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椭圆的习题课三


椭圆的习题课三 题型一 椭圆的定义的运用 例 1 、 方 程 2 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ?| x ? y ? 2 | 的 曲 线 是 ( ) A.椭圆 B.双曲线 C.线段 D.抛物线 例 2、设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,过 F2 作 椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰 直角三角形,则椭圆的离心率为( )
2 2
<

br />A.

2 2

B.

2 ?1 2

C.2 ?

2

D. 2 ? 1

例 3、AB

x2 y2 过椭圆 a 2 ? b 2 ? 1 的左焦点的弦,则以

AB 为直径的圆与椭圆的左准线的位置关系是 _________ 例
x2 y2 4、椭圆 a 2 ? b 2 ? 1 的左焦点为

F,椭圆上的一动

点为 E, 则以 EF 为直径的圆与以长轴为直径的圆 的位置关系是_________ 题型三 中点弦问题 例 5、椭圆
x2 y2 ? ? 1 内有一定点 A(1,1) ,求以 A 为 4 3

中点的弦 MN 所在直线的方程

题型四 弦长问题 例 6、已知直线 l 过椭圆
?
x2 ? y 2 ? 1 的左焦点,且倾 4

斜角为 3 ,求直线 l 被椭圆所截得的弦长。 例
x2 2 7、过点 P(0,2) 的直线被椭圆 2 ? y ? 1 截得的弦

AB 的长为 | AB |?

14 3 ,求该直线的方程。
x2 y2 ? ? 1 所截得的 4 3

例 8、过点 M (1,1) 的直线被椭圆 弦长为 3,求此直线的方程。 题型五 最值问题 例

x2 y2 9、已知椭圆 25 ? 9 ? 1 ,直线 l : 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 ,求

椭圆上的点到直线 l 的距离的最值。 例 10、 已知椭圆
x2 y2 ? ? 1 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 , 4 3

过左焦点 F1 的直线与椭圆交于 A, B 两点,求 ?ABF2 的面积的最大值及此时直线的方程。 例 11、在 l : x ? y ? 4 ? 0 上任取一点 M,过 M 点以
x2 y2 椭圆 16 ? 12 ? 1 的焦点为焦点作椭圆, M 在何处, 问

所作椭圆长轴最短,并求此椭圆方程。

x2 2 (练习)已知椭圆 G : 4 ? y ? 1 ,过点 M (m,0) 作圆

O : x 2 ? y 2 ? 1 的切线交椭圆于 A, B ,求 |

AB | 的最大

值。
3 3 ), B(1,? ),| AB |? 3 , 2 2 3 3 当 m ? ?1时切线 x ? ?1, A(?1, 2 ), B(?1,? 2 ),| AB |? 3

答案: m ? 1 时切线 x ? 1, A(1, 当

当 | m |? 1 时设切线的方程为 y ? k (x ? m) ,代入椭圆方程 | 得:(1 ? 4k )x ? 8k mx? 4k m ? 4 ? 0 ,| AB |? 4m3 ?m | ? 2 ,利用与圆相 3
2 2 2 2 2
2

切得

| km | k 2 ?1

?1

题型六 对称问题 例
x2 y2 17、已知椭圆 C : 4 ? 3 ? 1 ,试确定 m 的取值范

围,使得椭圆上有两个不同的点,关于直线 y ? 4 x ? m 对称。 题型七 其它问题 例 18、已知中心在原点的椭圆 C 的左焦点为 (? 3,0) ,右顶点为(2,0) 。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l : y ? x ? m 与椭圆 C 有两个不同的交 点 A 和 B,且 OA ? OB ? 2 (其中 O 为坐标原点) , 求实数 m 的取值范围。


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