nbhkdz.com冰点文库

一轮复习配套讲义:第3篇 第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式


第2讲 [最新考纲]

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

sin α 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin 2α+cos 2α=1,cos α=tan α. π 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2± α,π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公 式.

知 识 梳 理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:s

in2α+cos2α=1. sin α (2)商数关系:cos α=tan α. 2.三角函数的诱导公式 一 角 2kπ+α (k∈Z) sin α cos α tan α 二 π+α -sinα -cosα tanα 三 -α -sinα cosα -tanα 四 π-α sinα -cosα -tanα 函数名改变,符号看象限 五 π 2-α cosα sinα 六 π 2+α cosα -sinα

正弦

余弦

正切

口诀

函数名不变,符号看象限 3.特殊角的三角函数值 0° 0 0 1 0 30° π 6 1 2 3 2 3 3 45° π 4 2 2 2 2 1 60° π 3 3 2 1 2 3 90° π 2 1 0

角α 的弧度 数

120° 2π 3 3 2 1 -2 - 3

in α

150° 5π 6 1 2 3 -2 3 -3

18

os α



an α

辨 析 感 悟 1.对三角函数关系式的理解

(1)若 α,β 为锐角,sin2 α+cos2β=1. sin α (2)若 α∈R,则 tan α=cos α恒成立.

(×) (×)

4 3 ?π ? (3)(教材练习改编)已知 sin α=5,α∈?2,π?,则 cos α=5.(×) ? ? 2.对诱导公式的认识 (4)六组诱导公式中的角 α 可以是任意角. (√) π (5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指2的 奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.

(√) (6)角 π+α 和 α 终边关于 y 轴对称.(×) 3.诱导公式的应用 1 1 (7)若 cos(nπ-θ)=3(n∈Z),则 cos θ=3.

(×) 1 ?5π ? 1 (8)(2013· 广东卷改编)已知 sin? 2 +α?=5,则 cos α=-5.(×) ? ? [感悟· 提升] 1.一点提醒 平方关系和商数关系式中的角都是同一个角,且商数关系式中

π α≠2+kπ,k∈Z,如(1)、(2). 2.两个防范 一是利用平方关系式解决问题时,要注意开方运算结果的符号,

需要根据角 α 的范围确定,如(3);二是利用诱导公式化简求值时,先利用公式 化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负—脱周—化锐,特别注意函 数名称和符号的确定.

考点一

同角三角函数基本关系式的应用 2sin α-3cos α =___________, 4sin α-9cos α

【例 1】 (1)已知 tan α=2,则

4sin2 α-3sin αcos α-5cos2α=________. 1 π π (2)(2014· 山东省实验中学诊断)已知 sin θ· cos θ=8,且4<θ<2,则 cos θ-sin θ 的值为________. 解析 (1)
2

2sin α-3cos α 2tan α-3 2×2-3 = = =-1, 4sin α-9cos α 4tan α-9 4×2-9
2

4sin2α-3sin αcos α-5cos2α 4sin α-3sin αcos α-5cos α= sin2 α+cos2α 4tan2α-3tan α-5 4×4-3×2-5 = = =1. tan2α+1 4+1 π π (2)当4<θ<2时,sin θ>cos θ, ∴cos θ-sin θ<0, 1 3 又(cos θ-sin θ)2=1-2sin θcos θ=1-4=4, 3 ∴cos θ-sin θ=- 2 . 答案 (1)-1 1 3 (2)- 2 学生用书 第 52 页 规律方法 (1)应用公式时注意方程思想的应用,对于 sin α+cos α,sin α-cos α, sin αcos α 这三个式子,利用(sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α 可以知一求二. (2)关于 sin α,cos α 的齐次式,往往化为关于 tan α 的式子. 1 【训练 1】 (1)已知 sin α+cos α=5,0<α<π,则 tan α=______. (2)已知 sin α=2sin β,tan α=3tan β,求 cos α=________. 解析 (1)法一 联立方程

1 ? ?sin α+cos α= , 5 ? ? ?sin2α+cos2α=1,

① ②

1 由①得 cos α=5-sin α,将其代入②, 整理得 25sin2α-5sin α-12=0. 4 sin α = ? ? 5, 又 0<α<π,∴? 3 cos α =- ? ? 5, 4 ∴tan α=-3.

