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类比推理(第二课时)


2.1.1

类比推理
(第二课时)

复习

1.类比推理的定义
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些 已知特征,推出另一类对象也具有类似特征的推理称为类 比推理(简称类比).可见,类比是从特殊到特殊的推理。 类比推理的流程:

观察、比较

联想

、类推

猜想新结论

(一)平面几何与立体几何间的元素类比
二维平面图形 三维立体图形

点 线 边长 面积

线(或点) 面(或线) 面积 体积

练习:在△ ABC中,AB ? AC,AD ? BC于D,则有 1 2 ? 1 2 ? 1 2 . AD AB AC 类比上述结论,猜想四面体ABCD中,AB、AC、AD两两垂直,

1 1 1 1 ? ? ? 2 2 2 AE AB AC AD 2 AE ? 平面BCD,则_______________________.
证明:如图,连接BE交CD于F,连接AF . ? AB ? AC,AB ? AD,

? AB ? 平面ACD, AB ? AF . ?
在Rt△ABF中,AE ? BF,
1 1 1 ? ? ? . 2 2 2 AE AB AF

在Rt△ACD中,AF ? CD,
1 1 1 ? ? ? . ? 12 ? 12 ? 12 ? 12. AF 2 AC 2 AD 2 AE AB AC AD

例2.类比实数加法的运算性质,给出乘法的 类似性质
类比角度 实数的加法 实数的乘法 运算结果 若a, b ? R, 则a ? b ? R 若a, b ? R, 则ab ? R 运算律

a?b ? b?a (a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c)

ab ? ba (ab)c ? a(bc)

加 法 的 逆 运 算 是 减 法 , 乘法的逆运算是除法, 使得方程ax ? 1有 使 得 方 程 ? x ? 0有 a 逆运算 1 唯 一 解 ? ?a x 唯一解x ? a

单位元

a?0?a

a ?1 ? a

例3.利用等差数列性质类比等比数列性质
等差数列 定义 等比数列
an ? q(n ? 2) an?1

an ? an?1 ? d(n ? 2)

an ? a1 ? (n ? 1)d
通项公式

an ? a1q n?1

an ? am ? (n ? m)d
任 意 实 数 、 b的 a a?b 等差中项 2

an ? am q

n? m

两 个 实 数 、b(ab ? 0) a 的 等 比 中 项 ab ?

中项

等差数列

等比数列

下标等差,项等差 当n+m=p+q时, am+an= ap+aq
性质

下标等差,项等比 当n+m=p+q时, aman= apaq

若m + n = 2p, 则 a n ? a m ? 2a p

若m + n = 2p, 则a n ? a m ? a
2 p

Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2mSm , S2m ? Sm , S3m ? S2m 成等比数列 成等差数列

(二). 代数运算方面的类比

加(+) 减(-) 乘(na)
a 除( n )

乘( ?) 除( ? )
a n) 乘方(

开方( a )
n

练习1:(2010·广州高二检测)若数列{an}是等差数列,
1 对于bn= (a1+a2+?+an),则数列{bn}也是等差数 n

列.

类比上述性质,若数列{cn}是各项都为正数的等比数 列,对于dn>0,则dn= 是等比数列.
n c c ?c 1 2 n

时,数列{dn}也

练习2.在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1 +a2+?+an=a1+a2+?+a19-n(n<19,n∈N*) 成立,类比上述性质,相应地:在等比数列{bn} 中,若b9=1,则有等式 成 立. b b ?b =b b ?b (n<17,n∈N*)
1 2 n 1 2 17-n

首先类比等差数列和等比数列可得:
若b10 ? 1,则有等式b1b2 ?bn ? b1b2 ?b19?n (n ? 19,n ?N? ).

再注意b10是b1,b2, ,b19的中间项, ?

而b9是b1,b2, ,b17的中间项, ?
若b9 ? 1,则b1b2 ? ?? bn ? b1b2 ? ?? b17?n (n ? 17,n ?N* ).

由类比推理得:

例4.如图所示,椭圆中心在坐标原点, F为左焦点,当 FB ? AB 时,其离心率 为 ,此类椭圆被称为“黄金椭 圆”.类比“黄金椭圆”,推算出“黄金双 曲线”的离心率e是多少? 5 ?1
2

5 ?1 2

解 析 : 根 据 ?BOF相 似 于 ?AOB, Rt Rt OB OF b c ? 即 ? , OA OB a b 所 以b 2 ? ac, 即c 2 ? a 2 ? ac, 得 c 2 c 两 边 同 时 除 以 , 得( ) ? 1 ? , a a a 1? 5 2 即e ? e ? 1 ? 0, 解 得e ? 2
2

课堂小结 你能总结一下类比推理的特点吗?
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正 在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比 出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的 特殊属性. 3.类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却有 发现的功能.

归纳推理和类比推理的共同点
从具体问 题出发 观察、分析、 比较、联想 归纳、 类比 提出 猜想

合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经 过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类 比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为 合情推理.

练习1: 1.(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与② x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆 的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的 情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命 题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例, 设圆的方程为① 推广的命题为----------------------------(x-a)2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2(a≠c或 ---------------------------------------------------------b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴 ---------------------------------------------------------方程. --------.

练习 2.已知命题: “若数列{an}为等差数列, am=a, n=b(m 且 a b· n-a· m <n,m,n∈N ),则 am+n= ”.现已知数列{bn}(bn>0, n-m
*

n∈N*)为等比数列,且 bm=a,bn=b(m<n,m,n∈N*),若类 比上述结论,则可得到 bm+n=________.
n?m

答案

b m a

n

练习 3.(2009· 浙江)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8 -S4,S12-S8,S16-S12 成等差数列.类比以上结论有:设等比 T8 T12 T16 数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4,________,______, 成等 T8 T4 T12 比数列.

练习3:
a?b 基 本 不 等 式 : 若 ? 0, b ? 0, 则 a ? ab 2 (当 且 仅 当 ? b时 , 等 号 成 立 a )

类比上面的基本不等式 a ? 0, b ? 0, c ? 0, ,若
a?b?c 3 ? abc (当且仅当a ? b ? c时,等号成立 ) 3



练习4:试根据等式的性质猜想不等式的性质。 等式的性质: 猜想不等式的性质: (1) a=b?a+c=b+c; (2) a=b? ac=bc;

(1) a>b?a+c>b+c; (2) a>b? ac>bc;

(3) a=b?a2=b2;等等。 (3) a>b?a2>b2;等等。 练习5:在平面内,若a⊥c,b⊥c,则a//b. 类比到空间,你会得到 什么结论?并判断正误. 猜想:在空间中,若a ⊥g,b ⊥g? 则a//b。
错误 (可能相交)

练习6:
类比角度 实数的乘法 向量的数量积

(a ? b)c ? ac ? bc
当a ? 0时, 运算律 ab ? ac ? b ? c

(a ? b) ?√ ? a ? c ? b ? c c
当a ? 0时 , a ?b ? a ?c ? b ? c
(a ? b)c ? a ? (b ? c)

(ab)c ? a(bc)

?

?


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