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辽宁省实验中学2015届高三考前模拟卷数学(理)


辽宁省实验中学 2015 届高三考前模拟训练 数学(理科)试卷 第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) .
2 1,若集合 A ? x | x ? 1 ? x ? 1 , B ? x | x ? x ? 0 ,则 A ? B ? (

/>?

?

?

?

)

A. ? ?1,0? 答案:A

B.

??1,0?

C.

? ?1,0?

D.

??1,0?

2 复数 z 满足 z ? 1 ? ( z ? 1)i ,则 z 的值是( A. 1 ? i 答案:C B. 1 ? i C i

) D. ?i

3. 双曲线 .kx 2 ? y 2 ? 1的一条渐近线与直线 2x+ y+l=0 垂直,则此双曲线的离心率是(

)

A.

5 2

B

3 2

C.

4 3

D.

5

答案:A 4. (1 ?

1 5 x ) 的展开式中的第三项的系数为( ) 2 5 5 A. 5 B C. D. 2 4

5 8

答案:B 5.rn,n 是不同的直线, ? , ? 是不重合的平面,下列说法正确的是( A. 若? / / ? , m ? ? , n, ? ? , 则m / / n B. 若m, n ? ? , m / / ? , n / / ? , 则? / / ? C. m, n 是异面直线, 若m / /? , m / / ? , n / /? , n / / ? , 则? / / ? D. 若? / / ? , m / /? , 则m / / ? 答案:C

)

6.过点(2,3)的直线 l 与圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 交于 A,B 两点,当弦 AB 取最大值时,直线 l 的 方程为( ) A,3x-4y+6=0 答案:A

B.3x-4y-6=0

C.4x-3y+8=0

D.4x+3y-8 =0

7.已知函数 y ? 2sin ? x(? ? 0) 的图像与直线 y= -2 的相邻的两个公共点之间的距离为 为( A. )

2? , 则 ? 的值 3

1 3

B

3 2

C.

3

D.

2 3
)

答案:C 8.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是( A.

4000 3 cm 3

B.

8000 3 cm C. 2000 cm3 3

D.4000 cm

3

答案:B 9.袋中有 10 个外形相同的球,其中 5 个白球,3 个黑球,2 个红球,从中任意取出一球,已知它不是白球, 则它是黑球的概率是( ) A

1 5

B.

3 10

C.

1 2

D.

3 5
)

答案:D 10.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为( A.133 B.134 C.135 D.136

答案:D 11.在 ? ABC,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且

cos 2

A b?c ? ,刚 ? ABC 是( 2 2c

)

A.直角三角形 C.正三角形 答案:A

B.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形

3 12.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 3x .若过点 P(1, t ) 存在 3 条直线与曲线

y ? f ( x) 相切,则 t 的取值范围为(
A.(-∞,-3) 答案:B B.(-3,-1)

)

C.(-1,+∞)

D.(0,1)

第Ⅱ卷

(非选择题

满分 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题纸相应位置上. 13.函数 y ? f ( x) 的反函数为 y ? log 2 x ,则 f (?1) =________ 答案:

1 2
则 z=x+y 的最大值_______

? y ? x ? 1, ? 14.设 x,y 满足约束条件: ? y ? 2, , ? 2 x ? y ? 7, ?
答案:5

15. 已知 a ? (?1,1), OA ? a ? b, OB ? a ? b , 若 ? OAB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形, 则 ? OAB 的面积是_______ 答案:2 16.四棱锥 P- ABCD 的五个顶点都在半径为

?

??? ?

? ? ??? ?

?

?

3 的半球面上,底面 ABCD 是边长为 2 的正

方形,则顶点 P 到平面 ABCD 距离的最大值为_______ 答案: 1 ?

6 2

三,解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 12 分) 在等比数列 (1)求数列

?an ? 中,已知

a1 ? 3 ,公比 q ? 1 ,等差数列 ?bn ? 满足, b1 ? a1, b4 ? a2 , b13 ? a3

?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; ?cn ? 的前 n 项和
n ?1

(2)记 cn ? an ? bn ,求数列

Sn .