1 ?1? 法二 ∵sin α+cos α=5,∴(sin α+cos α)2=?5?2, ? ? 1 24 即 1+2sin αcos α=25,∴2sin αcos α=-25, 24 49 ∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+25=25. 12 ∵sin αcos α=-25<0 且 0<α<π, ∴sin α>0,cos α<0,∴sin α-cos α>0, 7 ∴sin α-cos α=5, 1 4 ? ? ?sin α+cos α=5, ?sin α=5, 4 由? 得? ∴tan α=-3. 7 3 ?sin α-cos α=5, ?cos α=-5, ? ? (2)∵sin α=2sin β,tan α=3tan β, ∴sin2α=4sin2β,① tan2α=9tan2β,② 由①÷ ②得:9cos2α=4cos2β,③ ①+③得:sin2α+9cos2α=4, 3 6 ∵cos2α+sin2α=1,∴cos2α=8,即 cos α=± 4 . 4 答案 (1)-3 6 (2)± 4 考点二 利用诱导公式化简三角函数式

【例 2】 (1)sin(-1 200° )cos 1 290° +cos(-1 020° )· sin(-1 050° )=________.

(2) 设 f(α) =

2sin?π+α?cos?π-α?-cos?π+α? ? 23π? ?- 6 ? = (1 + 2sin α ≠ 0) , 则 f ? ? ?3π ? ? 2 2?π 1+sin α+cos? 2 +α?-sin ?2+α? ? ? ? ?

________. 解析 (1)原式=-sin 1 200° cos 1 290° -cos 1 020° sin1 050° =- sin(3×360° + 120° )cos(3×360° + 210° ) - cos(2×360° + 300° )sin(2×360° + 330° ) =-sin 120° cos 210° -cos 300° sin 330° =-sin(180° -60° )cos(180° +30° )-cos(360° -60° )· sin(360° -30° ) 3 3 1 1 =sin 60° cos 30° +cos 60° sin 30° = 2 × 2 +2×2=1. (2)∵f(α)= ?-2sin α??-cos α?+cos α 1+sin2α+sin α-cos2α

2sin αcos α+cos α cos α?1+2sin α? 1 = = =tan α, 2 2sin α+sin α sin α?1+2sin α? ? 23π? ∴f?- 6 ?= ? ? 1 = 23 π π? ? ? ? tan?- 6 ? tan?-4π+6? ? ? ? ? 1

1 = π= 3. tan 6 答案 (1)1 (2) 3

规律方法 (1)诱导公式应用的原则:负化正、大化小,化到锐角为终了. (2)诱导公式应用的步骤: 任意负角的三角函数 → 任意正角的三角函数 → 0~2π 的角的三角函数 →锐角三角函数 注意:诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号. 【训练 2】 (1)sin(-1 071° )sin 99° +sin(-171° )sin(-261° )+tan(-1 089° )tan(- 540° )=________. 3π? ? tan?π+α?cos?2π+α?sin?α- 2 ? ? ? (2)化简: =________. cos?-α-3π?sin?-3π-α? 解析 (1)原式=(-sin 1 071° )· sin 99° +sin 171° · sin 261° +tan 1 089° · tan 540°

=-sin(3×360° -9° )sin(90° +9° )+sin(180° -9° )· sin(270° -9° )+tan(3×360° +9° )· tan(360° +180° ) =sin 9° cos 9° -sin 9° cos 9° +tan 9° · tan 180° =0+0=0. π?? ? ? tan αcos αsin?-2π+?α+2?? ? ? ?? (2)原式= cos?3π+α?[-sin?3π+α?] ?π ? tan αcos αsin?2+α? ? ? tan αcos αcos α = = ?-cos α?sin α ?-cos α?sin α tan αcos α sin α cos α =- sin α =-cos α· sin α =-1. 答案 (1)0 (2)-1 考点三 利用诱导公式求值

?π ? 1 ?π ? 【例 3】 (1)已知 sin?3-α?=2,则 cos?6+α?=______; ? ? ? ? 3 ?π ? ?5 ? (2)已知 tan?6-α?= 3 ,则 tan?6π+α?=________. ? ? ? ? ?π ? ?π ? π 解析 (1)∵?3-α?+?6+α?=2, ? ? ? ? π ?π ?π ?? ?π ? ? 1 -α??=sin? ?3-α?= . ∴cos?6+α?=cos?2-? 3 ? ?? ? ? ? ? 2 ? π 5π 5 ? ? ? ? ? ? (2)∵?6-α?+? 6 +α?=π,∴tan?6π+α?= ? ? ? ? ? ? 3 ? ?5 ?? ?π ? -tan?π-?6π+α??=-tan?6-α?=- 3 . ? ? ?? ? ? 1 3 答案 (1)2 (2)- 3 π π 规律方法 巧用相关角的关系会简化解题过程.常见的互余关系有3-α 与6+α; π π π π π 2π π 3π 3+α 与6-α;4+α 与4-α 等,常见的互补关系有3+θ 与 3 -θ;4+θ 与 4 -θ 等. 11π? ?7π ? 2 ? 【训练 3】 (1)已知 sin?12+α?=3,则 cos?α- 12 ?=________; ? ? ? ? 1 (2)若 tan(π+α)=-2,则 tan(3π-α)=________.

