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黑龙江省友谊县红兴隆管理局第一高级中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题


红兴隆管理局第一高级中学 2015-2016 学年度第一学期期中考试 高二数学学科试卷
注:卷面分值 150 分; 一、选择题(本大题共 12 小题 , 每小题 5 分, 共 60 分) 1.直线 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 与坐标轴围成三角形的面积为 ( A.5 B.10 C.15 ) D.20 时间:120 分钟

2.有 40 件产品

,编号从 1 到 40,从中抽取 4 件检验,用系统抽样方法确定所抽的编号可能 为 ( ) B.5,8,31,36 C.2,14,26,38 D.2,12,22,32

A.5,10,15, 20

3.平行线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 和 6 x ? my ? 2 ? 0 的距离是( A.

) D.

8 5

B.

11 5

C. 2

7 5

4.求过点 P(2,3) ,并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程 ( ) A. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 5 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 或 3 x ? 2 y ? 0 D. x ? y ? 5 ? 0 或 3 x ? 2 y ? 0

? y?2 ? 5.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 1 ?
A.12 B.11 C.3 D.-1





6. 已知直线 l 的方程为 x ? y ? a ? 0(a ? 0) ,则下列叙述正确的是(
2

)

A. 直线不经过第一象限 C. 直线不经过第三象限

B. 直线不经过第二象限 D. 直线不经过第四象限

7.直线 l 1 : x ? 2my ? 1 ? 0 与 l 2 : (3m ? 1)x ? my ? 1 ? 0 平行,则实数 m 的值为( A.0 B.

)

1 6

C. 0 或

1 6

D. 0 或

1 4

1

? ? a ? bx 所表示的直线必经过点 8.已知 x、y 之间的一组数据如下:则线性回归方程 y
x y

0

8

A.(1.5,5)

B. (5,1.5) )

C. (2,5)

D. (1.5,4)

9.执行下面的程序框图,输出的 S=(

A.25

B.9

C.17

D.20 )

2 2 10.设 P , Q 分别为直线 x ? y ? 0 和圆 x ? ( y ? 6) ? 2 上的点,则 | PQ | 的最小值为(

A. 2 2

B. 3 2

C. 4 2

D. 4 )

11.已知圆心 ? 2, ?3? ,一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是( A. x ? y ? 4 x ? 6 y ? 8 ? 0
2 2

B. x ? y ? 4 x ? 6 y ? 8 ? 0
2 2

C. x ? y ? 4x ? 6 y ? 0
2 2

D. x ? y ? 4x ? 6 y ? 0
2 2

12.点 M( x 0 , y 0 )在圆 x ? y ? R 外,则直线 x0 x ? y0 y ? R 2 与圆的位置关系是(
2 2 2



A.相切

B. 相交

C.相离

D.不确定

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.以点(2,-1)为圆心且与直线 x+y=6 相切的圆的方程是______________. 14.在区间 ? ?1, 2? 上随机取一个数 X,则 x ? 1的概率为______________.

?x ? y ? 1 ? 15.已知不等式组 ? x ? y ? ?1 ,表示的平面区域为 M,若直线 y ? kx ? 3k 与平面区域 M 有 ?y ? 0 ?

2

公共点,则 k 的取值集合是______________. 16.若集合 A={(x,y)|y=1+ 4-x },B={(x,y)|y=k(x-2)+4}.当集合 A∩B 有 4 个子集时,实数 k 的取值集合是________________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 10 分) 求满足下列条件的直线的方程。 (1)经过两条直线 2x-3y+10=0 和 3x+4y-2=0 交点,且垂直于直线 3x-2y+4=0; (2) 经过两条直线 2x+y-8=0 和 x-2y+1=0 交点,且平行于直线 4x-3y-7=0; 18.(本小题满分 12 分) 在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分, 用 xn 表示编号为 n(n=1,2,?,6)的同 学所得成绩,且前 5 位同学的成绩如下: 编号 n 成绩 xn 1 70 2 76 3 72 4 70 5 72
2

(1)求第 6 位同学的成绩 x6,及这 6 位同学成绩的标准差 s; (2)从前 5 位同学中, 随机地选 2 位同学, 求恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的概率.