答案:(1) an ? 3n , bn ? 2n ? 1 (2) n ? 3

18、 (本题满分 12 分) 某职称考试有 A,B 两门课程,每年每门课程均分别有一次考试机会,若某门课程上一年通过,则下一年 不再参加该科考试,只要在连续两年内两门课程均通过就能获得该职称。某考生准备今年两门课程全部参

1 2 : 若两门均没有通过, 则明年每门课程通过的概率均为 ; 2 3 3 若只有一门没过,则明年这门课程通过的概率为 。 4
加考试, 预测每门课程今年通过的概率均为 (1)求该考生两年内可获得该职称的概率;

(2)设该考生两年内参加考试的次数为随机变量 X,求 X 的分布列与数学期望。

答案: (1)

53 (2) 72

E( X ) ? 3
19.(本题满分 12 分) 设四棱锥 P- ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形, 且 PA ? 面 ABCD,PA= AB,E 为 PD 中点。 (1)求证:直线 PD ? 平面 AEB; (2)若直线 PC 交平面 AEB 于点 F,求直线 BF 与平面 PCD 所成的角。

答案: (2) arcsin

6 3

20、 (本题满分 12 分)

x2 y 2 若 AB 是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 垂直于 x 轴的动弦,F 为焦点,当 AB 经过焦点 F a b
时 AB ? 3 ,当 AB 最长时, ?AFB ? 120 .
?

(1)求椭圆 C 的方程。 (2)已知 N(4,0),连接 AN 与椭圆相交于点 M,证明:直线 BM 恒过 x 轴定点。

x2 y2 ? ?1 答案: (1) 4 3

21.(本题满分 12 分) 函数 y ? f ( x) 在 R 内可导,导函数 f '( x) 是增强数,且 f '( x) ? 0 .设 y ? g ( x) 是曲线 y ? f ( x) 在 点 ( p, f ( p)) (其中 p ? R )处的切线方程. (1)证明: f ( x) ? g ( x) ,当且仅当 x=p 时等号成立; (2)若 g (a) ? f ( x0 ) ,证明:

x0 ? a
5 , 2

(3)若 e x ? ln( x ? m) (其中 x ? R 且 x ? ?m) ,证明: m ?

在第 22、23、24、题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分 10 分. 22.如图,PC 切 ? O 于点 C,割线 PAB 经过圆心 D,作 ? BPC 的平分线交 CB 于点 D (1)求证:CD=CE (2)若 PA=2,PC=,求 AC 的长

答案: (2)

6 5 5
? ?x ? t (t 为参数),以 O 为极点,x 轴的 y ? 2 ? 2 t ? ?

23.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 : ?

正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? . (1)求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程; (2)将曲线 C 上各点的横坐标缩短为原来的

1 ,再将所得的曲线向左平移 1 个单位,得到 2

曲线 C1 ,求曲线 C1 上的点到直线 l 的距离的最大值. 答案: (1) C : ( x ? 2) ? y ? 4 , l : y ? 2 x ? 2 (2)
2 2

3 10 5

24.已知函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? x ? 2 (1)解不等式 f ( x) ? 0 (2)若存在实数 x,使得 f ( x) ? x ? a ,求实数 a 的取值范围, 答案: (1) ( ??,?3] ? [1,??) (2) a ? ?3

15 考前模拟训练数学(理科)参考答案及评分标准
一.选择题 1 A 2 C 3 A 4 B 5 C 6 A 7 C 8 B 9 D 10 D 11 A 12 B

二.填空题 13.

1 2

14. 5

15. 2

16. 1 ?

6 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解:(Ⅰ) 设等比数列错误!未找到引用源。的公比为错误!未找到引用源。 ,等差数列错误!未找到引 用源。的公差为错误!未找到引用源。. 由已知得:错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。或 错误!未找到引用源。(舍去) 所以, 此时 错误!未找到引用源。 所以,错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ┈┈┈ 6 分 (2) Sn ? 3 ? 3 ? 5 ? 32 ? 7 ? 33 ? ?? (2n ? 1) ? 3n ①

3S n ?
②-①可得:

3 ? 32 ? 5 ? 33 ? ?? (2n ?1) ? 3n ? (2n ? 1) ? 3n?1 ②

2S n ? ? 9 ? 2(32 ? 33 ? ? ? 3n ) ? (2n ? 1) ? 3n?1
? ?9 ? 2 9(1 ? 3n?1 ) ? (2n ? 1) ? 3n?1 1? 3

? 2n ? 3n?1

? S n ? n ? 3n?1.

