 1 x
/

因 为 f (x ) 存 在 极 值 , 所 以 f (x ) ? ?

2x 2 ? ax ? 1 ? 0 在 (0,??) 上 有 根 即 方 程 x

2x 2 ? ax ? 1 ? 0
在 (0,??) 上有根.

1 ? ?x 1 x 2 ? 2 ? 0 ? 记方程 2x 2 ? ax ? 1 ? 0 的两根为 x 1 , x 2 由韦达定理 ? , 所以方程的根必为两 ?x ? x ? a 1 ? 2 2 ?
不等正根。 f (x 1 ) ? f (x 2 ) ? a (x 1 ? x 2 ) ? (x 1 ? x 2 ) ? (ln x 1 ? ln x 2 )
2 2

?

a2 a2 1 1 ? ? 1 ? ln ? 5 ? ln 所以 a 2 ? 16 满足方程 2x 2 ? ax ? 1 ? 0 判别式大于零 2 4 2 2

故所求取值范围为 (4,??) 22..(1)解:连接 AB 交 x 轴于点 M.

| F M | ?2c | F1A | | F1M | 5 ?5 ? 所以 2 ? | F2 M | | F2 B | | F2 M | 1 c 3 3 所以 | F2 M |? 所以 M ( c ,0) 即 M ( 2 ,0) 2 2 2 3 设直线 AB: my ? x ? 2 2 3 ? 2 3 ?my ? x ? 联立 ? 消去 x 得: (m 2 ? 3) y 2 ? 3 2my ? ? 0 2 2 ?x 2 ? 3 y 2 ? 3 ?
因为 F1 A ? 5 F2 B 所以 F1 A // F2 B

????

???? ?


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