19. (本小题满分 12 分) 2 2 2 2 已知圆 C1:x +y +2x+2y-8=0 与圆 C2:x +y -2x+10y-24=0 相交于 A、B 两点, (1)求公共弦 AB 所在的直线方程; (2)求圆心在直线 y=-x 上,且经过 A、B 两点的圆的方程.

20. (本小题满分 12 分) 某高校在 2015 年的自主招生考试成绩中随机抽取 40 名学生的笔试成绩, 按成绩共分成五组:

80) ,第 2 组 [80, 85) ,第 3 组 [85, 90) ,第 4 组 [90, 95) ,第 5 组 [95, 100] ,得 第 1 组 [75,
到的频率分布直方图如图所示,同时规定成绩在 85 分以上(含 85 分)的学生为“优秀” , 成绩小于 85 分的学生为“良好” ,且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格. (Ⅰ)求出第 4 组的频率,并补全 频率分布直方图; (Ⅱ)根据样本频率分布直方图估 计样本的中位数; (Ⅲ)如果用分层抽样的方法从“优 秀”和“良好” 的学生中选出 5 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 O
频率/组距

75

80

85

90

95 100分数

人,再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是“优秀”的概率是多少?

3

21. (本小题满分 12 分) 已知圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 (a ? 0) 及直线 l : x ? y ? 3 ? 0 . 当直线 l 被圆 C 截得的弦长为
2 2 时, 求(1) a 的值;

(2)求过点 (3,5) 并与圆 C 相切的切线方程.

22. (本小题满分 12 分) 2 2 2 已知圆 x +y +2ax-2ay+2a -4a=0(0<a≤4)的圆心为 C,直线 l:y=x+m. (1)若 m=4,求直线 l 被圆 C 所截得弦长的最大值; (2)若直线 l 是圆心下方的切线,当 a 在(0,4]的变化时,求 m 的取值范围.

4

红兴隆管理局第一高级中学 2015—2016 学年度第一学期期中考试 高二 数学 答案 一、选择题:本大题共 12 小题 , 每小题 5 分, 共 60 分。 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 B 5 B 6 B 7 C 8 A 9 C 10 A 11 D 12 B

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

2
25 13、(x-2) +(y+1) = . 14、 3 2
2 2

5 3 ? 1 ? 15、 ? ? , 0 ? 16、{k| <k≤ } 12 4 3

?

?

三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 10 分) (1)2X+3y-2=0 (5 分) (2) 4X-3y-6=0(5 分) 18. (本小题满分 12 分) 解:(1)∵这 6 位同学的平均成绩为 75 分, 1 ∴ (70+76+72+70+72+x6)=75,解得 x6=90. 6 这 6 位同学成绩的方差

s2= ×[(70-75)2+(76-75)2+(72-75)2+(70-75)2+(72-75)2+(90-75)2]=49,
∴标准差 s=7. ?? 6 分

1 6

(2)从前 5 位同学中, 随机地选出 2 位同学的成绩有: (70,76), (70,72), (70,70), (70,72), (76,72), (76,70),(76,72),(72,70),(72,72),(70,72),共 10 种,

恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的有:(70,76),(76,72),(76,70),(76,72),共 4 种. 4 所求的概率为 =0.4. ?? 12 分 10 19. (本小题满分 12 分)
? ?x +y +2x+2y-8=0 解:(1)? 2 2 ?x +y -2x+10y-24=0 ?
2 2 2

