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2013届无锡高三一模数学模拟卷


中小学个性化辅导专家

2013 届无锡高三一模数学模拟卷
数学Ⅰ
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分。 1.已知集合 A={x|6x+a>0},若 1 ? A,则实数 a 的取值范围是______________。 2.若复数 z 满足 ( 3 ? i) z ? 4i (i 是虚数单位) ,则 z=__

______________。 3.命题 p:函数 y=tanx 在 R 上单调递增,命题 q:△ABC 中,∠A>∠B 是 sinA>sinB 的充 要条件,则 p∨q 是____________命题。 (填“真”“假”) 4.某地区为了解中学生的日平均睡眠时间(单位:h) ,随机 选择了 n 位中学生进行调查,根据所得数据画出样本的频率分 布直方图如图所示,且从左到右的第 1 个、第 4 个、第 2 个、 第 3 个小长方形的面积依次构成公差为 0.1 的等差数列, 又第一小组的频数是 10,则 n ? _____________。
2 5.如果 f (tan x) ? sin x ? 5sin x? x , 那么 f (5) =____________。 cos

6.把一颗骰子投掷 2 次,观察出现的点数,记第一次出现的点数为 a ,第二次出现的点数 为 b ,则方程组 ?

?ax ? by ? 3, 只有一个解的概率为______________。 ? x ? 2 y ? 2.

7.程序框图如下,若恰好经过 6 次循环输出结果,则 a=___________。 ......

i ? i ?1
开始

N

T ? 0, i ? 1

T ? T ? ai (a ? 1且a ? Z )

T ? 200
Y

输出 T

结束

8.已知正三棱锥 P ? ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的求面上,若 PA,PB,PC 两 两互相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为_______________。 9. 0 为△ ABC 的外心, AB ? 4 , AC ? 2 , ?BAC 为钝角,M 是边 BC 的中点,则 AM ? AO 的值_______________。 10.问题“求方程 3x ? 4 x ? 5x 的解”有如下的思路:方程 3x ? 4 x ? 5x 可变为 ( ) x ? ( ) x ? 1 , 考察函数 f (x) ? ( ) x ? ( ) x 可知, f (2) ? 1 ,且函数 f (x) 在 R 上单调递减,∴原方程有唯
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中小学个性化辅导专家 一解 x ? 2 .仿照此解法可得到不等式: x6 ? (2 x ? 3) ? (2 x ? 3)3 ? x2 的解是____________。 11.设 a ? R,若 x>0 时均有[(a-1)x-1]( x 2-ax-1)≥0,则 a=______________。 12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 在曲线 xy ? 1( x ? 0) 上,点 P 在 x 轴上的射影为

OP 2 若点 P 在直线 x ? y ? 0 的下方, 当 取得最小值时, P 的坐标为________。 点 M。 OM ? MP
13.数列 {a n } 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则 {a n } 的前 60 项和为_____________。 14. 已知函数 f ? x ? ?| x ?1| ? | 2x ?1| ? | 3x ?1| ??? |100x ?1| , 则当 x ? ______________时,
f ? x ? 取得最小值。

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤。 15.已知复数 z1 ? sin 2 x ? ti , z2 ? m ? m ? 3 cos 2 x i , i 为虚数单位, t , m, x ? R ) ( , 且 z1 ? z2 . (1)若 t ? 0 且 0 ? x ? ? ,求 x 的值; (2)设 t ? f ? x ? ,已知当 x ? ? 时, t ?

?

?

1 ?? ? ,试求 cos ? 4? ? ? 的值。 2 3? ?

16.如图 a,在直角梯形 ABCD 中, AB ? AD, AD ? BC , F 为 AD 的中点, E 在 BC 上,且
EF ? AB 。已知 AB ? AD ? CE ? 2 ,沿线段 EF 把四边形
CDFE 折起如图 b,使平面 CDFE ⊥平面 ABEF 。

C

E

B

C

(1)求证: AB ⊥平面 BCE ; (2)求三棱锥 C ? ADE 体积。 D F 图a A 第 16 题 D F E B A

图b

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中小学个性化辅导专家 17.某企业接到生产 3000 台某产品的 A,B,C 三种部件的订单,每台产品需要这三种部件 的数量分别为 2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产 A 部件 6 件,或 B 部件 3 件,或 C 部件 2 件.该企业计划安排 200 名工人分成三组分别生产这三种部件,生产 B 部件的人数 与生产 A 部件的人数成正比,比例系数为 k(k 为正整数). (1)设生产A部件的人数为 x ,分别写出完成 A,B,C 三种部件生产需要的时间; (2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数 k 的值,使完成订单任务的时间最短, 并给出时间最短时具体的人数分组方案。

