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(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.9

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讲案 2.9 指数式和对数式 课前自主研习 温故而知新 可以为师矣 知 识 导 读 1.指数幂的概念 (1)整数指数幂 整数指数幂的定义: (n∈N*) 由幂的定义可推出下述性质:(m, n∈N*) ①an·m=__________; a ②am÷ n=__________(m>n, a a>0); ③(an)m=__________; ④(ab)n=an·n; b ?a?n a

n ⑤?b? =bn(b≠0). ? ? 为了取消 m>n 的限制,我们规定: 1 -n 0 a =1,a =an(a≠0,n∈N*). [注意]:零的__________幂没有意

义,零的__________幂也没有意义. (2)根式 ①n 次方根的定义,如果一个数的 n 次方等于 a(n>1,n∈N*),那么这个数 叫 a 的 n 次方根. 当 n 为奇数时, 的 n 次方根只有一 a 个,这时正数的 n 次方根是正数,负数 的 n 次方根是负数,记为__________. 当 n 为偶数时,正数 a 的 n 次方根 有两个________.(a>0) ②开方与乘方,求 a 的 n 次方根的 运算称为开方运算,开方运算与乘方运 算是__________. 如,3 的 4 次方是 34=81,而 3 的 4 4 次方根是± 3. (3)分数指数幂 m a n =__________(a>0,m,n∈N*, 且 n>1) m ? 1 n a = m =__________. an

(4)有理数指数幂的运算性质 ①ar·s =__________,(a>0,r、 a s∈Q); ②(ar)s = __________ , (a> 0, r , s∈Q); ③(ab)r=__________(a>0, b>0, r、 s∈Q). 2.对数式 (1)对数的概念:如果 a(a>0,a≠1) 的 b 次幂等于 N,也就是 ab=N,那么, 数 b 叫做以 a 为底数 N 的对数,记作 __________ , 其 中 a 叫 做 对 数 的 __________,N 叫做对数的__________. 由对数的定义可以直接得到对数的 几个性质: ①零和负数__________对数; ②loga1=__________, (a>0, a≠1); ③logaa=__________, (a>0, a≠1); ④a loga N =__________, (a>0, a≠1, N>0); ⑤logaam = __________ , (a > 0 , a≠1).

(2)常用的两种对数,①________对 数;②________对数. (3)对数的运算性质:(M、N>0) ①logaMN = ____________________; M ②loga N =____________________; ③logaMp=____________________. 导 读 校 对 : 1.(1)①am + n ②am - n ③a (2)① a 1 n m ②互逆运算 (3) a (4)①ar + s n m a ②ars ③ar·r 2.(1)logaN = b 底 数 b 真数 ①没有 ②0 ③1 ④N ⑤m (2)①常用 ②自然 (3)①logaM+logaN ②logaM-logaN ③plogaM
n· m

零次

负整数

n

n ± a

基 础 热 身 1.下列运算结果中错误的是(

)

A.a2·3 =a5 a =a6 C.(a ) =a
1 2 2 1 2 2

B.(a2)3 D.(-a2)3=-(a3)2

解析:(a ) = a2=|a|,∴C 错. 答案:C 2.使式子(3-2x-x2) 有意义的 x 的取值集合是( ) A . R B.{x|x≠1 且 x≠2} C.{x|-3≤x≤1} D.{x|-3<x< 1} 解析:由 3-2x-x2>0,解得-3< x<1. 答案:D log89 3.log 3的值是( ) 2 2 3 A. 3 B.1 C. 2 D.2 log89 log2332 2 log23 2 解析:log 3= log 3 =3· 3=3. log2 2 2
? 3 4

答案:A 4.下列各式中,错误的是( A.(27a ) ÷ 0.3a-1=10a2 B.(a -b )÷ +b )=a -b (a 2 2 1 C.[(2 2+3) (2 2-3) ]2=-1 4 3 2 24 11 D. a· a a= a
2 3 2 3
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3

)

解析:对于 A:(27a ) ÷ 0.3a - 1 = 2 3 3a÷10a =10a2 ,正确;对于 B:(a 3 - b )÷ +b )=(a +b )· -b )÷ + (a (a (a b )=a -b ,正确; 对于 C:[(2 2+3)2(2 2-3) ] = [(-1) ] =1 =1,C 错误;对于 D: 4 3 2 12 5 24 11 a· a a= a a= a ,正确. 答案:C
1 2 2 1 2 1 2 2
1 3 1 3 1 3

