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上海市虹口区2014届高三4月高考模拟(二模)数学(理)试题


上海市虹口区 2014 届高三 4 月高考模拟(二模) 数学试卷(理科)
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、已知集合 A ? ? x x ? 1 ? 2? , B ? x x 2 ? 4 ,则 A ? B ? 2、函数 f ( x) ? ? x2 ? 4 x ? 1( x ???1, 1? )的最大值等于

/>.

?

?



[来源:学科网 ZXXK]

3、在 ?ABC 中,已知 sin A : sin B : sin C ? 1: 2 : 5 ,则最大角等于
4、已知函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1 )的反函数,其图像过点 (a 2 ,



a) ,则

f ( x) ?
5、复数 z 满足



z i ? 1 ? i ,则复数 z 的模等于_______________. 1 i


6、已知 tan ? ? 2 , tan(? ? ? ) ? ?1 ,则 tan ? ? 7 、 抛物线 y 2 ? ?8x 的焦点与双曲线
为 .

x2 ? y 2 ? 1 的左焦点重合,则双曲线的两条渐近线的夹角 a2

8、某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课,在所有可能的安排中, 数学不排在最后一节,体育不排在第一节的概 是 .率 . .

9 、 已知 (1? 2x )n 关于 x 的展开式中,只有第 4 项的二项式系数最大,则展开式的系数之和为
.

10、等差数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 8 ,下列四个命题.?1 :数列 ?an ? 是递增数列;? 2 : 数列 ?nan? 是递增数列; ?3 :数列 ? 的是 .

? an ? 2 ? 是递增数列; ? 4 :数列 ?an ? 是递增数列.其中真命题 ?n?

1 1、椭圆 ?

? x ? a cos ? (a ? b ? 0 ,参数 ? 的范围是 0 ? ? ? 2? )的两个焦点为 F1 、 F2 ,以 F1F2 ? y ? b sin ?


为边作正三角形, 若椭圆恰好平分正三角形的另两条边, 且F 则 a 等于 1F 2 ? 4, 12 、 设 A、B、C、D 是 半 径 为 1 的 球 面 上 的 四 个 不 同 点 , 且 满 足

??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? AB? AC? 0 , AC ? AD ? 0 , AD ? AB ? 0 ,用 S1、S2、S3 分别表
示△ ABC 、△ ACD 、△ ABD 的面积,则 S1 ? S2 ? S3 的最大值 是 .

D C A
第 12 题

B

13、在 ?ABC 中, AM ? 则实数 m 的取值范围是

???? ?

? ???? ???? ? 1 ??? AB ? m ? AC ,向量 AM 的终点 M 在 ?ABC 的内部(不含边界), 4


14、对于数列 ?an ? ,规定 ??1an ? 为数列 ?an ? 的一阶差分数列,其中 ?1an ? an ?1 ? an (n ? N ? ) .
对于正整数 k ,规定 ??k an ? 为 ?an ? 的 k 阶差分数列,其中 ?k an ? ?k ?1an ?1 ? ?k ?1an .若数列 ?an ? 有

a1 ? 1 , a2 ? 2 ,且满足 ?2an ? ?1an ? 2 ? 0(n ? N ? ) ,则 a14 ?
二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分)



2 2 15、已知 ? : “ a ? 2 ”; ? : “直线 x ? y ? 0 与圆 x ? ( y ? a) ? 2 相切”.则 ? 是 ? 的(



A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 既非充分也非必要条件


16、若函数 f ( x) ? ax ? 1 在区间 (?1, 1) 上存在一个零点,则实数 a 的取值范围是(

A. a ? 1
则其公比为( )

B. a ? ?1

C . a ? ?1 或 a ? 1

D. ?1 ? a ? 1

17、已知数列 {an } 是首项为 a1 ,公差为 d (0 ? d ? 2? ) 的等差数列,若数列 {cos an } 是等比数列,

A. 1

B. ?1

C. ?1

D. 2

18 、 函 数 f ( x) ? sin x 在 区 间 (0, 10? ) 上 可 找 到 n 个 不 同 数 x1 , x2 , ? ? , xn , 使 得

f ( xn ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,则 n 的最大值等于( ? ? ?? ? x1 x2 xn
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11



三、解答题(满分 74 分) 19、(本题满分 12 分)已知圆锥母线长为 6,底面圆半径长为 4,点 M 是母线 PA 的中点, AB 是 底面圆的直径,底面半径 OC 与母线 PB 所成的角的大小等于 ? . (1)当 ? ? 60? 时,求异面直线 MC 与 PO 所成的角; (2)当三棱锥 M ? ACO 的体积最大时,求 ? 的值.
M P

A

O

B

2 20、(本题满分 14 分)已知函数 y ? f ( x ) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos x ? a ? x ? R ? ,其中 a 为常数.

