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2013年全国高中数学联合竞赛一试解答


2013 年全国高中数学联合竞赛一试
试题参考答案及评分标准
说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档;其他各题的 评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分, 解答题中第 9 小题 4 分为一个

档次, 第 10、 11 小题 5 分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1. 设集合 A ? {2, 0, 1, 3} ,集合 B ? {x | ?x ? A, 2 ? x 2 ? A} .则集合 B 中所有元 素的和为 答案 ?5 . .

解 易知 B ? {?2, 0, ?1, ? 3} . 当 x ? ?2, ? 3 时, 有 2 ? x2 ? A ; 2 ? x 2 ? ?2, ? 7 , 而当 x ? 0, ?1 时, 有 2 ? x2 ? A . 因此, 根据 B 的定义可知 B ? {?2, ? 3} . 2 ? x 2 ? 2, 1 , 所以,集合 B 中所有元素的和为 ?5 .
??? ? ??? ?

2. 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 A 、B 在抛物线 y 2 ? 4 x 上, 满足 OA ? OB ? ?4 ,
F 是抛物线的焦点. 则 S?OFA ? S?OFB ?


y12 y2 , x2 ? 2 ,故 4 4

答案 2 . 解 点 F 坐标为 (1, 0) .设 A ( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 x1 ?

??? ? ??? ? 1 ?4 ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ( y1 y2 ) 2 ? y1 y2 , 16



1 ( y1 y2 ? 8) 2 ? 0 ,故 y1 y2 ? ?8 . 16 1 1 1 2 S?OFA ? S?OFB ? ( OF ? y1 )( = ? OF ? y1 y2 ? 2 . ? OF ? y2 ) 2 2 4

3. 在 ?ABC 中 , 已 知 sin A ? 10sin B sin C , cos A ? 10cos B cos C , 则 tan A 的 值 为 . 答案 11 . 解 由于 sin A ? cos A ? 10(sin B sin C ? cos B cos C ) ? ?10cos ( B ? C ) ? 10cos A ,所 以 sin A ? 11cos A ,故 tan A ? 11 . 4. 已知正三棱锥 P ? ABC 底面边长为 1, 高为 2 , 则其内切球半径为 .

1

答案

2 . 6
? , 2

解 如图,设球心 O 在面 ABC 与面 ABP 内的射影分别为 H 和 K , AB 中点为 内切球半径为 r , 则 P 、K 、M 共线,P 、O 、H 共线,?PHM ? ?PKO ? M, 且
OH ? OK ? r , PO ? PH ? OH ? 2 ? r ,

MH ?

3 3 1 5 3 ?2 ? AB ? , PM ? MH 2 ? PH 2 ? , 12 6 6 6
r OK MH 1 ? ? sin ?KPO ? ? , PM 5 2 ? r PO 2 . 6

于是有

解得 r ?

5. 设 a, b 为实数, 函数 f ( x) ? ax ? b 满足: 对任意 x ? [0, 1] , 有 f ( x) ? 1 . 则 ab 的最大值为
1 答案 . 4



解 易知 a ? f (1) ? f (0), b ? f (0) ,则
? ? ? ? 1 ? f (1)?2 ? 1 ? f (1)?2 ? 1 . ? f (0) ? 1 f (1)? ab ? f (0) ? ( f (1) ? f (0)) ? ?? ? ? ? ? 2 4 4 4
2

当 2 f (0) ? f (1) ? ?1 ,即 a ? b ? ? 时, ab ? .故 ab 的最大值为 . 6. 从 1, 2, ? , 20 中任取 5 个不同的数,其中至少有两个是相邻数的概率 为 . 232 答案 . 323 解 设 a1 < a2 < a3 < a4 < a5 取自 1,2,…,20,若 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 互不相邻,则 1 ≤ a1 < a2 ? 1 < a3 ? 2 < a4 ? 3 < a5 ? 4 ≤ 16 , 由此知从 1, 2, ? , 20 中取 5 个互不相邻的数的选法与从 1, 2, ? ,16 中取 5 个不同
5 的数的选法相同,即 C16 种.所以,从 1, 2, ? , 20 中任取 5 个不同的数,其中至少

1 2

1 4

1 4

有两个是相邻数的概率为
2

5 5 5 C20 ? C16 C16 232 = 1 ? = . 5 5 C20 C20 323

7. 若实数 x, y 满足 x ? 4 y ? 2 x ? y ,则 x 的取值范围是 答案 {0} ? [4, 20] . 解 令 y ? a,



x ? y ? b (a, b ? 0) ,此时 x ? y ? ( x ? y ) ? a 2 ? b 2 ,且条件中等

式化为 a 2 ? b 2 ? 4a ? 2b ,从而 a, b 满足方程
(a ? 2) 2 ? (b ?1) 2 ? 5 (a, b ? 0) .

