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(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.8


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课前自主研习
温故而知新 可以为师矣

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/>知 识 导 读 1.二次函数的解析式 ax2+bx+c,(a≠0) (1)一般式:f(x)=____________________________. a(x+k)2+h,(a≠0) (2)顶点式:f(x)=____________________________. (3)零点式:f(x)=____________________________. a(x-x1)· (x-x2),(a≠0) 注: 求解析式都是用待定系数法.

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? ? b ? ? ? b? ? -∞,- ? ?-2a,+∞? ? ? ? 单调增区间为_____________,单调减区间为______________; 2a? ? ? ? b? ? ? 4ac-b2? ? ? -∞,- ? ? 2a? ?-∞, 4a ? ? ? 当 a<0 时,值域为_____________,单调增区间为____________, ? ?

2.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质: ?4ac-b2 ? R 定义域为__________. ? ? ,+∞? ? 4a 单调性与值域:当 a>0 时,值域为__________________, ? ?



? ? b ? - ,+∞? ? 2a ? ? ? 调减区间为__________.

b=0 奇偶性:函数为偶函数?__________. b x=- 一条抛物线 对称轴方程是_______. 图象: 二次函数的图象是__________. 2a
当 a >0 时 , 图 象 开 口__________ ;当 a<0 时 , 图 象 开口 __________. 向下
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向上

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两个 当 Δ=b2-4ac>0 时,图象与 x 轴有__________交点,两个 Δ 交点间的距离为 .当 Δ<0 时, a>0, 若 则函数的值__________; 恒正 |a| 恒负 若 a<0,则函数的值__________. 当 Δ=0 时,图象与 x 轴_______________. 只有一个公共点
3.二次函数 f(x)=ax2+bx+c,(a≠0)在区间[p,q]上的最 b b - <p p≤- ≤q 2a 值问题.一般情况下,需要分__________,__________ 2a b - >q 和__________三种情况讨论解决. 2a

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4.二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 的区间根问题. 一般情况下,需要从三个方面考虑:①判别式;②区间端点 b 函数值的正负;③对称轴 x=- 与区间端点的关系. 2a 设 x1、x2 是实系数二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的两实根, 则 x1、x2 的分布范围与二次方程系数之间的关系,填写下表.

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图象 充要条件

根的分布

x1<x2<k

?Δ>0 ? ?f?k?>0 ? ? b ?-2a<k ? __________ ?Δ>0 ? ?f?k?>0 ? ? b ?-2a>k ?
__________

k<x1<x2

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x1<k<x2

?Δ≥0 ? ?f?k1?>0 f(k)<0 ?f?k2?>0 ? ?k1<- b <k2 2a ? __________

x1、x2∈(k1, k2 )

f(k1)· 2)<0 或 f(k1)=0, f(k __________

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x1,x2 有且仅有 一个在(k1,k2)内

b k1+k2 k1<- < 2a 2 或 f(k2)=0, k1+k2 b <- <k2 2 2a __________

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基 础 热 身 1.已知函数 f(x)=ax2+2ax+4(a>0),若 x1<x2,x1+x2=0, 则( ) A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)=f(x2) C.f(x1)>f(x2) D.f(x1)与 f(x2)的大小不能确定 解法一:(作差比较): f(x1)-f(x2)=ax2+2ax1-ax2-2ax2 1 2 =a(x2-x2)+2a(x1-x2)=a(x1-x2)(x1+x2+2). 1 2 ∵x1+x2=0,x1<x2,a>0, ∴x1-x2<0,x1+x2+2=2>0, ∴a(x1-x2)(x1+x2+2)=2a(x1-x2)<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2).
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解法二:(利用数形结合):

∵x1<x2,x1+x2=0, ∴x1<0,x2>0.又∵a>0, ∴函数 f(x)的图象开口向上,且对称轴为 x=-1. ∵|x1-(-1)|=|x1+1|<|x2-(-1)|=|x2+1|, ∴f(x1)<f(x2). 答案:A
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2.已知[1,3]是函数 y=-x2+4ax 的单调递减区间,则实数 a 的取值范围是( ) ? 1? ? A.?-∞,2? B.(-∞,1] ? ? ? ?1 3? ?3 ? ? ? ? C.?2,2? D.?2,+∞? ? ? ? ? ?

