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高中数学竞赛标准教材(第十一章圆锥曲线)


由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 第十一章 圆锥曲线

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一、基础知识 1.椭圆的定义,第一定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长(大于两个定点之间的距离)的点的轨 迹,即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c). 第二定义:平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一

个常数 e(0<e<1)的点的轨迹(其中 定点不在定直线上) ,即

| PF | ? e (0<e<1). d
第三定义:在直角坐标平面内给定两圆 c1: x2+y2=a2, c2: x2+y2=b2, a, b∈R+且 a≠b。从原点出发的射线交圆 c1 于 P,交圆 c2 于 Q,过 P 引 y 轴的平行线,过 Q 引 x 轴的平行线,两条线的交点的轨迹即为椭圆。 2.椭圆的方程,如果以椭圆的中心为原点,焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系,由定义可求得它的标准 方程,若焦点在 x 轴上,列标准方程为

x2 y2 ? ?1 a2 b2
参数方程为 ?

(a>b>0),

? x ? a cos? ? y ? b sin ?

( ? 为参数) 。

若焦点在 y 轴上,列标准方程为

y2 y2 ? ?1 a2 b2

(a>b>0)。

3.椭圆中的相关概念,对于中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆

x2 y2 ? ? 1, a2 b2
a 称半长轴长,b 称半短轴长,c 称为半焦距,长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±

b), (±c,

a2 0);与左焦点对应的准线(即第二定义中的定直线)为 x ? ? c
;定义中的比 e 称为离心率,且 e

,与右焦点对应的准线为

x?

a2 c

?

c ,由 c2+b2=a2 知 0<e<1. a

椭圆有两条对称轴,分别是长轴、短轴。

4.椭圆的焦半径公式:对于椭圆

x2 y2 ? ? 1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若 P(x, y)是椭圆上 a2 b2

的任意一点,则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex. 5.几个常用结论:1)过椭圆上一点 P(x0, y0)的切线方程为

x0 x y 0 y ? 2 ? 1; a2 b
2)斜率为 k 的切线方程为

y ? kx? a2k 2 ? b2

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3)过焦点 F2(c, 0)倾斜角为θ 的弦的长为

l?

2ab 2 a 2 ? c 2 cos2 ?



6.双曲线的定义,第一定义: 满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|, a>0)的点 P 的轨迹; 第二定义:到定点的距离与到定直线距离之比为常数 e(>1)的点的轨迹。 7.双曲线的方程:中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1, a2 b2
参数方程为 ?

? x ? a sec? ( ? 为参数) 。 ? y ? b tan ?

焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为

y2 x2 ? ? 1。 a2 b2
8.双曲线的相关概念,中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a, b>0), a2 b2
a 称半实轴长, 称为半虚轴长, 为半焦距, b c 实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、 右焦点为 F1(-c,0), F2(c, 0), 对应的左、右准线方程分别为 x

??

a2 a2 c ,x ? . 离心率 e ? ,由 a2+b2=c2 知 c c a

e>1。两条渐近线方程



y??

x2 y2 x2 y2 k x ,双曲线 2 ? 2 ? 1 与 2 ? 2 ? ?1 有相同的渐近线,它们的四个焦点在同一个圆 a a b a b

上。若 a=b,则称为等轴双曲线。

9.双曲线的常用结论,1)焦半径公式,对于双曲线

x2 y2 ? ? 1 ,F1(-c,0), F2(c, 0)是它的两个焦点。 a2 b2

设 P(x,y)是双曲线上的任一点, P 在右支上, 若 则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a; P 若 (x,y) 在左支上, 则|PF1|=-ex-a, |PF2|=-ex+a. 2) 过焦点的倾斜角为θ 的弦长是

2ab 2 a 2 ? c 2 cos2 ?



10.抛物线:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点 F 叫焦点,直线 l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴,x 轴与 l 相交于 K,以线段 KF 的垂直 平分线为 y 轴,建立直角坐标系,设|KF|=p,则焦点 F 坐标为 ( 为 y2=2px(p>0),离心率 e=1. 11.抛物线常用结论:若 P(x0, y0)为抛物线上任一点,

p p ,0) ,准线方程为 x ? ? ,标准方程 2 2

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1)焦半径|PF|= x ?

p ; 2
2p 1 ? cos2 ?


2)过点 P 的切线方程为 y0y=p(x+x0); 3)过焦点倾斜角为θ 的弦长为

12.极坐标系,在平面内取一个定点为极点记为 O,从 O 出发的射线为极轴记为 Ox 轴,这样就建立了极 坐标系,对于平面内任意一点 P,记|OP|=ρ ,∠xOP=θ ,则由(ρ ,θ )唯一确定点 P 的位置, ,θ ) (ρ 称为极坐标。 13.圆锥曲线的统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比为常数 e 的点 P,若 0<e<1,则点 P 的轨迹 为椭圆;若 e>1,则点 P 的轨迹为双曲线的一支;若 e=1,则点 P 的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的 极坐标方程为 ? 二、方法与例题 1.与定义有关的问题。

?

ep 1 ? e cos?



例1

已知定点 A(2,1) 是椭圆 ,F

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,点 P 为椭圆上的动点,当 3|PA|+5|PF|取最 25 16
52 ? 4 2

小值时,求点 P 的坐标。 [解] 因为 见图 11-1,由题设 a=5, b=4, c= =3, e

?

c 3 25 ? .椭圆左准线的方程为 x ? ? ,又 a 5 3

4 1 ,过 ? ? 1 ,所以点 A 在椭圆内部,又点 F 坐标为(-3,0) P 作 PQ 垂直于左准线,垂足为 Q。 25 16
| PF | 3 5 ? e ? ,则 |PF|=|PQ|。 | PQ | 5 3

由定义知

所以 3|PA|+5|PF|=3(|PA|+

5 |PF|)=3(|PA|+|PQ|)?3|AM|(AM ? 左准线于 M)。 3
?? 5 15 4
,又

所以当且仅当 P 为 AM 与椭圆的交点时,3|PA|+5|PF|取最小值,把 y=1 代入椭圆方程得 x

x<0,所以点 P 坐标为 (?

5 15 ,1) 4

例2

已知 P, P' 为双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1 右支上两点, PP' 延长线交右准线于 K,PF 延长线交双曲 a2 b2
1

线于 Q, 1 为右焦点) (F 。求证:∠ P' F1K=∠KF1Q. [证明] 记右准线为 l,作 PD ? l 于 D, P' E

? l 于 E,因为 P' E //PD,则

| PK | | P' K | ? ,又由定 | PD | | P' E |



| PF1 | | PD | | PK | | PF1 | | P' F1 | ? ? ?e? ,所以 ,由三角形外角平分线定理知,F1K | PD | | P' E | | P ' F1 | | P' E | | P ' K |

为∠PF1P 的外角平分线,所以∠ P ' F1

K =∠KF Q。
1

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由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 2.求轨迹问题。 例3

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已知一椭圆及焦点 F,点 A 为椭圆上一动点,求线段 FA 中点 P 的轨迹方程。 利用定义,以椭圆的中心为原点 O,焦点所在的直线为 x 轴,建立直角坐标系,设椭圆方程:

[解法一]

x2 y2 ? a2 b2
|FP|+|PO|=

=1(a>b>0).F 坐标为(-c, 0).设另一焦点为 F ' 。连结

AF' ,OP,则 OP //
?

1 AF ' 。所以 2

1 (|FA|+|A F ' |)=a. 2 c ,0)平移,得到中心 2

所以点 P 的轨迹是以 F,O 为两焦点的椭圆(因为 a>|FO|=c) ,将此椭圆按向量 m=(

在原点的椭圆:

x2 y2 ? ? 1 。由平移公式知,所求椭圆的方程为 a2 b2 4 4

c 4( x ? ) 2 2 2 ? 4 y ? 1. a2 b2
[解法二] 相关点法。设点 P(x,y), A(x1, y1),则 x

?

x1 ? c y ,y ? 1 2 2

,即 x1=2x+c, y1=2y. 又因为点 A 在

c? ? 4? x ? ? 2 2 2 2 x1 y1 4y2 x y 2? ? ? 2 ? 1 。它表示 椭圆 2 ? 2 ? 1 上,所以 2 ? 2 ? 1. 代入得关于点 P 的方程为 a2 b a b a b
中心为 ? ? 例4

2

? c ? ,0 ? ,焦点分别为 F 和 O 的椭圆。 ? 2 ?