1 3 3

2 3

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

5.下列四个数中最大的是( ) A.(ln2)2 B.ln(ln2) C.ln 2 D.ln2 解 析 : 0<ln2<1,0<(ln2)2<ln2<1 , ln(ln2)<0,ln 2<ln2. 答案:D 6 . log( n+1 - n )( n+1 + n ) = ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 解析:∵( n+1- n)( n+1+ n) =(n+1)-n=1 ∴ n+1+ n=( n+1- n)-1 ∴原式=log( n+1- n)( n+1- n)- 1 =-1. 答案:B 思维互动启迪 博学而笃志 切问而近思 疑难精讲 1.对于分数指数幂的理解应注意的

问题 (1)分数指数幂不表示相同因式的乘 积,而是根式的另一种写法,分数指数 幂与根式可以相互转化. (2)分数指数幂不能随心所欲地约 分, 例如要将 a 写成 a 等必须认真考察 a 的取值才能决定, 例如(-1) = ?-1?2 =1,而(-1) = -1无意义. (3)在进行幂和根式的化简时,一般 是先将根式化成幂的形式,并化小数指 数幂为分数指数幂,并尽可能地统一成 分数指数幂形式,再利用幂的运算性质 进行化简、求值、计算,以利于运算, 达到化繁为简的目的. 2.ab=N?b=logaN(a>0 且 a≠1) 是解决指、 对数问题的一个有利工具. 在 进行指数式与对数式的互化时,既要知 道指数式可以化为对数式,又要通晓对 数式可以化为指数式.在解题时注意逆 向思维,提高思维的灵活性.
1 2 2 4 2 4 1 2

4

互动探究 题型 1 指数式与对数式的运算 例 1.求值与化简: (1)2(lg 2 )2 + lg 2 · + lg5 ?lg 2?2-lg2+1; ?1? ? 1 ? 4ab ?1 ?3 (2)?4? 2 · ; 1 ? ? ? 0.1??2 ? a3b ?3 ? 2 (3) 已 知 log23 = a,3b = 7 , 试 求 log1256(用 a,b 表示). 【解析】 (1)原式=lg 2(2lg 2+ lg5)+ ?lg 2-1?2 =lg 2(lg2+lg5)+1 -lg 2=lg 2+1-lg 2=1
3 3 3 3 ? ? 4 4 ?4 2 2 2 2 (2)原式= · · · b = 25 a a b 2 10 4 0 0 a b =25 (3)由题可知 3b=7?log37=b,∵a =log23, ∴ab=log27

1 2

3 2

3 log256 log2?7×2 ? ∴log1256 = log 12 = = log2?3×22? 2 log27+3 ab+3 = log23+2 a+2

题型 2 指数式与对数式的互化 例 2.设 x,y,z∈(0,+∞),且 3x =4y=6z. 1 1 1 (1)求证: z -x =2y; (2)比较 3x,4y,6z 的大小. 【解析】 (1)证明:设 3x=4y=6z =k, ∵x,y,z∈(0,+∞), lgk lgk lgk ∴k>1,且 x=lg3,y=lg4,z=lg6 1 1 lg6 lg3 lg2 lg4 1 ∴ z -x =lgk- lgk=lgk=2lgk=2y. (2)∵k>1,∴lgk>0. lgk 3x-4y=lg3· (lg64-lg81)<0, lg4

lgk 4y-6z=lg2· (lg36-lg64)<0, lg6 ∴3x<4y<6z. 错解辨析 例 3. 已 知 log189 = a,18b = 5 , 求 log3645.(用 a,b 表示) 【错解】 a=log189,b=log185 log1845 log185+log189 log3645 = log 36 = = log184+log189 18 a+b log184+b 【错因】 本题错在分母 log1836 的 分解上,把 log1836 变为 log184+log189 后无法再进行计算.(即使能计算,也相 当繁琐). log1845 【正解】 log3645 = log 36 = 18 log185+log189 182 log18 9

log185+log189 a+b = = 2-log189 2-a


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