11π? ? ?11π ? ? ?π ?? 解析 (1)cos?α- 12 ?=cos? 12 -α?=cos?π-?12+α?? ? ? ? ? ? ? ?? ?π ? =-cos?12+α?, ? ? ?π ? π ?? ?7π ? ?π ? 2 + α ? ? ?12+α?= , 而 sin?12+α?=sin?2+? = cos ?12 ?? ? ? ? ? 3 ? 11π? 2 ? 所以 cos?α- 12 ?=-3. ? ? 1 (2)因为 tan(π+α)=tan α=-2, 1 所以 tan(3π-α)=tan(π-α)=-tan α=2. 2 答案 (1)-3 1 (2)2

1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响,尤其是利用平方 关系在求三角函数值时,进行开方时要根据角的象限或范围,判断符号后,正确 取舍. 2.三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用方法有:(1)弦切 sin x 互化法:主要利用公式 tan x=cos x化成正弦、余弦函数;(2)和积转换法:如利 用(sin θ± cos θ)2=1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化;(3)巧用“1”的变换:1= π sin2 θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2 θ)=tan 4=?.

方法优化 2——灵活运用同角三角函数的基本关系式求值 10 【典例】 (2013· 浙江卷)已知 α∈R,sin α+2cos α= 2 ,则 tan 2α=

(

).

4 A.3

3 B.4

3 C.-4

4 D.-3

10 10 [一般解法] 由 sin α+2cos α= 2 ,得 sin α= 2 -2cos α,① 又 sin2α+cos2α=1,② 3 10 ? ?sin α= 10 , 联立①②,解得? 10 ? ?cos α= 10 sin α 1 所以 tan α=cos α=3 或-3. 当 tan α=3 时,tan 2α= 2×3 2tan α 3 2 = 2=- ; 4 1-tan α 1-3 ? 1? 2×?-3? ? ? 3 =- 4. ? 1? 1-?-3?2 ? ? 10 ? ?sin α=- 10 , 或? 3 10 ? ?cos α= 10 .

1 2tan α 当 tan α=-3时,tan 2α= = 1-tan2 α 3 综上,tan 2α=-4.故选 C. [优美解法] 法一

(直接法)两边平方,再同时除以

1 2tan α cos2 α, 得 3tan2 α-8tan α-3=0, tan α=3 或 tan α=-3, 代入 tan 2α= , 1-tan2 α 3 得到 tan 2α=-4. 法二 (猜想法),由给出的数据及选项的唯一性,记 sin α= 3 1 ,cos α= , 10 10

10 这时 sin α+2cos α= 2 符合要求,此时 tan α=3,代入二倍角公式得到答案 C. [答案] C [反思感悟] (1)熟记同角三角函数关系式及诱导公式, 特别是要注意公式中的符号 问题; (2)注意公式的变形应用,如 sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,1=sin2α+cos2α 及 sin α=tan α· cos α 等.这是解题中常用到的变形,也是解决问题时简化解题过 程的关键所在. 【自主体验】

π? 4? (2013· 东北三校模拟)已知 sin θ+cos θ=3?0<θ<4?,则 sin θ-cos θ 的值为 ? ? ( 2 A. 3 解析 法一 ). 2 B.- 3 1 C.3 1 D.-3

π ∵0<θ<4,∴cos θ>sin θ,

16 又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ= 9 , 7 ∴2sin θcos θ= , 9 7 2 ∴(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1-9=9, 2 ∴sin θ-cos θ=- 3 . π? 4 ? 法二 ∵sin θ+cos θ=3,且 θ∈?0,4?. ? ? π ?π π? ? π? 4 ∴θ+4∈?4,2?,sin θ+cos θ= 2sin ?θ+4?=3, ? ? ? ? ? π? 2 2 ? π? 即 sin?θ+4?= 3 ,又 cos?θ+4?= ? ? ? ? ? π? 1-sin2?θ+4?= ? ? ?2 2?2 1 ?= , 1-? ? 3 ? 3

2 ? π? ∴sin θ-cos θ=-(cos θ-sin θ)=- 2cos?θ+4?=- 3 . ? ? 答案 B

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 π 1.已知 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称,且 β=-3,则 sin α 等于( 3 A.- 2 3 B. 2 1 C.-2 1 D.2 ).