(1)求函数 y ? f ( x) 的周期; (2)如果 y ? f ( x) 的最小值为 0 ,求 a 的值,并求此时 f ( x) 的最大值及图像的对称轴方程.

21、(本题满分 14 分)某市 2013 年发放汽车牌照 12 万 张,其中燃油型汽车牌照 10 万张,电动型 汽车 2 万张.为了节能减排和控制总量,从 2013 年开始,每年电动型汽车牌照按 50%增长,而燃油 型汽车牌照每一年比上一年减少 0.5 万张,同时规定一旦某年发放的牌照超过 15 万张,以后每一年 发放的电动车 的牌照的数量维持在这一年的水平不变. ... (1)记 2013 年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列 ?an ? ,每年发放的电动型汽车牌 照数为构成数列 ?bn ? ,完成下列表格,并写出这两个数列的通项公式; (2)从 2013 年算起,累计各年发放的牌照数,哪一年开始超过 200 万张?

22、(本题满分 16 分)函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,若存在常数 M ? 0 ,使得 f ( x) ? M x 对一 切实数 x 均成立,则称 f ( x) 为“圆锥托底型”函数. (1)判断函数 f ( x) ? 2 x , g ( x) ? x3 是否为“圆锥托底型”函数?并说明理由. (2)若 f ( x) ? x 2 ? 1 是“圆锥托底型” 函数,求出 M 的最大值. (3)问实数 k 、 b 满足什么条件, f ( x) ? kx ? b 是“ 圆锥托底型” 函数.

23、(本题满分 18 分)如图,直线 l : y ? kx ? b 与抛物线 x2 ? 2 py (常数 p ? 0 )相交于不同的 两点 A( x1 ,

y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,且 x2 ? x1 ? h ( h 为定值),线段 AB 的中点为 D ,与直线

l:y ? kx? b平行的切线的切点为 C (不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的
直线称为抛物线的切线,这个公共点为切点). (1)用 k 、 b 表示出 C 点、 D 点的坐标,并证明 CD 垂直于 x 轴; (2)求 ?ABC 的面积,证明 ?ABC 的面积与 k 、 b 无关,只与 h 有关; (3)小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后,小张连 AC 、 BC ,再作与 AC 、 BC 平行的切线, 切点分别为 E 、 F ,小张马上写出了 ?ACE 、 ?BCF 的面积,由此小张求出了直线 l 与抛物线围成 的面积,你认为小张能做到吗?请你说出理由.
y

D
[来源:学科网]

B

A C x

O
[来源:Z*xx*k.Com]

上海市虹口区 2014 届高三 4 月高考模拟(二模) 数学答案(理科)
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、 (?1, 6、3; 11、 3 ? 1 ;

2) ;

2、4; 7、

3、

? ; 3

3? ; 4 7 8、 ; 10
13、 0 ? m ?

4、 f ( x) ? log2 x ; 9、 1 ;

5、 5 ;

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

10、 ?1 , ?3 ; 14、26 ;

12、2;

3 ; 4

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、 A ; 16、 C ; 17、 B ; 18、 C ;

三、解答题(满分 74 分) 19、(12 分) 解:(1) 连 MO ,过 M 作 MD ? AO 交 AO 于点 D ,连 DC . 又 PO ? 62 ? 42 ? 2 5 ,? MD ? 5 .又 OC ? 4,OM ? 3 .

P

? MD / / PO ,? ?DMC 等于异面直线 MC 与 PO 所成的角或其补角.

? MO / / PB ,? ?MOC ? 60? 或 120? .?????5 分
当 ?MOC ? 60? 时,? MC ? 13 .
M

? cos ?DMC ?