长为 a, b 的线段 AB,CD 分别在 x 轴,y 轴上滑动,且 A,B,C,D 四点共圆,求此动圆圆心 P 的

轨迹。 [解] 设 P(x, y)为轨迹上任意一点, B, D 的坐标分别为 A(xA, C,

a a b b ,0), B(x+ ,0), C(0, y- ), D(0, y+ ), 2 2 2 2
x2 ? a2 b2 ? y2 ? 4 4
,即

记 O 为 原 点 , 由 圆 幂 定 理 知 |OA|?|OB|=|OC|?|OD| , 用 坐 标 表 示 为

x2 ? y2 ?

a2 ? b2 . 4

当 a=b 时,轨迹为两条直线 y=x 与 y=-x; 当 a>b 时,轨迹为焦点在 x 轴上的两条等轴双曲线; 当 a<b 时,轨迹为焦点在 y 轴上的两条等轴双曲线。 例5 在坐标平面内,∠AOB= 设∠xOB=θ

[解]

? ,AB 边在直线 l: x=3 上移动,求三角形 AOB 的外心的轨迹方程。 3 ? ,并且 B 在 A 的上方,则点 A,B 坐标分别为 B(3, 3tanθ ),A(3,3tan(θ - )),设外心为 3
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P(x,y),由中点公式知 OB 中点为 M ?

?3 3 ? , tan? ? 。 ?2 2 ?
再由 PM

由外心性质知

y?

3? ? ?? ? ? tan? ? tan?? ? ? ?. ? 2? 3 ?? ? ?

? OB 得

y?

3 tan? 2 3 x? 2

×tanθ =-1。结合上式有

tan(? ?


?
3

) ?tanθ

=

2?3 ? ? ? x ?. 3?2 ?



tanθ + tan( ?

?

?
3

)=

2 y. 3





3 ? tan

?

? ? ?? ? ? tan?? ? ?? ? ??. 3 3 ?? ? ?

所 以 tan θ -

tan(? ?

?
3

)

=

? ? ?? ? 3 ?1 ? tan? ? tan?? ? ?? 3 ?? ? ?

两边平方,再将①,②代入得

( x ? 4) 2 y 2 ? ? 1 。即为所求。 4 12
3.定值问题。

例6

过双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0, a2 b2

b>0)的右焦点 F 作 B1B2 ?

x 轴,交双曲线于 B1,B2 两点,B2 与左焦

点 F1 连线交双曲线于 B 点,连结 B1B 交 x 轴于 H 点。求证:H 的横坐标为定值。 [证明] 设点 B,H,F 的坐标分别为(asecα ,btanα ), (x0, 0), (c, 0),则 F1,B1,B2 的坐标分别为(-c, 0), (c,

?

b2 a

), (c,

b2 a

),因为 F1,H 分别是直线 B2F,BB1 与 x 轴的交点,所以

c?
所以

ab ab ? ac sin ? , x0 ? . 2a sin ? ? b cos? a sin ? ? b cos?
cx0 ?



a 2 b(b ? c sin ? ) 2a 2 sin 2 ? ? ab sin ? cos? ? b 2 cos2 ?

a 2 b(b ? c sin ? ) ? 2 a sin 2 ? ? ab sin ? cos? ? b 2 ? c 2 sin 2 ?
? a 2 b(b ? c sin ? ) 。 a sin ? (a sin ? ? b cos? ) ? (c sin ? ? b)(c sin ? ? b)

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由①得 a sin ?

? b cos? ?

a(b ? c sin ? ) , x0

代入上式得 cx0

?

a 2b a 2 sin ? (c sin ? ? b) x0

,



x??

a2 c

(定值) 。

注:本例也可借助梅涅劳斯定理证明,读者不妨一试。 例7 设抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 C 在准线上,且 BC//x
2

轴。证明:直线 AC 经过定点。 [证明]

? y12 设 A? ? 2 p , y1 ?


2 ? ? y2 ? y12 ? p ? ?p ? ?, B? , y2 ? , C? ? , y2 ? , , y1 ) , 则 焦点为 F ? ,0 ? , 所以 OA ? ( ? ? 2p ? 2p ? 2 ? ?2 ? ? ? ?

? p ? OC ? ? ? , y 2 ? ? 2 ?

y12 p FA ? ( ? , y1 ) 2p 2
y1=0 , 即



? y2 p ? FB ? ? 2 ? , y 2 ? ? 2p 2 ? ? ?

。由于

FA // FB

,所以

y12 2p

?y2-

y2 p p y 2 ? 2 y1 ? 2 2p 2

?y y p? ( y1 ? y 2 )? 1 2 ? ? ? 2p 2? ? ?

=0 。 因 为

y1 ? y 2

,所以

?y y y1 y 2 p y2 p? ? p? ? ? 0 。所以 ? 1 2 ? ? y1 ? 0 ,即 1 y 2 ? ? ? ? y1 ? 0 。所以 OA // OC ,即直 ? 2p ? 2? 2p 2 2p ? 2? ?
线 AC 经过原点。 例8

x2 y2 1 1 ? 椭圆 2 ? 2 ? 1 上有两点 A,B,满足 OA ? OB,O 为原点,求证: 2 | OA | | OB | 2 a b
设|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ ,∠xOB=

为定值。

[证明]

?
2

??

,则点 A,B 的坐标分别为 A(r1cosθ , r1sin

θ ),B(-r2sinθ ,r2cosθ )。由 A,B 在椭圆上有

r12 cos2 ? r12 sin 2 ? r 2 sin 2 ? r22 cos2 ? ? ? 1, 2 2 ? ? 1. a2 b2 a b2


1 cos2 ? sin 2 ? ? ? r12 a2 b2 1 sin 2 ? cos2 ? ? ? . r22 a2 b2




①+②得

1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 2 2 | OA | | OB | a b

(定值) 。

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由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 4.最值问题。 例9 [解]

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设 A,B 是椭圆 x +3y =1 上的两个动点,且 OA ? OB(O 为原点) ,求|AB|的最大值与最小值。
2 2

由 题 设 a=1 , b=

3 3

, 记 |OA|=r1,|OB|=r2,

r1 ?t r2

,参考例 8 可得

1 1 ? 2 2 r1 r2

=4 。 设

m=|AB| = r1

2

2

? r22 ?

1 2 1 1 1 1 (r1 ? r22 )( 2 ? 2 ) ? (2 ? t 2 ? 2 ) , 4 4 r1 r2 t
2 2

因为

1 cos2 ? sin 2 ? 1 a2 ? b2 1 1 1 ? ? ? 2 ? 2 2 sin 2 ? ,且 a >b ,所以 2 ? 2 ? 2 2 2 2 r1 a b a a b a r1 b

,所以 b?r1

?a,同理 b?r2?a.所以

b a ? t ? 。又函数 a b

f(x)=x+

1 ?b2 在? x ?a2 b a


? ? a2 ? ,1? 上单调递减,在 ?1, 2 ? 上单调递 ? ? b ?

增,所以当 t=1 即|OA|=|OB|时,|AB|取最小值 1;当 t

?

2 3 a 时,|AB|取最大值 。 3 b
2

例 10

设一椭圆中心为原点,长轴在 x 轴上,离心率为

3 2

,若圆 C: x

3 ? ( y ? ) 2 ? 1 上点与这椭圆 2

上点的最大距离为 1?

7 ,试求这个椭圆的方程。

[解]

设 A,B 分别为圆 C 和椭圆上动点。由题设圆心 C 坐标为 ? 0,

? ?