π 解析 因为 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称,所以 α+β=2kπ+2(k∈Z).又 β π 5π 1 =-3,所以 α=2kπ+ 6 (k∈Z),即得 sin α=2. 答案 D 29π 25π ? 29π? 2.(2014· 临川一中一调)sin 6 +cos?- 3 ?-tan 4 =( ? ? A.0 1 B.2 C.1 1 D.-2 ).

5π π π 解析 原式=sin(4π+ 6 )+cos(-10π+3)-tan(6π+4) 5π π π =sin 6 +cos3-tan4 1 1 =2+2-1=0. 答案 A 3.(2014· 郑州模拟) 1-2sin?π+2?cos?π-2?=( A.sin 2-cos 2 B.sin 2+cos 2 C.± (sin 2-cos 2) D.cos 2-sin 2 解析 1-2sin?π+2?cos?π-2?= 1-2sin 2cos 2 ).

= ?sin 2-cos 2?2=|sin 2-cos 2|=sin 2-cos 2. 答案 A 4.(2014· 石家庄模拟)已知 2 A.5 2 B.-5 sin α+3cos α =5,则 sin2 α-sin αcos α 的值是( 3cos α-sin α ).

C.-2 D.2

解析 由

sin α+3cos α tan α+3 =5 得 =5 3cos α-sin α 3-tan α
2

sin2 α-sin αcos α tan2 α-tan α 2 即 tan α=2,所以 sin α-sin αcos α= = =5. sin2 α+cos2 α tan2 α+1 答案 A 5.若 sin α 是 5x2-7x-6=0 的根,则

3π? ?3π ? ? sin?-α- 2 ?sin? 2 -α?tan2?2π-α? ? ? ? ? =( π π ? ? ? ? - α + α ? ? ? ? cos 2 cos sin?π+α? ? ? ?2 ? 3 A.5 解析 5 B.3 4 C.5 5 D.4

).

3 3 由 5x2 - 7x - 6 = 0 , 得 x = - 5 或 2. ∴ sin α = - 5 . ∴ 原 式 =

cos α?-cos α?· tan2α 1 5 = =3. sin α· ?-sin α?· ?-sin α? -sin α 答案 B 二、填空题 1 ?3 ? 6.(2014· 杭州模拟)如果 sin(π+A)=2,那么 cos?2π-A?的值是________. ? ? 1 1 解析 ∵sin(π+A)=2,∴-sin A=2. 1 ?3 ? ∴cos?2π-A?=-sin A=2. ? ? 1 答案 2 π? 1 7π? ? ? 7.已知 sin?α+12?=3,则 cos?α+12?的值为________. ? ? ? ? π ? π? 7π? ?? ? α+12?+ ? 解析 cos?α+12?=cos?? ? 2? ? ? ?? π? 1 ? =-sin?α+12?=-3. ? ? 1 答案 -3 π ?π ? 1 ?π ? 8. (2013· 江南十校第一次考试)已知 sin?12-α?=3, 且-π<α<-2, 则 cos?12-α? ? ? ? ? =________. ?π ? 1 解析 ∵sin?12-α?=3, ? ? π 又-π<α<-2, 7π π 13π ∴12<12-α< 12 ,

?π ? ∴cos?12-α?=- ? ? 2 2 答案 - 3 三、解答题 9.化简:

2 2 ?π ? 1-sin2?12-α?=- 3 . ? ?

sin?kπ-α?cos[?k-1?π-α] (k∈Z). sin[?k+1?π+α]cos?kπ+α?

解 当 k=2n(n∈Z)时, 原式= sin?2nπ-α?cos[?2n-1?π-α] sin[?2n+1?π+α]cos?2nπ+α?

sin?-α?· cos?-π-α? -sin α?-cos α? = = =-1; sin?π+α?· cos α -sin α· cos α 当 k=2n+1(n∈Z)时, sin[?2n+1?π-α]· cos[?2n+1-1?π-α] 原式= sin[?2n+1+1?π+α]· cos[?2n+1?π+α] sin?π-α?· cos α sin α· cos α = = =-1. sin α· cos?π+α? sin α?-cos α? 综上,原式=-1. 1 10.已知在△ABC 中,sin A+cos A=5. (1)求 sin Acos A 的值; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值. 1 解 (1)∵sin A+cos A=5,① 1 ∴两边平方得 1+2sin Acos A=25, 12 ∴sin Acos A=-25, 12 (2)由 sin Acos A=-25<0,且 0<A<π, 可知 cos A<0,∴A 为钝角,∴△ABC 是钝角三角形. 24 49 (3)∵(sin A-cos A)2=1-2sin Acos A=1+25=25, 又 sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0,

7 ∴sin A-cos A=5,② 4 3 ∴由①,②可得 sin A=5,cos A=-5, sin A ∴tan A=cos A= 4 3=-3. -5 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 4 5

一、选择题 1.(2012· 辽宁卷)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 tan α=( A.-1 解析 法一 2 B.- 2 2 C. 2 D.1 ).

