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浙江省绍兴一中2013-2014学年高二数学上学期期末试题 理


绍兴一中高二数学(理科)期末考试题卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1、已知命题 p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ,则命题 p 的否定 ? p 为 A. ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 C. ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 B.

?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 D. ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0

2. 已知平面 ? ,直线 l ? ? ,直线 m? ? ,则“直线 l ∥ ? ”是“ l ∥m”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 3. 圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 0 过点 ?4,2? 的最短弦所在直线的斜率为 A.2 B.-2 C. ?

1 1 D. 2 2 2 2 4. 过 (2, 2) 点且与曲线 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 相交所得弦长为 2 3 的直线方程为
A. 3 x ? 4 y ? 2 ? 0 C. 3 x ? 4 y ? 2 ? 0 或 y ? 2 B. 3x ? 4 y ? 2 ? 0 或 x ? 2 D. x ? 2 或 y ? 2

5.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大 圆上,则该正三棱锥的体积是 A.
3 3 4
2

B.

3 3

C.

3 4

D.

3 12

x2 y 2 6 .设抛物线 M : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 是双曲线 N : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 右焦 a b
点.若 M 与 N 的公共弦 AB 恰好过 F,则双曲线 N 的离心率 e 的值为 A. 2 B. 2 ? 1 C. 3 ? 2 D .

2 ?1

7. 如果直线 ax ? by ? 2 与圆 x2 ? y 2 ? 4 相切,那么 a ? b 的最大值为 A. 1 B. C. 2 D.

8.

已知集合 A ? ?直线? ,集合 B ? ?平面? ,集合 C ? A B ,若 a ? A, b ? B, c ? C ,

则下列命题中正确的是

A.

a ? b? ? ? a // c c ? b?

B.

a ? b? a // b ? ? ? a ? c C. ? ? a // c c // b ? c // b ?

D.

a // b ? ??a ?c c ? b?
1 ,点 P 是 ABCD 面内 3

9. 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为1,点 M 在棱 AB 上,且 AM ?

的动点,且点 P 到直线 A1D1 的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为1,则点 P 的轨迹是 A. 抛物线 B. 双曲线 C. 直线 D. 以上都不是

10. 设 e 1 、 e 2 分别为具有公共焦点 F 1 、 F 2 的椭圆和双曲线的离心率, P 是两曲线的一个公 共点,且满足 P F P F F F 1? 2? 1 2 ,则

e1 e 2 e 12 ? e 22

的值为

A.

2 2

B.2

C. 2

D.1

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分) 11.若直线 x-2y+5=0 与直线 2x+my-6=0 互相垂直,则实数 m=__▲___. 12. 已知命题 p : 不等式 x ? m 的解集是 R,命题 q : f ( x) ?

函数,若命题“ p ? q ”为真,则实数 m 的范围是__▲__.

2?m 在区间 (0,??) 上是减 x

13. 从一个棱长为 1 的正方体中切去一部分,得到一个几何体,其三视图如右图,则该几何 体的体积为 ▲ . 14. 一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积和半球的体积 相等,则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为 ▲ .

(0, ?1) , 15. 已知正方形 ABCD 的坐标分别是 (?1, 0) , (0,1) , (1, 0) ,
动点 M 满足: k MB k MD ? ?

1 则 MA ? MC ? 2



16.设 F1 , F2 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,若椭圆上存在一点 P , I a2 b2

S ?IPF1 为 ?PF 1 F2 的内心,使

? S ?IPF2 ? 2S ?IF1F2 ,则该椭圆的离心率等于

▲ .

17.已知平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 , AC1 与平面 A1 BD , CB1 D1 交于 E , F 两点。 给出以下命题,其中真命题有___▲___(写出所有正确命题的序号) ①点 E , F 为线段 AC1 的两个三等分点;

D1 A1 D A E F B1 C B

C1

2 1 1 ② ED1 ? ? DC ? AD ? AA1 ; 3 3 3
③设 A1 D1 中点为 M ,CD 的中点为 N ,则直线 MN 与面 A1 DB 有一个交点; ④ E 为 ?A1 BD 的内心;

⑤ 若 ?A1 AD ? ?A1 AB ? ?BAD ? 60 , 且AA1 ? AB ? AD ? 1 , 则 三棱锥 A1 ? ABD 为
0

正三棱锥,且 | AC1 |? 6 .