3? ? ,半径|CA|=1,因为|AB|? 2?
7 ,所以|BC|

|BC|+|CA|=|BC|+1,所以当且仅当 A,B,C 共线,且|BC|取最大值时,|AB|取最大值 1? 最大值为

7.

x2 y2 3 因为 e ? ; 所以可设椭圆半长轴、 半焦距、 半短轴长分别为 2t, 3t ,t, 椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 , 2 4t t
并 设 点 B 坐 标 为 B(2tcos θ ,tsin θ ) , 则 |BC| =(2tcos θ ) +
2 2

3? ? ? t sin ? ? ? 2? ?

2

=3t sin θ -3tsin θ

2

2

9 1 +4t =-3(tsinθ + ) +3+4t . 4 2 9 1 若 t ? ,则当 sinθ =-1 时,|BC| 取最大值 t +3t+ ? 7 ,与题设不符。 4 2 1 1 若 t> ,则当 sinθ = ? 时,|BC| 取最大值 3+4t ,由 3+4t =7 得 t=1. 2 2t
+
2 2 2 2 2 2 2 2

所以椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1。 4

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由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 5.直线与二次曲线。 例 11 [解]

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若抛物线 y=ax -1 上存在关于直线 x+y=0 成轴对称的两点,试求 a 的取值范围。 抛物线 y=ax -1 的顶点为(0,-1),对称轴为 y 轴,存在关于直线 x+y=0 对称两点的条件是存在一对
2
2

2

点 P(x1,y1), P' (-y1,-x1),满足 y1=a x1

? 1 且-x =a(-y ) -1,相减得 x +y =a( x12 ? y12 ),因为 P 不在直线
2 1 1 1 1

x+y=0 上,所以 x1+y1≠0,所以 1=a(x1-y1),即 x1=y1+ 所以 ay1 求。
2

1 . a

? y1 ?

1 1 3 ? 1 ? 0. 此方程有不等实根,所以 ? ? 1 ? 4a( ? 1) ? 0 ,求得 a ? ,即为所 a a 4
x2 (1)求 b 的范围; (2)当截得弦长最大时,求 b 的值。 ? y 2 ? 1 相交, 4
2

例 12

若直线 y=2x+b 与椭圆

[解] 二方程联立得 17x +16bx+4(b -1)=0.由Δ >0,得 ?
2

17

<b<

17

;设两交点为 P(x1,y1),Q(x2,y2),

由韦达定理得|PQ|= 三、基础训练题

1 ? k 2 | x1 ? x 2 |? 5 ?

4 17 ? b 2 17

。所以当 b=0 时,|PQ|最大。

1. 为半径是 R 的定圆⊙O 上一定点, 为⊙O 上任一点, P 是 A 关于 B 的对称点, A B 点 则点 P 的轨迹是________. 2.一动点到两相交直线的距离的平方和为定值 m (>0),则动点的轨迹是________.
2

3.椭圆

x2 y2 ? ? 1 上有一点 P,它到左准线的距离是 10,它到右焦点的距离是________. 100 36
x2 y2 ? ? 1 ,则 k 的取值范围是________. | k | ?2 5 ? k
0

4.双曲线方程

5.椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,焦点为 F ,F ,椭圆上的点 P 满足∠F PF =60 ,则Δ F PF 的面积是________. 100 64
1 2 1 2 1 2

6.直线 l 被双曲线

x2 ? y 2 ? 1 所截的线段 MN 恰被点 A(3,-1)平分,则 l 的方程为________. 4
2

7.Δ ABC 的三个顶点都在抛物线 y =32x 上,点 A(2,8) ,且Δ ABC 的重心与这条抛物线的焦点重合,则直 线 BC 的斜率为________. 8.已知双曲线的两条渐近线方程为 3x-4y-2=0 和 3x+4y-10=0,一条准线方程为 5y+4=0,则双曲线方程为 ________. 9.已知曲线 y =ax,与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点,如果过这两个交点的直线的倾斜 角为 45 ,那么 a=________.
2 2 2 0 2

10.P 为等轴双曲线 x -y =a 上一点,

| PF1 | ? | PF2 | 的取值范围是________. | PO |

11.已知椭圆

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 与双曲线 2 ? 2 ? 1 有公共的焦点 F ,F ,设 P 是它们的一个焦点,求∠ a12 b1 a 2 b2
1 2

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由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ F1PF2 和Δ PF1F2 的面积。

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12. (i) 已知 半圆的直径 AB 长为 2r;ii) ( 半圆外的直线 l 与 BA 的延长线垂直, 垂足为 T, 设|AT|=2a(2a< (iii)半圆上有相异两点 M,N,它们与直线 l 的距离|MP|,|NQ|满足 |AM|+|AN|=|AB|。
2

r ); 2

| MP | | NQ | ? ? 1. 求证: AM AN

13.给定双曲线 x 的轨迹方程。

?

y2 ? 1. 过点 A(2,1)的直线 l 与所给的双曲线交于点 P 和 P ,求线段 P P 的中点 2
1 2 1 2

四、高考水平测试题 1.双曲线与椭圆 x +4y =64 共焦点,它的一条渐近线方程是 _________. 2.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A,B 两点,若 A,B 在抛物线准线上的射影分别是 A1,B1,则∠ A1FB1=_________.
2 2

x ? 3 y =0,则此双曲线的标准方程是

3.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点为 F ,顶点为 A ,A ,P 是双曲线上任一点,以|PF |为直径的圆与以 a2 b2
1 1 2 1

|A1A2|为直径的圆的位置关系为_________. 4.椭圆的中心在原点,离心率 e

?

1 ,一条准线方程为 x=11,椭圆上有一点 M 横坐标为-1,M 到此准线 3

异侧的焦点 F1 的距离为_________.

5.4a +b =1 是直线 y=2x+1 与椭圆

2

2

x2 y2 ? ? 1 恰有一个公共点的_________条件. a2 b2

? x ? m ? 2t 2 ? 6.若参数方程 ? (t 为参数)表示的抛物线焦点总在一条定直线上,这条直线的方程是 ? y ? 2m ? 2 2t ?
_________.

7.如果直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆

x2 y2 ? ? 1 总有公共点,则 m 的范围是_________. 5 m

8.过双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,且被双曲线截得线段长为 6 的直线有_________条. 9 6 ( x ? 3) 2 y 2 ? ? 1 相交于 A,B 两点,若以 AB 为直径的圆恰好通过椭圆 6 2

9.过坐标原点的直线 l 与椭圆

的右焦点 F,则直线 l 的倾斜角为_________. 10.以椭圆 x +a y =a (a>1)的一个顶点 C(0,1)为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形 ABC,这样的 三角形最多可作_________个.
2 2 2 2

11.求椭圆

x2 y2 ? ? 1 上任一点的两条焦半径夹角θ a2 b2

的正弦的最大值。

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12.设 F,O 分别为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左焦点和中心,对于过点 F 的椭圆的任意弦 AB,点 O 都在以 AB a2 b2

为直径的圆内,求椭圆离心率 e 的取值范围。

13.已知双曲线 C1:

x2 y2 ? 2 ? 1 (a>0),抛物线 C 的顶点在原点 O,C 的焦点是 C 的左焦点 F 。 a 2 2a
2 2 1 1

(1)求证:C1,C2 总有两个不同的交点。 (2)问:是否存在过 C2 的焦点 F1 的弦 AB,使Δ AOB 的面积有最大值或最小值?若存在,求直线 AB 的方程 与 SΔ AOB 的最值,若不存在,说明理由。 五、联赛一试水平训练题 1. 在平面直角坐标系中, 若方程 m(x +y +2y+1)=(x-2y+3) 表示的曲线为椭圆, m 的取值范围是_________. 则 2.设 O 为抛物线的顶点,F 为焦点,且 PQ 为过 F 的弦,已知|OF|=a,|PQ|=b,Δ OPQ 面积为_________.
2 2 2

3.给定椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,如果存在过左焦点 F 的直线交椭圆于 P,Q 两点,且 OP ? OQ,则离心率 e 的 a2 b2

取值范围是_________.