因为 sin α-cos α= 2,

π? π? ? ? 所以 2sin?α-4?= 2,所以 sin?α-4?=1. ? ? ? ? 因为 α∈(0,π),所以 α= 3π ,所以 tan α=-1. 4

法二 因为 sin α-cos α= 2,所以(sin α-cos α)2=2,所以 sin 2α=-1.因为 α 3π 3π ∈(0,π),2α∈(0,2π),所以 2α= 2 ,所以 α= 4 ,所以 tan α=-1. 答案 A ?π ? 2.(2014· 衡水质检)已知 α 为锐角,且 2tan(π-α)-3cos?2+β?+5=0,tan(π+α) ? ? +6sin(π+β)=1, 则 sin α 的值是( 3 5 A. 5 3 7 B. 7 ). 3 10 C. 10 1 D.3

解析 由已知可得-2tan α+3sin β+5=0,tan α-6sin β=1,解得 tan α=3,又 sin2α+cos2α=1,α 为锐角. 3 10 故 sin α= 10 . 答案 C 二、填空题

3.sin21° +sin22° +?+sin290° =________. 解析 sin21° + sin22° + ? + sin290° = sin21° + sin22° + ? + sin244° + sin245° +

cos244° +cos243° +? +cos21° =(sin21° +cos21° )+(sin22° +cos22° )+ ?+(sin244° 1 91 +cos244° )+sin245° +sin290° =45+2= 2 . 答案 91 2

三、解答题 ? π π? ?π ? 4. 是否存在 α∈?-2,2?, β∈(0, π), 使等式 sin(3π-α)= 2cos?2-β?, 3cos(- ? ? ? ? α)=- 2cos(π+β)同时成立?若存在,求出 α,β 的值;若不存在,请说明理由. 解 假设存在角 α,β 满足条件, ?sin α= 2sin β, 则由已知条件可得? ? 3cos α= 2cos β, 由①2+②2,得 sin2α+3cos2α=2. 1 2 ∴sin2α=2,∴sin α=± 2 . π ? π π? ∵α∈?-2,2?,∴α=± 4. ? ? π 3 当 α=4时,由②式知 cos β= 2 , 又 β∈(0,π), π ∴β=6,此时①式成立; π 3 当 α=-4时,由②式知 cos β= 2 , 又 β∈(0,π), π ∴β=6,此时①式不成立,故舍去. π π ∴存在 α=4,β=6满足条件. 学生用书 第 53 页 ① ②


一轮复习配套讲义:第3篇 第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式

一轮复习配套讲义:第3篇 第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式_数学_高中教育_教育专区。第2讲 [最新考纲] 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 sin α...

高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第3篇 第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式

高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第3篇 第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式_数学_高中教育_教育专区。宜宾市优学堂培训学校 第2讲 [考纲] 同...

2016届高考数学一轮复习 3.2同角三角函数基本关系式及诱导公式练习 理

2016届高考数学一轮复习 3.2同角三角函数基本关系式诱导公式练习 理_数学_高中教育_教育专区。第二节题号 答案 1 同角三角函数基本关系式诱导公式 2 3 4...

第3篇 第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式

第3篇 第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式_数学_高中教育_教育专区。第...口腔执业医师实践技能复习资料 中医护理学基础重点 执业医师实践技能考试模拟试题80...

【创新设计】2015高考数学(北师大版)一轮训练:第3篇 第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式]

【创新设计】2015高考数学(北师大版)一轮训练:第3篇 第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式]_数学_高中教育_教育专区。【创新设计】2015高考数学(北师大版...

2015届高三艺术班数学一轮复习资料 第三章 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式

2015届高三艺术班数学一轮复习资料 第三第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式第三第2讲一、必记 2 个知识点 1.同角三角函数的基本关系式 三角函数...

第三章第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

第三第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第 2 讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 1.同角三角函数的基本关系 (1)...

第三章第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

第三第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式_数学_高中教育_教育专区。第 2 讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 ,[学生用书 P61]) 1.同角三角函数的基本...

一轮复习同角三角函数基本关系式与诱导公式(教师版)

一轮复习同角三角函数基本关系式与诱导公式(教师版)_数学_高中教育_教育专区。同角三角函数基本关系式与诱导公式(教师版)第2讲最新考纲 同角三角函数基本关系式与...

更多相关标签