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 42 分) 18.(本小题满分 8 分) 已知圆 C:x +(y-2) =5,直线 l:mx-y+1=0. (1)求证:对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同交点; (2)若圆 C 与直线相交于点 A 和点 B,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程.
2 2

19. (本小题满分 8 分) 如右图为一组合几何体,其底面 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD , EC // PD ,且

PD ? AD ? 2 EC ? 2
(Ⅰ)求证: BE // 平面 PDA ; (Ⅱ)求四棱锥 B ? CEPD 的体积; (Ⅲ)求该组合体的表面积.

20. (本小题满分 8 分) x y 如图,F1、F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,A a b 是椭圆 C 的顶点,B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点,∠F1AF2
2 2

=60°. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)已知△AF1B 的面积为 40 3,求 a,b 的值.

21. (本小题满分 9 分) 如图, 在四棱锥 P -ABCD 中, 底面 ABCD 为菱形,?BAD ? 60 , Q 为 AD 的中点, PA=PD=AD=2。
?

(I)求证:AD ? 平面 PQB; (II)点 M 在线段 PC 上,PM=tPC,当 PA//平面 MQB 时, 求 t 的值; (III)若 PA//平面 MQB,平面 PAD ? 平面 ABCD,求二面 角 M-BQ-C 的大小。

22. (本小题满分 9 分)

y 2 x2 已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点为 P(1, 0) , 过 C1 的焦点且垂直长轴的弦长为 1 . a b
(I)求椭圆 C1 的方程; (II)设抛物线 C2 : y ? x ? h (h ? R) 的焦点为 F,过 F 点的直线 l 交抛物线与 A、B 两点,
2

过 A、B 两点分别作抛物线 C2 的切线交于 Q 点,且 Q 点在椭圆 C1 上,求 ?ABQ 面积的最值, 并求出取得最值时的抛物线 C2 的方程。

2013 年高二(上)期末考试卷(数学理科) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)

1、已知命题 p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ,则命题 p 的否定 ? p 为( A. ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2



B. ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2

C. ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2

D. ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0

答案:D 2. 已知平面 ? ,直线 l ? ? ,直线 m? ? ,则“直线 l ∥ ? ”是“ l ∥m”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 答案:B 3. 圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 0 过点 ?4,2? 的最短弦所在直线的斜率为( A.2 答案:C 4. 过 (2, 2) 点 且 与 曲 线 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 相 交 所 得 弦 长 为 2 3 的 直 线 方 程 为
2 2

)[



B.-2

C. ?

1 2

D.

1 2

(

) A. 3 x ? 4 y ? 2 ? 0 C. 3 x ? 4 y ? 2 ? 0 或 y ? 2 B. 3x ? 4 y ? 2 ? 0 或 x ? 2 D. x ? 2 或 y ? 2

答案:C 5.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大 圆上,则该正三棱锥的体积是( A. 答案:C 6 .设抛物线 M : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 是双曲线 N :
3 3 4

) C.
3 4

B.

3 3

D.

3 12

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 右焦 a 2 b2
)

点.若 M 与 N 的公共弦 AB 恰好过 F,则双曲线 N 的离心率 e 的值为 ( A. 2 答案:B 7. 如果直线 ax ? by ? 2 与圆 x2 ? y 2 ? 4 相切,那么 a ? b 的最大值为 ( A. 1 答案:D 8. B. C. 2 D. B. 2 ? 1 C. 3 ? 2 D .

2 ?1



已知集合 A ? ?直线? ,集合 B ? ?平面? ,集合 C ? A B ,若 a ? A, b ? B, c ? C ,
( )

则下列命题中正确的是

A.

a ? b? ? ? a // c c ? b?

B.

a ? b? a // b ? ? ? a ? c C. ? ? a // c c // b ? c // b ?

D.

a // b ? ??a ?c c ? b?

答案:B 9. 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为1,点 M 在棱 AB 上,且 AM ?