4.设 F1,F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,P a2 b2

为双曲线上的动点,过 F1 作∠F1PF2 平

分线的垂线,垂足为 M,则 M 的轨迹为_________. 5.Δ ABC 一边的两顶点坐标为 B(0,
+

,另两边斜率的乘积为 ? 2 )和 C(0, ? 2 )

1 ,若点 T 坐标 2

为(t,0)(t∈R ),则|AT|的最小值为_________. 6.长为 l(l<1)的线段 AB 的两端点在抛物线 y=x 上滑动,则线段 AB 的中点 M 到 x 轴的最短距离等于 _________. 7.已知抛物线 y =2px 及定点 A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b ≠2pa,M 是抛物线上的点,设直线 AM,BM 与抛物 线的另一个交点分别为 M1,M2,当 M 变动时,直线 M1M2 恒过一个定点,此定点坐标为_________.
2 2 2

x2 y2 a 2 ? 2b 2 8.已知点 P(1,2)既在椭圆 2 ? 2 ? 1 内部(含边界) ,又在圆 x +y = 3 a b
2 2

外部(含边界) ,

若 a,b∈R ,则 a+b 的最小值为_________.

+

9.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的内接Δ ABC 的边 AB,AC 分别过左、右焦点 F ,F ,椭圆的左、右顶点分别为 4 3
1 2

D,E,直线 DB 与直线 CE 交于点 P,当点 A 在椭圆上变动时,试求点 P 的轨迹。

10.设曲线 C1:

x2 ? y 2 ? 1 (a 为正常数)与 C :y =2(x+m)在 x 轴上方有一个公共点 P。 (1)求实数 m a2
2 2

的取值范围(用 a 表示) ; (2)O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0<a<

1 时,试求Δ OAP 面积的最大值(用 a 表示) 。 2

11.已知直线 l 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上,若点 A(-1,0)和 B(0,8)关 于 l 的对称点都在 C 上,求直线 l 和抛物线的方程。

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由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 六、联赛二试水平训练题

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1.在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分∠BAD,在 CD 上取一点 E,BE 与 AC 相交于 F,延长 DF 交 BC 于 G,求 证:∠GAC=∠EAC。 2.求证:在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点,每段长都为 1 的闭折线,它的每个顶点坐标都是有理 数。 3.以 B0 和 B1 为焦点的椭圆与Δ AB0B1 的边 ABi 交于 Ci(i=0,1),在 AB0 的延长线上任取点 P0,以 B0 为圆心, B0P0 为半径作圆弧 P0

Q0 交 C B 的延长线于 Q ;以 C 为圆心,C Q 为半径作圆弧 Q P 交 B A 的延长线于 P ;
1 0 0 1 1 0 0 1 1 1

B1 为圆心,B1P1 为半径作圆弧 P1Q1 交 B1C0 的延长线于 Q1;以 C0 为圆心,C0Q1 为半径作圆弧 Q1 P0 ,交 AB0 的延 长线于 P ' 0 。求证: (1)点 P ' 0 与点 P0 重合,且圆弧 P0Q0 与 P0Q1 相内切于 P0; (2)P0,Q0,P1,Q1 共圆。 4.在坐标平面内,从原点出发以同一初速度 v0 和不同发射角(即发射方向与 x 轴正向之间 的夹角)α (α ∈[0,π ],α ≠

'

? )射出的质点,在重力的作用下运动轨迹是抛物线,所有这些抛物线组成一个抛物线族, 2

若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直,则称这个交点为正交点。证明:此抛物线族的所有正交点 的集合是一段椭圆弧,并求此椭圆弧的方程(确定变量取值范围) 。 5.直角Δ ABC 斜边为 AB,内切圆切 BC,CA,AB 分别于 D,E,F 点,AD 交内切圆于 P 点。若 CP ? BP,求 证:PD=AE+AP。 6.已知 BC ? CD,点 A 为 BD 中点,点 Q 在 BC 上,AC=CQ,又在 BQ 上找一点 R,使 BR=2RQ,CQ 上找一点 S, 使 QS=RQ,求证:∠ASB=2∠DRC。 答案: 基础训练题 1.圆。设 AO 交圆于另一点 A' , A' ' 是 A 关于 A' 的对称点。则因为 AB ?

BA' , AP ? A' ' P ,所以 P 在以

AA' ' 为直径的圆上。
2 . 圆 或 椭 圆 。 设 给 定 直 线 为
2 2

y= ± kx(k>0),P(x,y) 为 轨 迹 上 任 一 点 , 则
2 2 2 2 2

? | kx ? y | ? ? | ?kx ? y | ? ? ? ?? ? ? m 2 。化简为 2k x +2y =m (1+k ). ? ? ? 2 2 ? ? k ?1 ? ? 1? k ?
当 k≠1 时,表示椭圆;当 k=1 时,表示圆。 3.12.由题设 a=10,b=6,c=8,从而 P 到左焦点距离为 10e=10× 4.-2<k<2 或 k<5.由(|k|-2)(5-k)<0 解得 k>5 或-2<k<2.

8 =8,所以 P 到右焦点的距离为 20-8=12。 10

5.

64 3 . 设两条焦半径分别为 m,n,则因为|F F |=12,m+n=20.由余弦定理得 12 =m +n -2mncos60 ,即(m+n) 3
2 2 2 0 1 2

2

-3mn=144.所以 mn

?

1 3 64 3 256 ? mn ? ? . ,S ?PF1 F2 2 2 3 3
M(x1,y1),N(x2,y2) , 则

6 . 3x+4y-5=0. 设

x12 x2 2 ? y12 ? 1, 2 ? y 2 ? 1. 4 4

两 式 相 减 得

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y ? y1 ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) x1 ? x2 y ? y2 3 ? ? 。故方 -(y +y )(y -y )=0.由 ? 3, 1 ? ?1 ,得 2 4 4 2 2 x 2 ? x1
1 2 1 2

程 y+1= ?

3 (x-3). 4
y1 ? y 2 ? 8 3
=0 , 所 以 y1+y2=-8 , 故 直 线 BC 的 斜 率 为

7.-4. 设 B(x1,y1),C(x2,y2) , 则

y 2 ? y1 y 2 ? y1 32 ? 2 ? ? ?4. 2 x 2 ? x1 y 2 y1 y1 ? y 2 ? 32 32
8.

( y ? 1) 2 ( x ? 2) 2 ? 9 16

=1。 由渐近线交点为双曲线中心, 解方程组 ?

?3 x ? 4 y ? 2 ? 0, 得中心为(2,1), ?3 x ? 4 y ? 10 ? 0
=1。其渐近线方程为

又准线为

y??

4 ,知其实轴平行于 5

y 轴,设其方程为

( y ? 1) 2 ( x ? 1) 2 ? a2 b2

y ?1 x ?1 a 3 a =0。所以 y-1= ? (x-1).由题设 ? ,将双曲线沿向量 m=(-2,-1)平移后中心在原点, ? a b b 4 b
其标准方程为

y2 x2 ? a2 b2

=1。由平移公式 ?

? x ' ? x ? 2, 9 a2 平移后准线为 y ? ? ? 5 c ? y' ? y ? 1
=1。
2

,再结合

a 3 ? , b 4

解得 a =9,b =16,故双曲线为
2

2

2

( y ? 1) 2 ( x ? 2) 2 ? 9 16

9.2.曲线 y =ax 关于点(1,1)的对称曲线为(2-y) =a(2-x), 由?