18.设 A 是单位圆 x2 ? y 2 ? 1 上的任意一点, l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线, D 是直线 l 与 x 轴的交点,点 M 在直线 l 上,且满足 | DM |? m | DA | (m ? 0, 且m ? 1) . 当点 A 在圆上运动时, 记点 M 的轨迹为曲线 C . (Ⅰ)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标; (Ⅱ)过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P , Q 两点,其中 P 在第一象限,它在 y 轴上的 射影为点 N ,直线 QN 交曲线 C 于另一点 H . 是否存在 m ,使得对任意的 k ? 0 ,都有
PQ ? PH ?若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由。

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中小学个性化辅导专家 19.已知函数 f ( x) ? x( x ? a)2 , g ( x) ? ? x2 ? (a ?1) x ? a (其中 a 为常数) ; (1)如果函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 有相同的 极值点,求 a 的值; (2)设 a ? 0 ,问是否存在 x0 ? (?1, ) ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,若存在,请求出实数 a 的 取值范围;若不存在,请说明理由;来源:学.科.网] (3)记函数 H ( x) ? [ f ( x) ? 1] ? [ g ( x) ?1] ,若函数 y ? H ( x) 有 5 个不同的零点,求实数 a 的取值范围。

a 3

20 . 设 数 列

?an ?

的 前 n 项 和 为 S n , 已 知 a1 ? 1, a2 ? 6, a3 ? 11 , 且

(5n ? 8)S n?1 ? (5n ? 2)S n ? An ? B, n ? 1,2,3,? ,其中 A.B 为常数。
(1)求 A 与 B 的值; (2)证明:数列 ?an ? 为等差数列; (3)证明:不等式 5amn ? am an ? 1 对任何正整数 m, n 都成立。

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数学Ⅱ(附加题)
21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题作答.若多做,则按作答的前 ......... 两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. (选修 4—1:几何证明选讲) 如图,在梯形 ABCD 中, AD ∥BC,点 E , F 分别在边 AB , CD 上,设 ED 与 AF 相交 于点 G ,若 B , C , F , E 四点共圆,求证: AG ? GF ? DG ? GE 。

A E G

D

F
B.选修 4—2:矩阵与变换

?1 0 ? 8 ? 2? 求矩阵 M ? ? ? 的特征值和特征向量,并计算 M ?3 ? 的值。 ?0 -1? ? ?

B
(第 21—A 题)

C

C.选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆的参数方程为 ?

? x ? 3 cos ? ? (? 为参数).以 o 为极点, ? y ? sin ? ?
3

? 直线的极坐标方程为 2 ? cos(? ? ) ? 3 6 .求椭圆上点到 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,
直线距离的最大值和最小值。

D.选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) = x - 1 + x - 2 . 若不等式 a + b + a - b ≥ a f ( x) (a 刮0, a, b 立,求实数 x 的范围。
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R) 恒成

中小学个性化辅导专家 22. [必做题] (本小题满分 10 分) 在十字路口的路边,有人在促销木糖醇口香糖,只听喇叭里喊道:木糖醇口香糖,10 元钱三瓶,有 8 种口味供你选择(其中有一种为草莓口味) 。小明一看,只见一大堆瓶装口 香糖堆在一起(假设各种口味的口香糖均超过 3 瓶,且每瓶价值均相同) . (1)小明花 10 元钱买三瓶,请问小明共有多少种选择的可能性? (2)小明花 10 元钱买三瓶,售货员随便拿三瓶给小明,请列出有小明喜欢的草莓味口香糖 瓶数 ? 的分布列,并计算其数学期望。

23. [必做题] (本小题满分10分) 如图,将圆分成n个区域,用3种不同颜色给每一个区域染色, 要求相邻区域颜色互异,把不同的染色方法种数记为 a n 。求 (1) a1 , a2 , a3 , a4 及 a n 与 an ?1 ( n ? 2) 的关系式; (2)数列 ?an ? 的通项公式 a n ,并证明: an ? 2n(n ? N * ) 。
3 4 5 6 7 8 9 2 1 n

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