1 ,点 P 是 ABCD 面内 3


的动点, 且点 P 到直线 A1D1 的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为1, 则点 P 的轨迹是 ( (A)抛物线 答案:A (B)双曲线 (C)直线 (D)以上都不是

10. 设 e 1 、 e 2 分别为具有公共焦点 F 1 、 F 2 的椭圆和双曲线的离心率, P 是两曲线的一个公 共点,且满足 P F P F F F 1? 2? 1 2 ,则

e1 e 2 e 12 ? e 22

的值为(



A. 答案:A

2 2

B.2

C. 2

D.1

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分) 11.若直线 x-2y+5=0 与直线 2x+my-6=0 互相垂直,则实数 m=________. 答案 1 12. 已知命题 p : 不等式 x ? m 的解集是 R,命题 q : f ( x) ?

函数,若命题“ p ? q ”为真,则实数 m 的范围是______. 答案: ? ??,2?

2?m 在区间 (0,??) 上是减 x

13. 从一个棱长为 1 的正方体中切去一部分,得到一个几何体,其三视图如右图,则该几何 体的体积为 . 答案:

5 6

14. 一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积和半球的体积 相等,则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为 答案: .

5 5

15. 已知正方形 ABCD 的坐标分别是 (?1, 0) , (0,1) , (1, 0) , (0, ?1) ,动点 M 满足:

k MB k MD ? ?
答案: 2 2

1 则 MA ? MC ? 2

16.设 F1 , F2 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,若椭圆上存在一点 P , I a2 b2

S ?IPF1 为 ?PF 1 F2 的内心,使
答案:

? S ?IPF2 ? 2S ?IF1F2 ,则该椭圆的离心率等于

.

1 2

17.已知平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 , AC1 与平面 A1 BD , CB1 D1 交于 E , F 两点。 给出以下命题,其中真命题有________(写出所有正确命题的序号) ①点 E , F 为线段 AC1 的两个三等分点;

D1 A1 D A E F B1 C B

C1

2 1 1 ② ED1 ? ? DC ? AD ? AA1 ; 3 3 3
③设 A1 D1 中点为 M ,CD 的中点为 N ,则直线 MN 与面 A1 DB 有一个交点; ④ E 为 ?A1 BD 的内心; ⑤若 ?A1 AD ? ?A1 AB ? ?BAD ? 60 , 且AA1 ? AB ? AD ? 1 ,
0

则三棱锥 A1 ? ABD 为正三棱锥,且 | AC1 |? 6 . 答案:①⑤

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 42 分) 18.(本小题满分 8 分) 已知圆 C:x +(y-2) =5,直线 l:mx-y+1=0. (1)求证:对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同交点; (2)若圆 C 与直线相交于点 A 和点 B,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程. 解析:(1)证明:法一:直线系 l:mx-y+1=0 恒过定点(0,1),且点(0,1)在圆 C:x +(y -2) =5 内部,所以对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同交点.--------3 分 法二:直线方程与圆的方程联立,消去 y 得(m +1)x -2mx-4=0, ∵Δ =4m +16(m +1)=20m +16>0,∴对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同交点. |0-2+1| 1 法三:圆心到直线的距离 d= = 2 ≤1< 5,所以对 m∈R,直线 l 与圆 C 2 m +1 m +1
2 2 2 2 2 2 2 2 2

总有两个不同交点. (2)解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),--------4 分 2m 2 2 由方程(m +1)x -2mx-4=0,得 x1+x2= 2 ,--------5 分 m +1 m y-1 ∴x= 2 ,由 mx-y+1=0,得 m= ,--------6 分 m +1 x m y-1 2 y-1 代入 x= 2 ,得 x[( ) +1]= , m +1 x x 3 2 1 2 化简得 x +(y- ) = . 2 4 --------8 分

19. (本小题满分 8 分) 如右图为一组合几何体,其底面 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD , EC // PD ,且

PD ? AD ? 2 EC ? 2
(Ⅰ)求证: BE // 平面 PDA ; (Ⅱ)求四棱锥 B ? CEPD 的体积; (Ⅲ)求该组合体的表面积. 解: (2 分+3 分+3 分)

20. (本小题满分 8 分)

x y 如图,F1、F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,A 是椭圆 C 的顶点,B 是直线 a b AF2 与椭圆 C 的另一个交点,∠F1AF2=60°. (1)求椭圆 C 的离心率;