? y 2 ? ax, y1 ? y 2 ? 得 y -2y+2-a=0,故 y +y =2,从而 k ? x1 ? x 2 ?( 2 ? y ) 2 ? a ( 2 ? x ) ?
2 1 2

=

a ( y1 ? y 2 ) a a ? ? =1,所以 a=2. 2 2 y1 ? y 2 y1 ? y 2 2
10. (2, 2

2 ]。设 P(x ,y )及
1 1

| PF1 | ? | PF2 | ? t ,由|PF |=ex +a | PO |
1 1

,|PF2|=ex1-a,|PF1|+|PF2|=2ex1, 所 以

2 2 x1 2x ? a
2 1 2

?t

,即

x12 ?

a 2t 2 2t 2 ? 8

。因

x12 ? a 2

,所以

a 2t 2 t2 2 ? 1 即 2<t?2 2 . ? a (a ? 0) ,所以 2 2t ? 8 2t 2 ? 8
11.解:由对称性,不妨设点 P 在第一象限,由题设|F1F2| =4 (a1
2

2

2 2 ? b12 ) ? 4(a2 ? b2 ) =4c ,又根据椭圆
2

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由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 与双曲线定义

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? ?| PF1 | ? | PF2 |? 2a1 , 解得|PF |=a +a ,|PF |=a -a . ? ?| PF1 | ? | PF2 |? 2a 2 , ?
1 1 2 2 1 2

在Δ F1PF2 中,由余弦定理

| PF1 | 2 ? | PF2 | 2 ? | F1 F2 | 2 cos ?F1 PF2 ? 2 | PF1 | ? | PF2 | ? (a1 ? a 2 ) 2 ? (a1 ? a 2 ) 2 ? (2c) 2 2(a1 ? a 2 )( a1 ? a 2 )
2 2 (a12 ? c 2 ) ? (c 2 ? a 2 ) b12 ? b2 ? 2 . 2 2 a12 ? a 2 b1 ? b2

?

2 b12 ? b2 . 从而 ?F1 PF2 ? arccos 2 2 b1 ? b2

又 sin∠F1PF2=

1 ? cos2 ?F1 PF2 ?

2b1 b2 , 2 b12 ? b2

所以 S

?F1 PF2

?

1 | PF1 | ? | PF2 | sin ?F1 PF2 ? b1 b2 . 2
2 2 2 2 2 2

12.解:以直线 AB 为 x 轴,AT 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,则由定义知 M,N 两点既在抛物线 y =4ax 上, 又在圆[x-(a+r)] +y =r 上, 两方程联立得 x +(2a-2r)x+2ra+a =0, 设点 M, 坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), N 则 x1+x2=2r-2a.又|AM|=|MP|=x1+a,|AN|=|NP|=x2+a. |AB|=2r,所以 |AM|+|AN|=x1+x2+2a=2r=|AB|. 得证。 13.解:若直线 l 垂直于 x 轴,因其过点 A(2,1),根据对称性,P1P2 的中点为(2,0) 。 若 l 不垂直于 x 轴,设 l 的方程为 y-1=k(x-2),即 y=kx+1-2k.
2 2


2

将①代入双曲线方程消元 y 得 (2-k )x +2k(2k-1)x-(4k -4k+3)=0. 这里 k
2


2 2 2

? ? 2 且Δ =[2k(2k-1)] +4(2-k) (4k -4k+3)=8(3k -4k+3)>0,

设 x1,x2 是方程②的两根,由韦达定理

x1 ? x2 ? ?
由①,③得

2k (2k ? 1) 2k (2k ? 1) ? . 2?k2 k2 ?2
y1+y2=kx1+(1-2k)+kx2+(1-2k)



=k(x1+x2)+2(1-2k)=

4(2k ? 1) . k2 ?2



设 P1P2 的中点 P 坐标(x,y),由中点公式及③,④得

x?

x1 ? x2 k (2k ? 1) y ? y 2 2(2k ? 1) ? 2 ,y ? 1 ? 2 , 2 2 k ?2 k ?2

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由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 消去 k 得

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1 ( y ? )2 ( x ? 1) 2 ? 1. ? 7 7 8 4
2

点(2,0)满足此方程,故这就是点 P 的轨迹方程。 高考水平测试题

1.

x2 y2 x2 y2 b 设双曲线方程 2 ? 2 ? 1 , 渐近线为 y ? ? x. ? ? 1. 由椭圆方程得焦点为 (?4 3,0) , 36 12 a a b
b 1 ,所以 a =3b ,又 c ? 4 3 ,c2=a2+b2. ? a 3
2 2 0

由题设

所以 b2=12, a2=36.

2. 900。见图 1,由定义得|FA|=|AA1|,|FB|=|BB1|,有∠1=∠BFB1,∠2=∠AFA1,又∠1=∠3,∠2=∠4,所以∠ 3+∠4=∠BFB1+∠AFA1=90 。 3.相切,若 P(x,y)在左支上,设 F1 为左焦点,F2 为右焦点,M 为 PF1 中点,则|MO|= 又|PF1|=-a-ex,所以两圆半径之和 同理得两圆内切。 4.

1 1 |PF |= (a-ex), 2 2
2

1 1 (-a-ex)+a= (a-ex)=|MO|,所以两圆外切。当 P(x,y)在右支上时, 2 2

10 . 与 F 对应的另一条准线为 x=-11,因|MF |与 M 到直线 x=-11 距离 d 之比为 e,且 d =|x +11|=10. 3
1 1 1 1 m

所以

| MF1 | 1 10 ? ,所以|MF |= . 10 3 3
1 2 2 2 2 2 2

5.充要。将 y=2x+1 代入椭圆方程得(b +4a )x +4a x+a (1-b )=0.
2 2 2 2 2 2


2 2 2 2

若Δ =(4a ) -4(b +4a )a (1-b )=0,则直线与椭圆仅有一个公共点,即 b +4a =1;反之,4a +b =1,直线与 椭圆有一个公共点。 6.y=2(x-1)。消去参数得(y-2m) =4(x-m),焦点为 ?
2

? x ? m ? 1, 它在直线 y=2(x-1)上。 ? y ? 2 m,

7.1?m<5。直线过定点(0,1),所以 0 ?

1 ?1.又因为焦点在 x 轴上,所以 5>m,所以 1?m<5。 m
2 2

8.3.双曲线实轴长为 6,通径为 4,故线段端点在异支上一条,在同支上有二条,一共有三条。 9.

? 5 或 ? 6 6

。设直线 l: y=kx 与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2),把 y=kx 代入椭圆方程得(1+3k )x -6x+3=0,

由韦达定理得

6 ① , 1 ? 3k 2 3 ② x1 x2 ? . 1 ? 3k 2 因 F(1,0) ,AF ? BF,所以(x -1)(x -1)+y y =0,即 x1 ? x2 ?
1 2 1 2

x1x2-(x1+x2)+1+k2x1x2=0.



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把①,②代入③得 k

2

1 3 ? ,所以倾斜角为 ? ,k ? ? 3 3 6



5 ?. 6
2a 2 k a2k 2 ? 1

10.3.首先这样的三角形一定存在,不妨设 A,B 分别位于 y 轴左、右两侧,设 CA 斜率为 k(k>0),CA 的 直 线 方 程 为 y=kx+1 , 代 入 椭 圆 方 程 为 (a k +1)x +2a kx=0 , 得 x=0 或
2 2 2 2

x?

,于是

A(?

2a 2 k 1 ? k 2 2a 2 k . ,0) ,|CA|= a2k 2 ? 1 a2k 2 ?1
,利用|CA|=|CB|可得

2a 2 k 1 ? k 2 由题设,同理可得|CB|= a2k 2 ? 1
(k-1)[k -(a -1)k+1]=0, 解得 k=1 或 k -(a -1)k+1]=0。①
2 2 2 2

对于①,当 1<a<

3 时,①无解;当 a ? 3 时,k=1;当 a> 3 时,①有两个不等实根,故最多有 3 个。
2

11.解 设焦点为 F1,F2,椭圆上任一点为 P(x0,y0),∠F1PF2=θ ,根据余弦定理得 |F1F2| =|PF1| +|PF2| -2|PF1|?|PF2|cosθ , 又|PF1|+|PF2|=2a,则 4c =(2a) -2|PF1|?|PF2|(1+cosθ ),再将|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0 及 a =b +c 代入得 4b =2(a -e
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 x 0 )(1+cosθ

).

于是有 cos?

?

2b 2 ? 1. 2 a 2 ? e 2 x0

由 0?

2 2 x0 ? a 2 ,得 b 2 ? a 2 ? e 2 x0 ? a 2 ,所以

2b 2 ? a 2 ? cos? ? 1 。因θ a2

∈[0,π ],所以 cos

θ 为减函数,故 0 ? ?