┈┈┈ 12 分

18.解: (1)依题意,该考生两年内可获得该职称可能有以下三种情况: ①今年两门全部通过其概率为 P1 ?

1 1 1 ? ? ; 2 2 4

1 1 3 3 ? ? ? ; 2 2 4 8 1 1 2 2 1 ③今年两门均没有通过但明年通过其概率为 P3 ? ? ? ? ? . ………3 分 2 2 3 3 9 1 3 1 53 ? ? ? . ………6 分 该考生两年内可获得该职称的概率为 P ? P 1 ? P2 ? P 3 ? 4 8 9 72
②今年只有一门没过但明年通过其概率为 P2 ? 2 ? (2)随机变量 X 的取值可为 2,3,4.

P ( X ? 2) ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ; P( X ? 3) ? 2 ? ? ? ; P ( X ? 4) ? ? ? . 2 2 4 2 2 4 2 2 2

X 的分布列为:
X P 2 3 4

1 4

1 2

1 4
………10 分 ………12 分

1 1 1 X 的数学期望 E ( X ) ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 3 (次) 4 2 4
19.(1)证明:? PA ? AB ? AD, E 为 PD 的中点,

? PD ? AE .
又 PA ? 面 ABCD, 底面 ABCD 是正方形,

? AB ? 面 PAD, 则 PD ? AB,
且 AB ? AE ? A, ? 直线 PD ? 平 AEB . ………4 分

(2)以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系。? CD ? 面 PAD, ? AE ? CD ,且 AE ? PD, 则 AE ? 平面 PCD, 即 AE 为平面 PCD 的法向量, AE ? (0,
? ?

1 1 , ). 2 2

………6 分

AB ∥ CD, AB ∥平面 PCD, 平面 AEB ? 平面 AEFB ? EF ? EF ∥ AB ∥ CD, 又 E 为 PD 的中点,? F 为 PC 的中点。………8 分
? 1 1 1 1 1 1 B(1,0,0), F ( , , ),? FB ? ( ,? ,? ) . 2 2 2 2 2 2

设直线 BF 与平面 PCD 所成的角为 ? ,

sin ? ? cos ? AE, FB ? ?

?

?

1 1 1 1 ? ? ? ? 6 2 2 2 2 ? 3 1 1 1 1 1 ( ) 2 ? ( ) 2 ( ) 2 ? (? ) 2 ? (? ) 2 2 2 2 2 2
6 . 3
………12 分

则直线 BF 与平面 PCD 所成的角为 arcsin

? 2b 2 ?3 ? ?b ? 3 ? a 20. 解(1)由题: ? ?? ?a ? 2 ? b ? sin 60? ? ?a
x2 y2 ? ?1 所以椭圆方程为 4 3
(2)设 B( x1 , y1 ) , M ( x2 , y 2 ) ,定点 ( x0 ,0) ,则 A( x1 ,? y1 ) ………4 分

BM 直线方程 y ? k ( x ? x0 )

? y ? k ( x ? x0 ) ? 2 由 ? x2 ? 12 ? 0 ? (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x0 x ? 4k 2 x0 y2 ?1 ? ? 3 ?4
x1 ? x 2 ?
?

8k 2 x0 3 ? 4k 2
?

x1 x2 ?

2 4k 2 x 0 ? 12 3 ? 4k 2

AN ? (4 ? x1 , y1 ) , MN ? (4 ? x 2 ,? y 2 )
所以 y 2 (4 ? x1 ) ? y1 (4 ? x2 ) ? 0

4( y1 ? y 2 ) ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

4k ( x1 ? x2 ? 2x0 ) ? 2kx1 x2 ? kx0 ( x1 ? x2 ) ? 0
2 4k 2 x 0 ? 12 8k 2 8k 2 4( ? 2 x ) ? 2 ? x ?0 0 0 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

