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高二数学圆锥曲线练习题及答案


高二数学(文科)专题复习圆锥曲线练习题
一、选择题 1. 设双曲线以椭圆 率为( A. ? 2 ) B. ?

x2 y2 ? ? 1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜 25 9
4 3
C. ?

1 2

D. ?

3 4
<

br />2. 过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于 5,则这样的 直线( ) A.有且仅有一条

B.有且仅有两条

C.有无穷多条

D.不存在

3.从集合{1,2,3…,11}中任选两个元素作为椭圆方程 B={(x,y)| |x|<11 且|y|<9}内的椭圆个数为( ) A.43 B. 72 C. 86

x2 y2 ? ? 1 中的 m 和 n,则能组成落在矩形区域 m2 n2
D. 90

4. 设椭圆的两个焦点分别为 F1、 2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 、F 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( (A) ) (C) 2 ? 2 (D) 2 ? 1

2 2

(B)

2 ?1 2

5. 已知双曲线 ( ) (A)
3 6 5

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 、 F2 ,点 M 在双曲线上且 MF1 ? x 轴,则 F1 到直线 F2 M 的距离为 6 3
(B)
5 6 6

(C)

6 5

(D)

5 6

6.已知双曲线

x2 y2 - 2 =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右准线与一条渐近线交于点 A,△OAF 的面 a2 b
) D.90?

积为

a2 (O 为原点) ,则两条渐近线的夹角为( 2
B.45? C.60?

A.30?

二、填空题

??? ??? ? ? 1 2 OA ? OB =0,则 b=_______. 7. 直线 y=x+b(b≠0)交抛物线 y ? x 于 A、 两点, 为抛物线的顶点, B O 2
8.椭圆 mx2 ? ny 2 ? 1 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于 A, B 两点,过 AB 中点 M 与坐标原点的直线的斜率为

m 2 ,则 的值为 n 2
9.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,若

y1 ? y2 ? 2 2, 则 AB 的值为
10.以下四个关于圆锥曲线的命题中: ①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数, | PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线; ②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB,O 为坐标原点,若 OP ? 椭圆;
2 ③方程 2 x ? 5x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;

??? ?

??? ?

??? ?

? ? 1 ??? ??? (OA ? OB ), 则动点 P 的轨迹为 2

④双曲线

x2 y2 x2 ? ? 1与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点. 25 9 35
(写出所有真命题的序号)

其中真命题的序号为 三、解答题 11.抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点,且抛物线与双曲线的一 a 2 b2

个交 P(

3 , 6 )点,求抛物线和双曲线方程。 2

12. 已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,A 是抛物线上横坐标为 4、 且位于 x 轴上方的点,A 到抛物线准线的 距离等于 5,过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M. (1)求抛物线方程; (2)过 M 作 MN⊥FA, 垂足为 N,求点 N 的坐标; (3)以 M 为圆心,MB 为半径作圆 M.当 K(m,0)是 x 轴上一动点时,讨论直线 AK 与圆 M 的位置关系.

高二数学(文科)专题复习(十二)圆锥曲线答案
一、选择题 1. C 二、填空题 7. 2 三、解答题 11. 抛物线 : y 2 ? 4 x 双曲线: 4 x ?
2

2.B

3. B

4. D

5.C

6.D

8.

2 2

9. 6

10.⑶⑷

4y2 ?1 3
p p ,于是 4+ =5, ∴p=2. 2 2

12.(1) 抛物线 y2=2px 的准线为 x=-

∴抛物线方程为 y2=4x. (2)∵点 A 是坐标是(4,4), 由题意得 B(0,4),M(0,2), 又∵F(1,0), ∴kFA= 则 FA 的方程为 y= ∴N 的坐标(

4 3 ;MN⊥FA, ∴kMN=- , 3 4

4 3 8 4 (x-1),MN 的方程为 y-2=- x,解方程组得 x= ,y= , 3 4 5 5

8 4 , ). 5 5

(1) 由题意得, ,圆 M.的圆心是点(0,2), 半径为 2, 当 m=4 时, 直线 AK 的方程为 x=4,此时,直线 AK 与圆 M 相离. 当 m≠4 时, 直线 AK 的方程为 y= 圆心 M(0,2)到直线 AK 的距离 d= ∴当 m>1 时, AK 与圆 M 相离; 当 m=1 时, AK 与圆 M 相切; 当 m<1 时, AK 与圆 M 相交.