? x-2y+4=0. ??4 分
2 2

(2)由(1)得 x=2y-4,代入 x +y +2x+2y-8=0 中得:y -2y=0. ?x=-4 ?x=0 ? ? ∴? 或? ,即 A(-4,0),B(0,2), ?y=0 ?y=2 ? ? 又圆心在直线 y=-x 上,设圆心为 M(x,-x), 则|MA|=|MB|,解得 M(-3,3), 2 2 ∴⊙M:(x+3) +(y-3) =10. ??12 分

5

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)其它组的频率和为 (0.01+0.07+0.06+0.02)×5=0.8, 所以第四组的频率为 0.2, 频率分布图如图: 分

??3

(Ⅱ)设样本的中位数为 x ,则 5 ? 0.01 ? 5 ? 0.07 ? ( x ? 85) ? 0.06 ? 0.5 , ?? 5 分 260 260 解得 x ? 所以样本中位数的估计值为 ?????6 3 3 分 (Ⅲ)依题意良好的人数为 40 ? 0.4 ? 16 人,优秀的人数为 40 ? 0.6 ? 24 人 优秀与良好的人数比为 3:2,所以采用分层抽样的方法抽取的 5 人中有优秀 3 人,良 好 2 人 ???????8 分 记从这 5 人中选 2 人至少有 1 人是优秀为事件 M 将考试成绩优秀的三名学生记为 A,B,C, 考试成绩良好的两名学生记为 a,b 从这 5 人中任选 2 人的所有基本事件包括:AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab 共 10 个基本事件 ???????9 分 事件 M 含的情况是:AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,共 9 个 ??10 分 所以 P ( M ) ?

9 10

???????12

分 21. (本小题满分 12 分) (1) a ? 1 ; (2) 5 x ? 12y ? 45 ? 0 或 x ? 3
6 5 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

y
f ? x? = x + 3

O
–1 –2 –3 –4

1

2

3

4

5

x

( 1 ) 依 题 意 可 得 圆 心 C (a,2),半径r ? 2 , 则 圆 心 到 直 线 l : x ? y ? 3 ? 0 的 距 离

d?

a?2?3 1 ? ( ?1)
2 2

?

a ?1 2

,由勾股定理可知 d ? (
2

2 2 2 ) ? r 2 ,代入化简得 a ? 1 ? 2 , 2
???

解得 a ? 1或a ? ?3 ,又 a ? 0 ,所以 a ? 1 ; ??6 分 (2)由(1)知圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 ,
2 2

又 (3,5) 在圆外,
6

设方程为 y ? 5 ? k ( x ? 3) , 由圆心到切线的距离 d ? r ? 2 ? ①当切线方程的斜率存在时, 5 可解得 k ? ,? 切线方程为 5 x ? 12y ? 45 ? 0 ??9 分, 12 ②当过 (3,5) 斜率不存在,易知直线 x ? 3 与圆相切, 综合①②可知切线方程为 5 x ? 12y ? 45 ? 0 或 x ? 3 . ??? ??12 分

22. (本小题满分 12 分) 解:(1)已知圆的标准方程是(x+a) +(y-a) =4a(0<a≤4),则圆心 C 的坐标是(-a,a), 半径为 2 a.直线 l 的方程化为:x-y+4=0. 则圆心 C 到直线 l 的距离是 |-2a+4| = 2|2-a|. 2
2 2

设直线 l 被圆 C 所截得弦长为 L,由圆、圆心距和圆的半径之间关系是:

L=2 ?2 a?2-? 2|2-a|?2
=2 -2a +12a-8=2 -2?a-3? +10.∵0<a≤4,∴当 a=3 时,L 的最大值为 2 10.
2 2

??? ??7 分 |m-2a| (2)因为直线 l 与圆 C 相切,则有 =2 a, 2 即|m-2a|=2 2a. 又点 C 在直线 l 的上方,∴a>-a+m,即 2a>m. ∴2a-m=2 2a,∴m=( 2a-1) -1.
2

∵0<a≤4,∴0< 2a≤2 2. ∴m∈[-1,8-4 2]. ??? ?12 分

7


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