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(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.10


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课前自主研习
温故而知新 可以为师矣

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/>知 识 导 读 1.指数函数的概念 一般地,函数________________叫做指数函数. y=ax(a>0,且 a≠1) 2.指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1

图象

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a>1 0<a<1 (1)定义域为 R,值域为(0,+∞) (0,1) (2)图象都过点__________ y>1 (3)当 x>0 时,0<y<1;x 性质 (3)当 x>0 时, ____; 0<y<1 x<0 时,______ <0 时,y>1 (4)在(-∞,+∞)上 (4)在(-∞,+∞)上是 增 是______函数 ______函数 减

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基 础 热 身 1.(2010· 陕西卷)下列四类函数中,具有性质“对任意的 x> 0,y>0,函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)f(y)”的是( ) A.幂函数 B.对数函数 C.指数函数 D.余弦函数 解析:∵(x+y)α≠xα·α, y ∴幂函数 f(x)=xα 不具有此性质. ∵loga(x+y)≠logax· ay, log ∴对数函数 f(x)=logax 不具有此性质. ∵ax+y=ax·y,∴指数函数 f(x)=ax 具有此性质. a ∵cos(x+y)≠cosx· cosy, ∴余弦函数 y=cosx 不具有此性质. 答案:C
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)

2.已知 f(x)=2x+1(x≥0),则 f-1(x)的定义域为( A.[1,+∞) B.(0,+∞) C.[2,+∞) D.(1,+∞)

解析:f-1(x)定义域即为 f(x)=2x+1(x≥0)的值域,又 f(x)= 2x+1 在[0,+∞)上单调递增,故 f(x)≥2,即 f-1(x)定义域为[2, +∞). 答案:C

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3.如图中曲线 C1,C2,C3,C4 分别是函数 y=ax,y=bx, y=cx,y=dx 的图象,则 a,b,c,d 与 1 的大小关系是( ) A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<c<d D. b<a<1<d<c

解析:画直线 x=1 与各曲线相交,即可知,选 D. 答案:D

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4.若函数 y=ax+b-1(a>0 且 a≠1)的图象经过第二、三、 四象限,则一定有( ) A.0<a<1 且 b>0 B.a>1 且 b>0 C.0<a<1 且 b<0 D.a>1 且 b<0

?0<a<1 ? 解析:易知? ?b-1<-1 ?

?0<a<1 ? ?? ?b<0 ?

.

答案:C

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5.(2011· 海淀模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且是 周期为 2 的周期函数,当 x∈[0,1)时,f(x)=2x-1,则 f(log 1 6)
2

的值为(

)

5 A.- B.-2 2 1 C.- D.-6 2

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解析:由于 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且是周期为 2 的周 期函数,则 f(log 1 6)=f(-log26)=-f(log26)=-f(log26-2)=-
2

3 log2 3 f(log2 ),又当 x∈[0,1)时,f(x)=2x-1,则 f(log 1 6)=-(2 2 - 2
2

1 1)=- . 2 答案:C

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6.函数 f(x)=a

a x+1

的值域为__________.

解析:当 0<a<1 时,ax+1>1, ∴0<f(x)<a,即这时 f(x)的值域为(0,a) 当 a>1 时,ax+1>1,∴f(x)>a,这时的值域为(a,+∞). 答案:0<a<1 时,(0,a);a>1 时,(a,+∞)

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思维互动启迪
博学而笃志 切问而近思

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疑难精讲 1.指数函数的外形只能是 y=ax,像 y=kax(k≠0,k≠1)、y =ax+b(b≠0)等都不是指数函数,但它们可以由 y=ax 的图象通 过适当变换得到. 2. 画指数函数 y=ax 的图象, 应抓住三个关键点(1, (0,1), a), 1 1 x 1x x x (-1, ),熟记指数函数 y=10 ,y=2 ,y=( ) ,y=( ) 在同一 a 10 2 坐标系中图象的相对位置,由此掌握指数函数图象的位置与底数 大小的关系.

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3.底数与指数函数的图象相对位置关系

(1)由指数函数 y=ax 与直线 x=1 相交于点(1,a)可知:在 y 轴右侧,图象从下到上相应的底数由小变到大. 1 x (2)由指数函数 y=a 与直线 x=-1 相交于点(-1, )可知, a 在 y 轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变到小. 如图所示的指数函数的底数的大小关系为 0<a4<a3<1<a2<a1.
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4.指数函数题型的解题方法及一般规律 (1)指数函数 y=ax 的单调性与底数 a 有关,当底数 a 与 1 的 大小关系不确定时应注意分类讨论. (2)比较两个指数幂的大小时,尽量化同底或同指,当底数相 同、指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数相 同、底数不同时,构造两个指数函数,利用图象比较大小. (3)解简单的指数不等式时,当底数含参数,且底数与 1 的大 小不确定时,注意分类讨论.

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互动探究 题型 1 指数函数图象的应用 例 1.已知函数
?1? + y=?3?|x 1|. ? ? ? ?

(1)作出图象; (2)由图象指出其单调区间; (3)由图象指出当 x 取什么值时有最值.