4 (x-m),即为 4x-(4-m)y-4m=0, 4?m

2m ? 8 16 ? (m ? 4) 2

,令 d>2,解得 m>1

高二数学专题复习(十三) 圆锥曲线(文科)
一、选择题

1.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60 o 的直线 a 2 b2

与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 ( ) A. (1, 2] B. (1, 2) C. [2, ??) D. (2, ??)

2.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 A. ?2 B. 2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2
C. ?4 D. 4



3.已知双曲线 3x 2 ? y 2 ? 9 ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等于 ( ) A.

2

B.

2 3 3

C. 2

D.4

x2 2 4.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y =1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 3 边上,则△ABC 的周长是 ( ) A.2 3 B.6 C.4 3 D.12

5.已知两定点 A? ?2,0? , B ?1,0? ,如果动点 P 满足 PA ? 2 PB ,则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等 于( A. 9? ) B. 8? C. 4? D. ?

6.直线 y ? x ? 3 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A, B 两点,过 A, B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为 ) P, Q ,则梯形 APQB 的面积为( A. 48 B. 56 C. 64 D. 72

题号 答案

1

2

3

4

5

6

二、填空题 7.抛物线 y ? 4 x 的经过焦点弦的中点轨迹方程是
2

8. 以 y= ? 3 x,为渐近线的双曲线的离心率为____________

9.抛物线 C: y 2 ? 8x ,一直线 l : y ? k ( x ? 2) 与抛物线 C 相交于 A、B 两点,设 m ? AB , 则 m 的取值范围是

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 和双曲线 ? ? 1 有下列命题: 10.对于椭圆 16 9 7 9
①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是

.

三、解答题 11.已知三点 P(5,2) F1 (-6,0) F2 (6,0) 、 、 。 (Ⅰ)求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (Ⅱ)设点 P、 F1 、 F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P? 、 F1' 、 F2' ,求以 F1' 、 F2' 为焦点且过点 P? 的双 曲线的标准方程。

12. 已知椭圆 C1: 点.

x2 y 2 ? ? 1 ,抛物线 C2: ( y ? m)2 ? 2 px( p ? 0) ,且 C1、C2 的公共弦 AB 过椭圆 C1 的右焦 4 3

(Ⅰ)当 AB⊥ x 轴时,求 m 、 p 的值,并判断抛物线 C2 的焦点是否在直线 AB 上; (Ⅱ)是否存在 m 、 p 的值, 使抛物线 C2 的焦点恰在直线 AB 上?若存在, 求出符合条件的 m 、 p 的值; 若不存在,请说明理由.

高二数学(文科)专题复习(十三)圆锥曲线答案
一、选择题 1. C 二、填空题
2

2.D

3. C

4. C

5.C

6.A

7. y ? 2 x ? 2 9. (8,+∞) 三、解答题 11.解: (I)由题意,可设所求椭圆的标准方程为

8.

2 2 或2 3

10. ⑴⑵

x2 y2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其半焦距 c ? 6 。 + a 2 b2
∴a ? 3 5 ,

2a ?| PF1 | ? | PF2 | ? 112 ? 22 ? 12 ? 22 ? 6 5 ,
b 2 ? a 2 ? c 2 ? 45 ? 36 ? 9 ,故所求椭圆的标准方程为
、 P?(2,5) 、 F1 ' (0,-6) F2 ' (0,6) 设所求双曲线的标准方程为

x2 y2 ? 1; + 45 9

(II)点 P(5,2) F1 (-6,0) F2 (6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为: 、 、

x2 a1
2

-

y2 b1
2

? 1 (a1 ? 0, b1 ? 0) ,由题意知半焦距 c1 ? 6 ,
∴ a1 ? 2 5 ,

2a1 ? | P' F1 '| ? | P' F2 '| ? 112 ? 2 2 ? 12 ? 2 2 ? 4 5 ,
b1 ? c1 ? a1 ? 36 ? 20 ? 16 ,故所求双曲线的标准方程为
2 2 2

y 2 x2 ? 1。 20 16

点评:本题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力 12.解 (Ⅰ)当 AB⊥x 轴时,点 A、B 关于 x 轴对称,所以 m=0,直线 AB 的方程为 3 3 x=1,从而点 A 的坐标为(1, )或(1,- ). 2 2 9 9 因为点 A 在抛物线上,所以 ? 2 p ,即 p ? . 4 8 9 此时 C2 的焦点坐标为( ,0) ,该焦点不在直线 AB 上. 16 (Ⅱ) 解法一 当 C2 的焦点在 AB 时,(Ⅰ) 由 知直线 AB 的斜率存在, 设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