如图所示,在 aOb 平面内,点 (a, b) 的轨迹是以 (1, 2) 为 圆心, 5 为半径的圆在 a, b ? 0 的部分, 即点 O 与弧 ? ACB 的 并集.因此 a 2 ? b 2 ? ? 0 ? ? ?? 2, 2 5 ?? ,从而 x ? a 2 ? b 2 ? ? 0 ? ? ? 4, 20? . ? ? 8. 已知数列 {an } 共有 9 项,其中 a1 ? a9 ? 1 ,且对每个 i ? {1, 2, ?, 8} ,均有
? ? ai ?1 ? 1? ? ?2, 1, ? ? ,则这样的数列的个数为 ai ? 2? ? ? ? ?



答案 491. 解 令 bi ?
ai ?1 (1 ? i ? 8) ,则对每个符合条件的数列 {an } ,有 ai

?bi ? ?
i ?1

8

? ai ?1 a9 1? ? ? 1 ,且 bi ? ? ?2, 1, ? ? ? (1 ? i ? 8) . ? 2? a1 ? ? i ?1 ai ? ?
8



反之,由符合条件①的 8 项数列 {bn } 可唯一确定一个符合题设条件的 9 项数 列 {an } . 记符合条件①的数列 {bn } 的个数为 N .显然 bi (1 ? i ? 8) 中有偶数个 ? ,即
1 2k 2k 2k 个 ? ;继而有 2k 个 2,8 ? 4k 个 1.当给定 k 时,{bn } 的取法有 C8 C8?2 k 种,易 2 1 2

见 k 的可能值只有 0, 1, 2 ,所以
2 2 4 4 N ? 1 ? C8 C 6 ? C8 C4 ? 1 ? 28?15 ? 70 ?1 ? 491 .

因此,根据对应原理,符合条件的数列 {an } 的个数为 491.
3

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 9. (本题满分 16 分)给定正数数列 { xn } 满足 S n ≥ 2 S n ?1 , n = 2,3,? ,这里 S n = x1 + ? + xn .证明:存在常数 C > 0 ,使得
1, 2, ? . xn ≥ C ? 2n , n =



当 n ≥ 2 时, S n ≥ 2 S n ?1 等价于 xn ≥ x1 + ? + xn ?1 .
1 x1 ,用数学归纳法证明: 4
xn ≥ C ? 2n , n = 1, 2, ? .

① …………………4 分

对常数 C =

② ……………………8 分

n = 1 时结论显然成立.又 x2 ≥ x1 =C ? 22 .
k 对 n ≥ 3 ,假设 xk ≥ C ? 2= , k 1, 2, ? , n ? 1 ,则由①式知

xn ≥ x1 + ( x2 + ? + xn ?1 )
≥ x1 + ( C ? 22 + ? + C ? 2n ?1 ) = C ( 22 + 22 + 23 + ? + 2n ?1 ) = C ? 2n ,

所以,由数学归纳法知,②式成立. …………………16 分 10. ( 本 题 满 分 20 分 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 椭 圆 的 方 程 为
x2 y 2 右顶点,F1 、F2 分别为椭圆的左、 ? ? 1(a ? b ? 0) ,A1 、A2 分别为椭圆的左、 a 2 b2

右焦点, P 为椭圆上不同于 A1 和 A2 的任意一点.若平面中两个点 Q 、 R 满足
QA1 ? PA1 , QA2 ? PA2 , RF1 ? PF1 , RF2 ? PF2 ,试确定线段 QR 的长度与 b 的大小

关系,并给出证明. 解 令 c ? a 2 ? b 2 ,则 A1 (?a, 0), A2 (a, 0), F1 (?c, 0), F2 (c, 0) .
2 2 x0 y0 ? ? 1, y0 ? 0 . a 2 b2

设 P ( x0 , y0 ), Q ( x1 , y1 ), R ( x2 , y2 ) ,其中 由 QA1 ? PA1 , QA2 ? PA2 可知

4

???? ? ???? A1Q ? A1 P ? ( x1 ? a )( x0 ? a ) ? y1 y0 ? 0 , ???? ? ???? ? A2Q ? A2 P ? ( x1 ? a )( x0 ? a ) ? y1 y0 ? 0 .