? 2b 2 ? a 2 ? arccos? ? a2 ?

? ?. ? ?
为增函数,sin

当 2b >a 即 a

2

2

? 2b 时,

2b 2 ? a 2 2b 2 ? a 2 ? ? ? 0 ,arccos ? ,? ? [0, ] ,sinθ 2 2 2 2 a a
?? 2bc ?? ? 2 ;当 ? ?? a
2b ?a
2 2

θ

? ? 2b 2 ? a 2 取最大值 sin ?arccos? ? a2 ? ?

2b 2 ? a 2 ? ? 时,arccos 2 a2

,θ ∈[0,π ],

则 sinθ 最大值为 1。 12.解 设 A(x1,y1),B(x2,y2),若 AB 斜率不为 0,设为 k,直线 AB 方程为 y=k(x+c),代入椭圆方程并化简 得 (b +a k )x +2a k cx+a (k c -b )=0.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



则 x1,x2 为方程①的两根,由韦达定理得

x1 ? x 2 ? ?

2a 2 k 2 c , b2 ? a2k 2



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x1 x 2 ?

a 2 (k 2 c 2 ? b 2 ) . b2 ? a2k 2
2



因为 y1y2=k (x1+c)(x2+c),再由②,③得

y1 y 2 ?

? b2k 2 . a2k 2 ? b2
,O 点在以 AB 为直径的圆内,等价 OA ? OB <0,即

所以 OA ? OB =x1x2+y1y2=

k 2 (a 2 c 2 ? b 4 ) ? a 2 b 2 a2k 2 ? b2
2 2 2

k (a c -b )-a b <0 对任意 k∈R 成立,等价于 a c -b ?0,即 ac-b ?0,即 e +e-1?0.所以 0<e?

2

2 2

4

2

2

2

2

5 ?1 . 2

若斜率不存在,问题等价于

b2 ? c. 即 e ? a

5 ?1 5 ?1 . ,综上 0 ? e ? 2 2
F1( ?

13.解

(1)由双曲线方程得 b

? 2a, c ? 3a ,所以

3a ,0),抛物线焦点到准线的距离

p ? 2 3a ,抛物线 y 2 ? ?4 3ax.
把①代入 C1 方程得 ①

2 x 2 ? 4 3ax ? 2a 2 ? 0.
2


2

Δ =64a >0,所以方程②必有两个不同实根,设为 x1,x2,由韦达定理得 x1x2=-a <0,所以②必有一个负根设为 x1,把 x1 代入①得 y = ? 4
2

3ax1 ,所以 y ? ?2 ? 3ax1

(因为 x1≠0) ,所以 C1,C2 总有两个不同交点。

(2) 设过 F1( ?

? y 2 ? ?4 3ax, ? 3a ,0)的直线 AB 为 my=(x+ 3 a),由 ? 得 y +4 3 may-12a =0, 因为Δ ?my ? x ? 3a ?
2 2

=48m a +48a >0,设 y1,y2 分别为 A,B 的纵坐标,则 y1+y2= 4

2 2

2

3ma ,y y =-12a .所以(y -y ) =48a (m +1).所
1 2 1 2

2

2

2

2

以 SΔ AOB=

3 1 |y -y |?|OF |= 2 2
1 2 1

a? 4

3 a? m 2 ? 1 ? 6a 2 m 2 ? 1 ? 6a 2 ,当且仅当 m=0 时,S

Δ AOB



面积取最小值;当 m→+∞时,SΔ AOB→+∞,无最大值。所以存在过 F 的直线 x= ? 值 6a . 联赛一试水平训练题
2

3a 使Δ AOB 面积有最小

1.m>5.由已知得

x 2 ? ( y ? 1) 2 x ? 2y ? 3 12 ? (?2) 2

?

5 m

,说明(x,y)到定点(0,-1)与到定直线 x-2y+3=0 的距离比为

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常数

5 m

,由椭圆定义

5 m

<1,所以 m>5.

2. a

ab. 因为 b=|PQ|=|PF|+|QF|=

2a 2a 4a ? ? 1 ? cos? 1 ? cos(? ? ? ) sin 2 ?

,所以 sin ?

?2

a b

。 所以

SΔ OPQ=

1 absinθ = a ab . 2
1

3. ?

? 5 ?1 ? ,1? 。设点 P 坐标为(r cosθ ? 2 ? ?

,r1sinθ ),点 Q 坐标为(-r2sinθ ,r2cosθ ),因为 P,Q 在椭圆上,

可得

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 r1 r2 a b
2

,RtΔ OPQ 斜边上的高为

r1 r2 r ?r
2 1 2 2

?

ab a ?b
2 2

?|OF|=c. 所以 a b ?

2 2

c (a +b ),解得

2

2

5 ?1 ?e<1. 2

4. 以 O 为 圆 心 , a 为 半 径 的 圆 。 延 长 F1M 交 PF2 延 长 线 于 N , 则 |F2N|=|PN|-|PF2|=|PF1|-|PF2|=2a,所以|OM|=a. 5.t ∈ (0,1] 时 |AT|min=

OM //
?

1 2

F2N , 而

2 ?t2

,t>1 时 |AT|min=|t-2|. 由 题 设 kAB ? kAC=-

1 2


, 设 A(x,y) , 则

y? 2 y? 2 1 ? ? x x 2
2 2 2 2

(x



0)









x2 y2 ? 4 2

=1(x

0)







? x2 ? 1 ? 2 ? ? ? (x-2t) +2-t .因为|x|?2,所以当 |AT| =(x-t) +y =(x-t) + ? 2 ? 2 ? ?
2 2

t∈(0,1]时取 x=2t,|AT|取最

小值

2 ?t2

。当 t>1 时,取 x=2,|AT|取最小值|t-2|.

6.

l2 . 4

设 点 M(x0,y0) , 直 线 AB 倾 斜 角 为 θ , 并 设 A(x0-

1 1 x0 ? cos? , y 0 ? sin ? 2 2

),

B(x0+

1 1 cos? , y 0 ? sin ? ),因为 A,B 在抛物线上,所以 2 2 1 1 y 0 ? sin ? ? ( x0 ? cos? ) 2 , ① 2 2 1 1 y 0 ? sin ? ? ( x0 ? cos? ) 2 , ② 2 2
2x0cosθ =sinθ . ③

由①,②得 所以

1 1 1 1 1 y 0 ? ( x0 ? cos? ) 2 ? sin ? ? ( ? l 2 cos2 ? ) ? . 2 2 2 4 cos ? 4

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因为 l <1,所以函数 f(x)=

2

1 2 ? l x .在(0,1]在递减, x
。当 cosθ =1 即 l 平行于 x 轴时,距离取最小值

所以

y0 ?

1 1 l2 (1 ? l 2 ) ? ? 4 4 4

l2 . 4

2 ? y0 ? ? y2 ? 2 pa ? ? ?, M 1 ? 1 , y1 , y0 ? 7.? a, ?. 设 M ? ? 2p b ? ? ? ? 2p ?

? ? y2 ? by ? 2 pa ?, M 2 ? 2 , y 2 ? ,由 A,M,M 共线得 y = 0 , ? ? 2p ? y0 ? b ? ? ?
1 1 1 2 1 2 1 2

同理 B,M,M2 共线得

y2 ?

2 pa ,设(x,y)是直线 M M 上的点,则 y y =y(y +y )-2px,将以上三式中消 y0 ? b

去 y1,y2 得 y0 (2px-by)+y0?2pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0. 当 x=a,y=
2

2 pa ? 2 pa ? 时上式恒成立,即定点为 ? a, ?. b ? b ? 1 4 ? 2 ? 1 且 a +2b ?15,解得 5?b ?6. 2 a b
2 2 2

8.