由 ?x2

? y ? k ( x ? 1) ? 消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 . y2 ?1 ? ? 3 ? 4
8k 2 3 ? 4k 2

……①

设 A、B 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 则 x1,x2 是方程①的两根,x1+x2= .
y A O B x

因为 AB 既是过 C1 的右焦点的弦,又是过 C2 的焦点的弦, 1 1 1 所以 AB ? (2 ? x1 ) ? (2 ? x 2 ) ? 4 ? ( x1 ? x 2 ) ,且 2 2 2

p p ) ? ( x2 ? ) ? x1 ? x2 ? p . 2 2 1 从而 x1 ? x2 ? p ? 4 ? ( x1 ? x2 ) . 2 8k 2 4?6p 4?6p ? 所以 x1 ? x 2 ? ,即 . 2 3 3 ? 4k 3 AB ? ( x1 ?
解得 k 2 ? 6, 即k ? ? 6 . 因为 C2 的焦点 F ?( , m) 在直线 y ? k ( x ? 1) 上,所以 m ? ? k . 即m ? 当m ?
6 6 或m ? ? . 3 3 6 时,直线 AB 的方程为 y ? ? 6 ( x ? 1) ; 3 6 时,直线 AB 的方程为 y ? 6 ( x ?1) . 3

2 3

1 3

当m ? ?

解法二 当 C2 的焦点在 AB 时,由(Ⅰ)知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程 为 y ? k ( x ? 1) .
8 ? 2 8 ?( y ? m) ? x 2 由? 3 消去 y 得 (kx ? k ? m) ? x . 3 ? y ? k ( x ? 1) ? 2 因为 C2 的焦点 F ?( , m) 在直线 y ? k ( x ? 1) 上, 3 2 1 2k 8 所以 m ? k ( ? 1) ,即 m ? ? k .代入①有 (kx ? ) 2 ? x . 3 3 3 3

……①

即 k 2 x 2 ? ( k 2 ? 2) x ?

4 3

4k 2 ?0. 9
4( k 2 ? 2) 3k 2

……②

设 A、B 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 则 x1,x2 是方程②的两根,x1+x2= .

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ?x2 y2 消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 . ?1 ? ? 3 ? 4

……③

由于 x1,x2 也是方程③的两根,所以 x1+x2= 从而
4( k 2 ? 2) 3k
2

8k 2 3 ? 4k 2

.



8k 2 3 ? 4k
2

. 解得 k 2 ? 6, 即k ? ? 6 .

因为 C2 的焦点 F ?( , m) 在直线 y ? k ( x ? 1) 上,所以 m ? ? k . 即m ? 当m ?
6 6 或m ? ? . 3 3 6 时,直线 AB 的方程为 y ? ? 6 ( x ? 1) ; 3 6 时,直线 AB 的方程为 y ? 6 ( x ?1) . 3

2 3

1 3

当m ? ?

解法三 设 A、B 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2),
2 因为 AB 既过 C1 的右焦点 F (1,0) ,又是过 C2 的焦点 F ?( , m) , 3 p p 1 1 所以 AB ? ( x1 ? ) ? ( x 2 ? ) ? x1 ? x 2 ? p ? (2 ? x1 ) ? (2 ? x 2 ) . 2 2 2 2

即 x1 ? x 2 ?

2 16 ( 4 ? p) ? . 3 9
y 2 ? y1 m ? 0 ? ? 3m , 2 x 2 ? x1 ?1 3

……① ……②

由(Ⅰ)知 x1 ? x 2 ,于是直线 AB 的斜率 k ? 且直线 AB 的方程是 y ? ?3m( x ? 1) , 所以 y1 ? y 2 ? ?3m( x1 ? x 2 ? 2) ?
2m . 3

……③ ……④

2 ?3x 2 ? 4 y1 ? 12 y ? y1 ? ? 0. 又因为 ? 1 ,所以 3( x1 ? x 2 ) ? 4( y1 ? y 2 ) ? 2 2 2 x 2 ? x1 ?3x 2 ? 4 y 2 ? 12 ?

将①、②、③代入④得 m 2 ? 当m ?

6 6 2 或m ? ? ,即 m ? . 3 3 3

6 时,直线 AB 的方程为 y ? ? 6 ( x ? 1) ; 3 6 时,直线 AB 的方程为 y ? 6 ( x ?1) . 3

当m ? ?


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