2 32k 2 ? 32k 2 x0 ? 8k 2 x0 ? 8k 2 x0 ? 0

(1 ? x0 )(x0 ? 4) ? 0
所以 x0 ? 1 , x0 ? ?4 (舍)所以直线 BM 恒过定点(1,0) 。 ………12 分 21. (1)由题意得: g ( x) ? f '( p)( x ? p) ? f ( p) . 设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) . 因为 h '( x) ? f '( x) ? f '( p) 是增函数,且 h '( p) ? 0 , 所以函数 h( x) 在区间 (??, p) 上是减函数,在区间 ( p,??) 上是增函数. 从而 h( x) ? h( p) ? 0 . 即 f ( x) ? g ( x) ,当且仅当 x ? p 时等号成立. ………4 分

(2)因为 g (? ) ? f ( x0 ) ,且 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 当且仅当 p ? x0 时等号成立; 所以 g (? ) ? g ( x0 ) ,即 ? ? x0 当且仅当 p ? x0 时等号成立; ………6 分
x (3)设 h( x) ? e ? ln(x ? m) ,则 h' ( x) ? e ?
x

1 . x?m

设 h' ( x) ? 0 的解为 a ,即 e ?
a

1 ?0 a?m

因为 h' ( x ) 在 (?m,??) 是增函数, 所以 h( x) 在 x ? a 处取得极小值即最小值 h(a) ? ea ? ln(a ? m) ? e ? a .
a

从而 e ? a ? 0 .
a

设 f ( x) ? e x ? x ,方程 f ( x) ? 0 的解是 x0 ,所以 f (a) ? f ( x0 ) ,即 a ? x0 . 因为 f ' ( x) ? e x ? 1 是增函数,且 f ?( x) ? 0 , 曲线 y ? f ( x) 在点 (0,1) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ;当 y ? 0 时, x ? ? 所以由(2)得, x0 ? ? 又因为 f (?1) ? 又因为 m ? e 所以 m ? e
?a

1 . 2

1 . 2

1 1 ? 1 ? 0 ,所以 ? 1 ? x0 ? ? . e 2

?a
5 1 ? x0 ? . 2 x0
………12 分

? x0

? x0 ? ?

22.(1)∵PC 是⊙O 的切线,∴∠PCE=∠B ∵PD 平分∠BPC,∴∠CPD=∠BPD ∵∠CDE=∠B+∠BPD,∠CED=∠PCE+∠CPD ∴∠CDE=∠CED ∴CD=CE ………5 分

(2)∵PC 是切线,∴ PC 2 ? PA ? PB ∵PA=2,PC=4,∴PB=8 ∴AB=6 ∵∠PCA=∠B,∠APC=∠CPB ∴△PCA∽△PBC ∴

AC PA 1 ? ? BC PC 2

设 AC=x,则 BC=2x ∵AB 是直径,∴∠ACB=90°。 根据勾股定理可得 AB= 5x ∴ 5 x ? 6 ,∴ x ?

6 5 6 5 ,即 AC ? 5 5

………10 分

23. 解 : ( 1 ) 直 线 l 的 普 通 方 程 为 y ? 2 x ? 2 ; 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为 ?x ? 2? ? y 2 ? 4
2

?? 4 分
(2)由已知: C1 方程为: x ?
2

y2 ?1 4

?? 6 分

设 M ?cos? ,2 sin ? ?为曲线 C1 上任意一点, M 到直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 的距离为

?? ? 2 2 cos?? ? ? ? 2 2 cos? ? 2 sin ? ? 2 4? ? d? ? 5 5
?? 3 2 3 10 ? ? 当 cos?? ? ? ? 1 时: d max ? ? 4? 5 ? 5
24.(1)① 当 x ? ?

??8 分

??10 分

1 时, ?1 ? 2 x ? x ? 2 ? x ? ?3 ,所以 x ? ?3 2 1 1 ② 当 ? ? x ? 0 时, 2 x ? 1 ? x ? 2 ? x ? ,所以为 ? 2 3 x ? 0 x ? 1 ? 2 ? x ? 1 x ? 1 ③ 当 时, ,所以

综合①②③不等式的解集为 ? ??, ?3? ? ?1, ??? ……………5 分 (2)即 2 x ? 1 ? 2 x ? 2 ? a ? x ? 由绝对值的几何意义,只需 ?

1 a ? x ? 1? 2 2

1 a ? 1 ? ? a ? ?3 …………………10 分 2 2


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