1 解析:对称轴 x=2a≤1,∴a≤ . 2 答案:A

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3. 若二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x, f(0)=1, f(x) 且 则 的表达式为( ) A.f(x)=-x2-x-1 B.f(x)=-x2+x-1 C.f(x)=x2-x-1 D.f(x)=x2-x+1
解析:由 f(0)=1,可设 f(x)=ax2+bx+1(a≠0), 故 f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+1 ∴f(x+1)-f(x)=2ax+a+b, 由已知:f(x+1)-f(x)=2x,即 2ax+a+b=2x ?2a=2 ?a=1 ? ? ∴? ∴? ?a+b=0 ?b=-1 ? ? ∴f(x)=x2-x+1. 答案:D
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4. 二次函数 y=f(x)满足 f(3+x)=f(3-x)(x∈R)且 f(x)=0 有 两个实根 x1、x2,则 x1+x2 等于( ) A.0 B.3 C.6 D.不能确定

解析:由 f(3+x)=f(3-x)知函数 y=f(x)的图象关于直线 x x1+x2 =3 对称,应有 =3?x1+x2=6. 2 答案:C

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5.(2010· 安徽卷)设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的 图象可能是( )

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解析:由 A,C,D 知,f(0)=c<0.∵abc>0,∴ab<0,∴ b 对称轴 x=- >0,知 A、C 错误,D 符合要求.由 B 知 f(0)= 2a b c>0,∴ab>0,∴x=- <0,B 错误. 2a 答案:D

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6.已知函数 f(x)=x2-kx+5 在区间(1,2)上是增函数,那么 f(2)的取值范围是__________.

解析:由函数 f(x)=x2-kx+5 在区间(1,2)上是增函数知, k k 其图象开口向上,对称轴为 x= ,则对称轴 x= 应与直线 x=1 2 2 k 重合,或在其左侧,于是有 ≤1,即 k≤2.而 f(2)=9-2k(k≤2), 2 问题等价于求一次函数 g(k)=9-2k(k≤2)的值域.∴9-2k≥5. 故 f(2)的取值范围为[5,+∞). 答案:[5,+∞).

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思维互动启迪
博学而笃志 切问而近思

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疑难精讲 1.若二次项的系数含有字母参数,必须对二次项系数是否为 零进行分类讨论,否则容易造成丢解. 2.二次函数在某区间上的最值(或值域)的求法要掌握熟练, 特别是含参数的两类“定轴动区间、定区间动轴”解法是:抓住 “三点一轴”数形结合,三点指的是区间两个端点和区间中点, 一轴指的是对称轴.如求 y=x2-tx+1 在(-∞,1]上的最小值.

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互动探究 题型 1 求二次函数的解析式 例 1.已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x) 的最大值是 8,试确定此二次函数.

【解法一】 利用二次函数一般式. 设 f(x)=ax2+bx+c,(a≠0), ?4a+2b+c=-1, ? ?a=-4, ? ?a-b+c=-1, 由题意得? 解得?b=4, 2 ?4ac-b ?c=7. ? ? 4a =8. ? ∴所求二次函数为 y=-4x2+4x+7.
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【解法二】 利用二次函数顶点式. 设 f(x)=a(x-m)2+n,∵f(2)=f(-1), 2+?-1? 1 ∴抛物线对称轴为 x= = . 2 2 1 ∴m= ,又根据题意函数有最大值为 n=8, 2 ? 1?2 ? ∴y=f(x)=a?x-2? +8. ? ? ? ? 1?2 ? ∵f(2)=-1,∴a?2-2? +8=-1. ? ? ? ? 1?2 ? 解得 a=-4.∴f(x)=-4?x-2? +8=-4x2+4x+7. ? ? ?