【思维点拨】 先化去绝对值符号, 将函数写成分段函数的 1 |x| 1 |x+1| 形式,再作图象,也可作出 y=( ) 的图象后平移,得 y=( ) 3 3 的图象,进而得单调区间与最值.
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【解析】 (1)解法一:由函数解析式可得 ? 1 x+1 ?x≥-1? 1 |x+1| ??3? y=( ) =? , 3 ?3x+1 ?x<-1? ? 其图象由两部分组成: 1x 向左平移1个单位 y=(1)x+1(x≥- 一部分是: y=( ) (x≥0)―――――――――→ 3 3 1); 向左平移1个单位 另一部分是:y=3x(x<0)――――――――――→y=3x+1(x< -1). 如图:

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1 |x| 解法二:①由 y=( ) 可知函数是偶函数,其图象关于 y 轴 3 1x 对称,故先作出 y=( ) 的图象保留 x≥0 的部分,当 x<0 时, 3 1x 1 其图象是将 y=( ) (x≥0)的图象关于 y 轴对折,从而得出 y=( ) 3 3 |x| 的图象. 1 |x| 1 |x+1| ②将 y=( ) 向左平移 1 个单位,即可得 y=( ) 的图象, 3 3 如图所示.

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(2)由图象知函数在(-∞,-1]上是增函数,在[-1,+∞) 上是减函数. (3)由图象知当 x=-1 时,有最大值 1,无最小值.

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题型 2 指数函数性质的应用 例 2.已知函数 f(x)=3x 且 f-1(18)=a+2, g(x)=3ax-4x 的定义域为区间[0,1]. (1)求 g(x)的解析式; (2)求 g(x)的单调区间,确定其增减性并试用定义证明; (3)求 g(x)的值域.

解析:(1)∵f(x)=3x,且 f-1(18)=a+2, ∴f(a+2)=3a+2=18. ∴3a=2. ∵g(x)=3ax-4x=(3a)x-4x, ∴g(x)=2x-4x.
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(2)∵函数 g(x)的定义域为[0,1], 令 t=2x, ∵x∈[0,1],函数 t 在区间[0,1]单调递增. ∴t∈[1,2],则 ? 1?2 1 ? 2 2 g(t)=t-t =-(t -t)=-?t-2? + , ? 4 ? ? t∈[1,2]. ∵函数 t=2x 在[0,1]上单调递增, 函数 g(t)=t-t2 在[1,2]上单 调递减,

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∴g(x)在[0,1]上单调递减. 设 x1、x2 为区间[0,1]内任意两值,且 x1<x2,则 g(x2)-g(x1)=2x2-4x2-2x1+4x1 =(2x2-2x1)-(2x2-2x1)(2x2+2x1) =(2x2-2x1)(1-2x1-2x2). ∵0≤x1<x2≤1, ∴2x2>2x1 且 1≤2x1<2,1<2x2≤2. ∴2<2x1+2x2<4. ∴-3<1-2x1-2x2<-1. 可知(2x2-2x1)(1-2x1-2x2)<0. ∴g(x2)<g(x1).∴函数 g(x)在[0,1]上单调递减.

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(3)∵g(x)在[0,1]上是减函数,则 x∈[0,1]有 g(1)≤g(x)≤g(0), ∵g(1)=21-41=-2,g(0)=20-40=0, ∴-2≤g(x)≤0. 故函数 g(x)的值域为[-2,0].

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题型 3 指数函数性质的综合应用 1 1 例 3.已知函数 f(x)=( x + )x. 2 -1 2 (1)求函数的定义域; (2)讨论 f(x)的奇偶性; (3)求证 f(x)>0.

【思维点拨】 本题(3)欲证对定义域内的任意 x,总有 f(x)>0,首先易证 f(x)在 x>0 的局部有 f(x)>0,结合(2)的结论,利 用奇偶函数图象的对称性,可证得 f(x)在定义域内恒有 f(x)>0.

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解析:(1)∵2x-1≠0,∴x≠0,∴定义域是(-∞,0)∪(0, +∞). ?2x+1?x ?2-x+1??-x? ?1+2x??-x? (2)∵f(x)= x , ∴f(-x)= = = -x x 2?2 -1? 2?2 -1? 2?1-2 ? ?2x+1?x =f(x), 2?2x-1? ∵定义域关于原点对称,∴f(x)是偶函数. (3)当 x>0 时,2x>1, 1 1 ∴f(x)=( x + )x>0. 2 -1 2 又 f(x)在定义域上是偶函数,由偶函数图象关于 y 轴对 称知,当 x<0 时,-x>0,f(x)=f(-x)>0,∴在定义域上恒 有 f(x)>0.
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错解辨析 例 4.若函数 y=4x-3·x+3 的定义域为集合 A,值域为[1,7], 2 集合 B=(-∞,0)∪[1,2],则集合 A 与集合 B 的关系为( ) A.A? B B.A=B C.B? A D.A?B ?4x-3·x+3≤7, 2 ? ? x 【错解】 依题意有 ?4 -3·x+3≥1, 2 ?
??2x?2-3·x-4≤0, 2 ? 即? x 2 ??2 ? -3·x+2≥0, 2 ? ?-1≤2x≤4, ? ∴? x ?2 ≥2或2x≤1. ?

∴2≤2x≤4 或 0<2x≤1. 由函数 y=2x 的单调性可得 x∈(-∞,0]∪[1,2]. ∴A=(-∞,0]∪[1,2]. ∴A=B,所以应选 B.
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【错因】 此解看起来非常完美,无懈可击,现在我们换个 思路来看,令 t=2x,则 y=t2-3· t+3,画出图象(t>0 部分).

其中 A(0,3),B(1,1),C(2,1),D(4,7). 当 t∈[2,4]时,函数 y=t2-3t+3 单调递增,所以其值域为 [1,7], ∴当 2≤2x≤4 时,即 1≤x≤2 时,y∈[1,7] 所以 A=[1,2]时,也能保证 y∈[1,7]而此时 A? B.
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【正解】 由错解知,若 A=B 时,能满足题意,故否定 A、 C.由错解与错因知,若 A=[1,2]? 时,也能满足题意,故应否定 B B. 【答案】 D

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