3 ? 6 。由题设

所以 a+b?

b2 ?b ? b2 ? 4

t?4 t?4 ? t ? 4 (t=b -4∈[1,2]),而 ? t?4 t t
2

? 6? 3 ? t?4? 6 ? 3?
式成立。 9.解 设 A(2cosθ ,

t?4 t ?2 2(t ? 2) ? ? , t?2 可得上 又 t t?4? 6 3t ? t (t ? 4)

3 sin ? ),

B(2cosα ,

3 sinα

),C(2cosβ ,

3 sinβ

),这里α ≠β ,则过 A,B 的

直线为 lAB:

3 (sin ? ? sin ? ) ( x ? 2 cos? ) ? 3 sin ? ? y ,由于直线 2(cos? ? cos? )

AB 过点 F1(-1,0),代入有

3

(sin θ -sin α )?(1+2cos θ )=2

3

sin θ (cos θ -cos α ) , 即 2sin( α - θ )=sin θ -sin α

=2 sin

? ??
2
? tan

? cos

? ??
2

,故 2 cos

? ??
2

? cos

? ??
2

? 3 cos

?

即 cos ? sin sin ? 0 , 2 2 2 2 ?(x+2)= ?

?

?

?

tn a

?
2

?
2

? ?3 。又 l : y ?
BD

3 sin ? 3 ? ( x ? 2) ? tan 2(1 ? cos? ) 2 2 3 sin ? 2(cos ? ? 1)

3 3 2 tan

?
2

( x ? 2) ,

同理得 tan

?
2

? tan

?
2

??

1 。l 3

CE

:

y?

(x-2)=

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3 ( x ? 2) 3 3 ? ? 2 ? tan ? 2 2 tan 2

?(x-2).

两直线方程联立,得 P

?? ? 2 ? ? 2 tan 2 ? 2 ? 6 3 tan 2 ? ? 点坐标为 ? , ? ,消去 tan 2 ? tan2 ? ? 1 tan2 ? ? 1 ? ? ? 2 2 ? ?

得点 P(x,y)在椭圆

x2 y2 ? ? 1 上(除去点(-2,0),(2,0)). 4 27
? x2 2 ? 2 ? y ? 1, (1)由 ? a 消去 y 得 x +2a x+2a m-a =0,①设 f(x)=x +2a x+2a m-a ,问题(1)转化 ? y 2 ? 2( x ? m ) ?
2 2 2 2 2 2 2 2

10.解

为方程①在 x∈(-a,a)上有唯一解或等根。只需讨论以下三种情况:

1 .Δ =0,得 m

0

?

a2 ?1 2
0

,此时 xp=-a ,当且仅当-a<-a <a 即 0<a<1 时适合;2 。f(a)?f(-a)<0,当且仅
2 2

2

2

0

当-a<m<a 时适合;3 。f(-a)=0 得 m=a,此时 xp=a-2a ,当且仅当-a<a-2a <a 即 0<a<1 时适合。令 f(a)=0

得 m=-a,此时 xp=-a-2a .由于-a-2a <-a,从而 m≠-a.综上当 0<a<1 时, m 时,-a<m<a. (2)Δ OAP 的面积 S

2

2

?

a2 ?1 或-a<m?a;当 a?1 2

?

1 ay p . 因为 2

0<a<

1 ,故当-a<m?a 2

时,0<-a + a

2

a 2 ? 1 ? 2m ? a ,由唯一性得
? 2 a ? a2

xp=-a +.当 m=a 时,xp 取最小值。由于 xp>0,从而 x p

2

? 1?

x2 p a2

时取值最大,此时 x p





S ? a a ? a2


;当

m?

a2 ?1 时 , x =-a 2
p

2

, y p=

1? a2

,此时

S?

1 a 1? a2 . 以 下 比 较 2

a a ? a2

1 1 a 1 ? a 2 的大小。令 a a ? a 2 ? a 1 ? a 2 2 2 1 1 a a(1 ? a) ? a 1 ? a 2 , 此 时 S m a ?x a 1 ? a 2 2 2 1 a a(1 ? a) ? a 1 ? a 2 ,此时 S max ? a a ? a 2 . 2

,得 a ; 当

?

1 1 ,故当 0<a? 时, 3 3 1 1 时 , 有 ?a? 3 2

11.解:设 A,B 关于 l 的对称点分别为 A1(x2,y2),B1(x1,y1),则 AA1 中点 A2 ? 所以 y2=k(x2-1) ①

? x2 ? 1 y 2 ? ? 2 , 2 ? 在 l 上, ? ? ?

又 l ? AA1,所以

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y2 1 ?? . k x2 ? 1
由①,②得



? k 2 ?1 x2 ? 2 , ? ? k ?1 ? ? y ? ? 2k . ? 2 k 2 ?1 ? 16 k ? ? x1 ? 1 ? k 2 , ? x1 8 ? y1 ? ? 同理,由 BB 中点 B2 ? ? 2 ? 2 , 2 ? 在 l 上,且 l ? BB ,解得 ? ? ? ? ? y ? 8(k ? 1) . ? 1 1? k 2 ?
1 1

设抛物线方程为 y =2px,将 A1,B1 坐标代入并消去 p 得 k -k-1=0.

2

2

所以 k

?

1? 5 2

,由题设 k>0,所以 k

?

1? 5 2

,从而

p?

2 5. 5

所以直线 l 的方程为 联赛二试水平训练题

y?

1? 5 4 x ,抛物线 C 的方程为 y 2 ? 5 x. 2 5

1.以 A 为原点,直线 AC 为 x 轴,建立直角坐标系,设 C(c,0),F(f,0),D(xD,kxD),B(xB,-kxB),则直线 DF 的方程为

x? f ?

f ? xD y ? 0. k xD x?c?



直线 BC 的方程为 c×①-f×②得 (c-f)x+

c ? xB y ? 0. ? k xB



1 ? 1 1 ? [cf ? ? x ? x ? ? (c ? f )] y ? 0. ? k B ? ? D



③表示一条直线,它过原点,也过 DF 与 BC 的交点 G,因而③就是直线 AG 的方程。 同理 ,直线 AE 的方程为 (c-f)x+

1 ? 1 1 [cf ? ? ?x k ? D xB

? ? ? (c ? f )] y ? 0. ? ?



③,④的斜率互为相反数,所以∠GAC=∠EAC。 2.证明 假设这样的闭折线存在,不妨设坐标原点是其中一个顶点,记它为 A0 ,其他顶点坐标为: 都是既约分数,并记 An+1=A0.若 p 与 q 奇偶性相

?a c ? ?a c ? a c A1 ? 1 , 1 ? ,…, An ? ? n , n ? ,其中 i , i ?b d ? ?b d ? bi d i ? 1 1 ? ? n n?

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同,则记 p≡q,否则记 p≠q,下面用数学归纳法证明。 bk≡1,dk≡1(k=1,2,…,n),ak+ck≠ak-1+ck-1(k=1,2,…,n,n+1)。

? a1 当 k=1 时,由 ? ?b ? 1

? ? c1 ? a2 ? d 2 ? ? ? ? ? 1 ,得 1 2 1 ? d12 ? c12 ,因为 a ,b 互质,所以 d 被 b 整除,反之 ? ?d ? b1 ? ? 1 ?
1 1 1 1

2

2

亦然(即 b1 被 d1 整除) 。 因此 b1=±d1,从而 b1
2

;不可 ? d12 ? a12 ? c12 .a1 , c1 不可能都是偶数(否则 b 也是偶数,与互质矛盾)
1

能都是奇数,因为两个奇数的平方和模 8 余 2 不是 4 的倍数,也不可能是完全平方数,因此,a1≠c1,b1≡ d1≡1,并且 a1+c1≠0=a0+c0. 设结论对 k=1,2,…,m-1?n 都成立,令

a m a m ?1 a c m c m ?1 c ? ? , ? ? . bm bm ?1 b d m d m ?1 d
2 2

a c 这里 , b d
又因为

?a? ? c ? 是既约分数,因为每一段的长为 1,所以 ? ? ? ? ? ?b? ?d ?
,分数

=1,与 k=1 情况类似:a≡c,d≡b≡1,

a m a a m ?1 abm ?1 ? bam ?1 ? ? ? bm b bm ?1 bbm ?1

am bm

既约,所以 bm 是 bbm-1 的一个因子,bm≡1.