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【解法三】 利用双根式. 由已知,f(x)+1=0 的两根为 x1=2,x2=-1, 故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即 f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值 ymax=8. 4a?-2a-1?-a2 即 =8,∴a=0(舍)或 a=-4. 4a ∴f(x)=-4x2+4x+7.

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题型 2 二次函数在闭区间上的最值 例 2.求二次函数 f(x)=x2-2x+3 在区间[t, t+1]上的最大值 与最小值.

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【解析】 须分三种情形分别求解: 对称轴 x=1 在区间[t,t+1]的左侧,内部及右侧. f(x)=(x-1)2+2,f(t)=t2-2t+3,f(t+1)=t2+2. 当 t>1 时,f(x)在[t,t+1]上是增函数,故此时 f(x)max=f(t+1)=t2+2,f(x)min=f(t)=t2-2t+3; 当 0≤t≤1 时,f(x)在[t,t+1]上的最小值为 f(1)=2,而其 最大值为 f(t)与 f(t+1)中较大一个. 1 当 0≤t≤ 时,f(x)max=f(t)=t2-2t+3; 2 1 当 <t≤1 时,f(x)max=f(t+1)=t2+2; 2 当 t<0 时,f(x)在[t,t+1]上是减函数, f(x)min=f(t+1)=t2+2,f(x)max=f(t)=t2-2t+3.

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题型 3“三个二次”关系的综合应用 例 3.已知 f(x)=-3x2+(6-a)ax+b. (1)若不等式 f(x)>0 的解集为{x|1<x<2},求 a,b 的值; (2)若方程 f(x)=0 有一根小于 1,另一根大于 1,当 b>-6 且 b 为常数时,求实数 a 的取值范围.

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【解析】 (1)由题意知方程-3x2+a(6-a)x+b=0 的二根 a?6-a? ? ?1+2= 3 为 1 和 2 则? ?1×2=-b 3 ?
?a=3 ? ?? ?b=-6 ?

(2)∵-3<0,由图象知,只需 f(1)>0 便可. ∴-3+a(6-a)+b>0?a2-6a+3-b<0? 3- b+6<a<3+ b+6.
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错解辨析 例 4.已知函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至 少有一个在原点的右侧,求实数 m 的取值范围. 【错解】 当 m<0 时,抛物线 y=f(x)的开口向下,故它与 x 轴的两交点必在坐标原点的两侧,即 m<0 符合题设要求. 当 m>0 时,抛物线开口向上,由题意有 ?Δ=?m-3?2-4m≥0, ? ? b 3-m 解得 0<m≤1. ?-2a= 2m >0, ? 综上知,m 的范围是 m<0 或 0<m≤1.

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【错因】 原条件没有说明函数 f(x)是二次函数,所以二次 项系数 m 有可能为 0. 错误原因是没有考虑 m=0 的情况是否满足题意.

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?1 ? ? ①当 m=0 时, f(x)=-3x+1 和 x 轴有交点?3,0?, ? ? ?

【正解】

适合题意; ②当 m≠0 时,Δ=(m-3)2-4m=m2-10m+9=(m-9)(m -1)≥0,∴m≥9 或 m≤1,且 m≠0. (ⅰ)当 m<0 时,∵f(0)=1, ∴此时 f(x)与 x 轴交点必有一个在原点右侧. (ⅱ)当 0<m≤1 或 m≥9 时,可以从反面考虑,与 x 轴右侧 无交点, 3-m 则对称轴 x= ≤0,解得 m≥3 或 m<0, 2m ∴若与 x 轴右侧有交点, 则 0<m<3,∴0<m≤1. 由①②可知 m 的取值范围为(-∞,1].
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