① ②

…………………5 分
2 将①、 ②相减, 得 2a( x1 ? x0 ) ? 0 , 即 x1 ? ?x0 , 将其代入①, 得 ?x0 ? a 2 ? y1 y0 ? 0 ,
2 2? 2 ? x0 ? a2 ??x , x0 ? a ? ?. ,于是 Q ? 0 ? ? y0 ? y0 ? ?

故 y1 ?

…………………10 分
? ? ?
2 ? x0 ? c2 ? ? . …………………15 分 ? y0 ? ?

根据 RF1 ? PF1 , RF2 ? PF2 ,同理可得 R ? ? ??x0 , 因此
QR ?

2 2 x0 ? a 2 x0 ? c2 b2 ? ? , y0 y0 y0

由于 y0 ? (0, b] ,故 QR ? b (其中等号成立的充分必要条件是 y0 ? b ,即点 . P 为 (0, ? b) ) …………………20 分

11. (本题满分 20 分)求所有的正实数对 (a, b) ,使得函数 f ( x) ? ax 2 ? b 满 足:对任意实数 x, y ,有
f ( xy ) ? f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ) .



已知条件可转化为:对任意实数 x, y ,有
(ax 2 y 2 ? b) ? (a ( x ? y ) 2 ? b) ? (ax 2 ? b)(ay 2 ? b) .



先寻找 a, b 所满足的必要条件. 在①式中令 y ? 0 ,得 b ? (ax 2 ? b) ? (ax 2 ? b) ? b ,即对任意实数 x ,有
(1 ? b)ax 2 ? b (2 ? b) ? 0 .

由于 a ? 0 ,故 ax 2 可取到任意大的正值,因此必有 1 ? b ? 0 ,即 0 ? b ? 1 . …………………5 分 在①式中再令 y ? ?x ,得 (ax 4 ? b) ? b ? (ax 2 ? b) 2 ,即对任意实数 x ,有
(a ? a 2 ) x 4 ? 2abx 2 ? (2b ? b 2 ) ? 0 .



5

将②的左边记为 g ( x) .显 然 a ? a 2 ? 0 (否则,由 a ? 0 可知 a ? 1 ,此时 ,于是 g ( x) ? ?2bx 2 ? (2b ? b 2 ) ,其中 b ? 0 ,故 g ( x) 可取到负值,矛盾)
? 2 ? ab ? (ab) 2 g ( x) ? (a ? a 2 ) ? x ? ? ? (2b ? b 2 ) ? ? ? ? ? a ? a2 ? a ? a2 ? 2 b ? b ? x ? (2 ? 2a ? b) ? 0 ? (a ? a ) ? ? ? ? ? ? ? 1? a ? 1? a
2 2 2

对一切实数 x 成立,从而必有 a ? a 2 ? 0 ,即 0 ? a ? 1 . 进一步,考虑到此时
2a ? b ? 2 .

…………………10 分

? b ? b b ? ? ? ? (2 ? 2a ? b) ? 0 ,可得 ? 0 ,再根据 g ? ? ? ? 1? a ? 1? a ? 1? a ?

至此,求得 a, b 满足的必要条件如下:
0 ? b ? 1 , 0 ? a ? 1 , 2a ? b ? 2 .

③ …………………15 分

下面证明, 对满足③的任意实数对 (a, b) 以及任意实数 x, y , 总有①成立, 即
h ( x, y ) ? (a ? a 2 ) x 2 y 2 ? a (1 ? b)( x 2 ? y 2 ) ? 2axy ? (2b ? b 2 )

对任意 x, y 取非负值. 事实上,在③成立时,有 a (1 ? b) ? 0, a ? a 2 ? 0 ,
x 2 ? y 2 ? ?2 xy ,可得 h ( x, y ) ? (a ? a 2 ) x 2 y 2 ? a (1 ? b)(?2 xy ) ? 2axy ? (2b ? b 2 ) ? (a ? a 2 ) x 2 y 2 ? 2abxy ? (2b ? b 2 )
? b ? b ? xy ? (2 ? 2a ? b) ? 0 . ? (a ? a ) ? ? ? ? ? ? ? 1? a ? 1? a
2 2

b (2 ? 2a ? b) ? 0 ,再结合 1? a

综上所述, 所求的正实数对 (a, b) 全体为 {(a, b) | 0 ? b ? 1, 0 ? a ? 1, 2a ? b ? 2} . …………………20 分

6


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