2

2

(2)已知△AF1B 的面积为 40 3,求 a,b 的值. 解 (1)由题意可知,△AF1F2 为等边三角形,a=2c, 1 所以 e= . ----------2 分 2 (2)方法一 a =4c ,b =3c , 直线 AB 的方程为 y=- 3(x-c),----------3 分 3 3 ? ?8 2 2 2 将其代入椭圆方程 3x +4y =12c ,得 B? c,- c?,----------5 分 5 ? ?5 ?8 ? 16 所以|AB|= 1+3·? c-0?= c. ----------6 分 ?5 ? 5 1 1 16 3 2 3 2 由 S△AF1B= |AF1|·|AB|·sin∠F1AB= a· c· = a =40 3, 2 2 5 2 5 解得 a=10,b=5 3. ----------8 分 方法二 设|AB|=t.因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a. 由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a 可知,|BF1|=3a-t, 8 2 2 2 再由余弦定理(3a-t) =a +t -2atcos 60°可得,t= a. 5 1 8 3 2 3 2 由 S△AF1B= a· a· = a =40 2 5 2 5 a=10,b=5 3. 21. (本小题满分 9 分) 如图,在四棱锥 P -ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 ,Q 为
?
2 2 2 2

3知,

AD 的中点,PA=PD=AD=2。 (I)求证:AD ? 平面 PQB; (II)点 M 在线段 PC 上,PM=tPC,当 PA//平面 MQB 时,求 t 的值; (III)若 PA//平面 MQB,平面 PAD ? 平面 ABCD,求二面角 M-BQ-C 的大小。 解: (3 分+3 分+3 分)

的大小为 60 .

0

22. (本小题满分 9 分) 已知椭圆 C1 :

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点为 P(1, 0) ,过 C1 的焦点且垂直长轴的弦长为 a 2 b2

1.
(I)求椭圆 C1 的方程; (II)设抛物线 C2 : y ? x ? h (h ? R) 的焦点为 F,过 F 点的直线 l 交抛物线与 A、B 两点,
2

过 A、B 两点分别作抛物线 C2 的切线交于 Q 点,且 Q 点在椭圆 C1 上,求 ?ABQ 面积的最值, 并求出取得最值时的抛物线 C2 的方程。

?b ? 1 ?a ? 2 y2 ? 解: (I)由题意得 ? b 2 ,? ? , 所求的椭圆方程为 ? x 2 ? 1----------3 分 4 ?2 ? ? 1 ?b ? 1 ? a
(II)令 A( x1 , x12 ? h), B( x2 , x22 ? h) 设切线 AQ 方程为 y ? ( x12 ? h) ? k ( x ? x1 ) 代入 y ? x 2 ? h 令 ? ? 0 可得 抛物线 C2 在点 A 处的切线斜率为 k ? 2 x1 所以切线 AQ 方程为: y ? ( x12 ? h) ? 2x1 ( x ? x1 ) 即y ? 2x1x ? x12 ? h 同理可得 BQ 方程为: y ? 2x2 x ? x22 ? h 联立 ① ② 解得 Q 点为 ? 焦点 F 坐标为(0, h ?



② ----------5 分

? x1 ? x2 ? , x1 x2 ? h ? 2 ? ?

1 1 2 ), 令 l 方程为: y ? kx ? h ? 代入 C2 : y ? x ? h 4 4
1 4

得: x ? kx ?
2

1 ?0 4

由韦达定理有: x1 ? x2 ? k ,

x1 x2 ? ?

所以 Q 点为 ?

1? ?k ,h ? ? 4? ?2
1 QM x1 ? x2 2

过 Q 作 y 轴平行线交 AB 于 M 点, 则 S ?ABQ ? M 点为 ?

? k k2 1? , ? h ? ?, 4? ?2 2

QM ?

k 2 ?1 2 2 , x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? k ? 1 2
1 QM 2
(h ?

? S ?ABQ ?

x1 ? x2 ?

1 4

?

k 2 ?1

?

3

----------7 分

而 Q 点在椭圆上, ?
? ? S ?ABQ

1 2 2 ) 1 ?k? 4 ? ? ? ? 1 ? k 2 ? 4 ? ( h ? ) 2 ? ? 0, 4 ? 4 4 ?2?
7 , 4 7 4

1 9 , 此时k ? 0, h ? 或4 4 9 则抛物线方程为y=x 2 ? 或y=x 2 4

?

min

?

?S

?ABQ

?

max

?

5 4

5

, 此时k 2 ? 4, h ?

1 , 4

则抛物线方程为y=x 2 ?

1 4
----------9 分


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