同理可知 dm≡1,又 am≡abm-1+bam-1(同理 cm≡cdm-1+dcm-1). 因此(am+cm-am-1-cm-1)≡(abm-1+bam-1+cdm-1+dcm-1-am-1-cm-1)≡am-1(b-1)+abm-1+cm-1(d-1)+cdm-1≡a+c≡1. 所以 am+cm≠am-1+cm-1,结论成立,于是在顶点数 n+1 为奇数时,an+1+cn+1≠a0+c0,故折线不可能是闭的。 3.证明 (1)由已知 B0P0=B0Q0,并由圆弧 P0Q0 和 Q0P0,Q0P1 和 P1Q1,P1Q1 和 Q1P1 分别相内切于点 Q0,P1,Q1, 得 C1B0+B0Q0=C1P1,B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1 以及 C0Q1=C0B0+ B0 P ' 0 ,四式相加,利用 B1C1+C1B0=B1C0+C0B0,以及 P' 。 在 B0P0 或其延长线上,有 B0P0=B0 P ' 0 ,从而可知点 P ' 0 与点 P0 重合。由于圆弧 Q1P0 的圆心 C0,圆弧 P0Q0 的圆心 B0 以及 P0 在同一直线上,所以圆弧 Q1P0 和 P0Q0 相内切于点 P0。 (2)现分别过点 P0 和 P1 引上述相应相切圆弧的公切线 P0T 和 P1T 交于点 T。又过点 Q1 引相应相切圆弧的 公切线 R1S1,分别交 P0T 和 P1T 于点 R1 和 S1,连接 P0Q1 和 P1Q1,得等腰Δ P0Q1R1 和Δ P1Q1S1,由此得∠ P0Q1P1=π -∠P0Q1P1-∠P1Q1S1=π -(∠P1P0T-∠Q1P0P)-(∠P0P1T-∠Q1P1P0),而π -∠P0Q1P1=∠Q1P0P1+∠Q1P1P0,代入 上式后,即得∠P0Q1P1=π 同理得∠P0Q0P1=π 4.证明

1 (∠P B Q +∠P C Q ). 2
0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1

1 (∠P B Q +∠P C Q ),所以 P ,Q ,Q ,P 共圆。 2
2

引理:抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)在(x0,y0)处的切线斜率是 2ax0+b. ①

引理的证明:设(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=k(x-x0),代入抛物线方程得 ax2+(b-k)x+c+kx0-y0=0. 又

2 y 0 ? ax0 ? bx0 ? c

故①可化简成

(x-x0)[a(x+x0)+b-k]=0,



因为②只有一个实根,所以 k=2ax0+b.引理得证。 设 P(x0,y0) 为 任 一 正 交 点 , 则 它 是 由 线 y=x ? tan

?1 ?

g 2v cos2 ? 1
2 0

?x

2

与 y=x ?

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tan ? 2

?

g 2v cos2 ? 2
2 0

?x 的交点,则两条切线的斜率分别为(由引理)

2

k ??

gx0 gx0 ? tan ? 1 , k 2 ? ? 2 ? tan ? 2 . 2 v0 cos ? 1 v0 cos2 ? 2
?? gx0 ?? tan ? 2 ? 2 ?? v0 cos2 ? 2 ?? ? ? ? ?1. ? ?

又由题设 k1k2=-1,所以

? gx0 ? tan ? 1 ? ? v0 cos2 ? 1 ?
又 因 为



P(x0,y0) 在 两 条 抛 物 线 上 , 所 以

y0 ? x0

tan? 1 ?

gx0 , 2v cos2 ? 1
2 0

y0 gx , 代入③式得 ? tan? 2 ? 2 0 2 2v0 cos ? 2 x0
? 2 y0 ? ? x ? tan ? 1 ? 0 ?? 2 y 0 ? ?? ? tan ? 2 ? ? ?1. ?? x ? ?? 0 ?
(※)

又因为 tanα 1,tanα 2 是方程

gx0 2v 0

?t -t+

2

y 0 gx0 ? 2 x0 2v0

=0 的两根,所以

tanα 1+tanα 2=

2v 0 , gx0
2v0 gx0



tanα 1?tanα 2=

? y 0 gx0 ? ? x ? 2v 2 0 ? 0

? ?。 ? ?



把④,⑤代入(※)式得

? v ? ?y? 0 ? ? 2 4g ? v0 ? ? ? x0 ? 1? 0 ? y ? v0 ?. 2 2 ? ? 2 y0 ? y 0 ? x0 ? 0 ,即 2 2 ? g 2g ? v0 v0 ? ? 2 2 16 g 8g
5.证明 以 C 为原点,CB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,设∠ADC=θ ,|PD|=r.各点坐标分别为 D(x1,0),E(0,x1),A(0,x1tanθ ),B(x0,0),P(x1-rcosθ ,rsinθ ). 则 lAB 方 程 为

2

x y ? ?1 ,即 x0 x1 t a n ?
0 1

x1x+x0 ? cot θ ?y-x1x0=0, 因 为 lAB 与 圆 相 切 , 可 得 x1 ?

2 x12 ? x 0 ? cot 2 ? = | x12 ? x x ?cotθ

-x1x0|,约去 x1,再两边平方得

2 2 x12 ? x0 cot 2 ? ? x12 ? 2 x1 x0 (cot? ? 1) ? x0 (cot? ? 1) 2 ,所以 x0 ?

2(cot? ? 1) ?x . 2 cot? ? 1
1



又因为点 P 在圆上,所以(rcos ? ) +(x1-rsin ? ) = x1 ,化简得 r=2x1sin ? .
2 2

2



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要证 DP=AP+AE ? 2DP=AD+AE ? 2r=

x1 tan? sin ?

+x1tan ? -x1 ? 1+sin ? -cos ? =4sin ? cos ? .



又因为 CP

? PB ,所以 CP ? BP ? 0.

因为 BP =(x1-x0-rcosθ ,rsinθ ), CP =(x1-rcosθ ,rsinθ ), 所以 (x1-rcosθ )(x1-rcosθ -x0)+r2sin2θ =0. ④

把②代入④化简得

x12 [(1 ? sin 2? ) 2 ? (1 ? cos 2? ) 2 ] ? x1 x0 (1 ? sin 2? ).
由①得 x0=x1?



2 ? 2(cos 2? ? sin 2? ) . 2 ? 2 cos 2? ? sin 2?
2

代 入 ⑤ 并 约 去 x1, 化 简 得 4sin 2 ? -3sin2 ? =0 , 因 为 sin2 ? ≠ 0 , 所 以 sin2 ? = sin ? =

3 4

,又因为

AC CD =cos ? ,所以 sin ? -cos ? >0. ? AD AD 1 3 所以 sin ? -cos ? = 1 ? sin 2? ? , 所以 1+sin ? -cos ? = =4sin ? cos ? , 即③成立。 所以 DP=AP+AE。 2 2 c 6.证明 设 BC=d,CD=b,BD=c,则 AC=CQ= ,取 BC 中点 M,则 AM ? BC,以 M 为原点,直线 2 d d d b BC 为 x 轴建立直角坐标系,则各点坐标分别为 B(? ,0) , C ( ,0) , D ( , b) , A(0, ) , 2 2 2 2 5 2 1 d c S ( d ? c,0) , 因 为 CR ? (d ? c) , 所 以 点 R( ? ,0) , 所 以 6 3 3 6 3
b 3b 3b t a D R?C ?n ? ,t a A S? Q ?n . 1 (d ? c) 5d ? 4c (d ? c) 3
6b 3b ? d ?c ? 因为 0<∠DRC< ,0<∠ASQ<π ,所以只需证 tan∠ASQ=tan2∠DRC,即 2 5d ? 4c 2 ? 3b ? 1? ? ? ?d ?c?
简得 9d -9c -9b =0 即 d =b +c ,显然成立。所以命题得证。
2 2 2 2 2 2

,化

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