MD 65 65 ? ,? ?DMC ? arccos MC 13 13

A

D C

O

B

MD 185 当 ?MOC ? 120? 时,? MC ? 37 .? cos ?DMC ? , ? MC 37

? ?DMC ? arccos

185 37

综上异面直线 MC 与 PO 所成的角等于 arccos

65 185 或 arccos .??????8 分 13 37

(2)? 三棱锥 M ? ACO 的高为 MD 且长为 5 ,要使得三棱锥 M ? ACO 的体积最大只要底面积

?OCA 的面积最大.而当 OC ? OA 时, ?OCA 的面积最大.????10 分
又 OC ? OP ,此时 OC ? 平面PAB ,? OC ? PB , ? ? 90? ??????12 分 20、(14 分)解(1) y ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a ? 2sin(2 x ?

?
6

) ? a ? 1 .????4 分

T ? ? .????????6 分
(2) f ( x) 的最小值为 0 ,所以 ?2 ? a ? 1 ? 0 所以函数 y ? 2 sin( 2 x ? 故 a ? 1 ????8 分

?
6

) ? 2 .最大值等于 4????????10 分

k? ? ? ? k ? Z ? 时函数有最大值或最小值, 6 2 2 6 k? ? ? 故函数 f ( x) 的图象的对称轴方程为 x ? ? k ? Z ? .????? ?14 分 2 6 2x ? ? k? ?

?

?

? k ? Z ? ,即 x ?

21、(14 分)解:(1)

a1 ? 10 b1 ? 2

a2 ? 9.5 b2 ? 3

a3 ? b3 ?

9 4.5

a4 ? b4 ?

8.5 6.75

???? ????

????????????2 分
? 当 1 ? n ? 20 且 n ? N , an ? 10 ? ( n ? 1) ? (?0.5) ? ?

n 21 ? ; 2 2

当 n ? 21 且 n ? N , an ? 0 .

?

? n 21 ? ?? ? , 1 ? n ? 20且n ? N ????????5 分 ? an ? ? 2 2 ? ?0, n ? 21且n ? N ? ? 3 n ?1 ? ?2 ? ( ) , 1 ? n ? 4且n ? N 而 a4 ? b4 ? 15.25 ? 15 ,? bn ? ? ??????8 分 2 ?6.75, n ? 5且n ? N ? ?
(2)当 n ? 4 时, Sn ? (a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? (b1 ? b2 ? b3 ? b4 ) ? 53.25 . 当 5 ? n ? 21 时, Sn ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? (b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ? ? ? bn )

n(n ? 1) 1 ? 10n ? ? (? ) ? 2 2
1 68 43 ? ? n2 ? n ? 4 4 4

3 2[1 ? ( )4 ] 2 ? 6.75(n ? 4) 3 1? 2

[来源:学科网]

????????????11 分 由

Sn ? 200 3? 1



1 68 43 ? n2 ? n ? ? 200 4 4 4





n2 ? 6 n 8 ?

?8

4 , 3得

0

3 ?4

???????? n 3 ? 1 ? 6 . 3 0 13 分

2

1

? 到 2029 年累积发 放汽车牌照超过 200 万张.??????????14 分
22、 (16 分) 解: (1) . ? 2x ?2 x ? 2x , 即对于一切实数 x 使得 f ( x) ? 2 x 成立, ? f ( x) ? 2 x

“圆锥托底型” 函数.??????????2 分 对于 g ( x) ? x3 ,如果存在 M ? 0 满足 x ? M x ,而当 x ?
3

M 时,由 2

M 2

3

?M

M , 2

?

M ? M ,得 M ? 0 ,矛盾,? g ( x) ? x3 不是“圆锥托底型” 函数.?????4 分 2

2 (2)? f ( x) ? x 2 ? 1 是“圆锥托底型” 函数,故存在 M ? 0 ,使得 f ( x) ? x ? 1 ? M x 对于

任意实数恒成立.

? 当 x ? 0 时 , M ? x?

1 1 1 , 此 时 当 x ? ?1 时 , x ? 取得最小值 2, ? x? x x x

? M ? 2 . ??????????7 分
而当 x ? 0 时, f (0) ? 1 ? M 0 ? 0 也成立.

? M 的最大值等于 2 .????????8 分
(3)①当 b ? 0 , k ? 0 时, f ( x) ? 0 ,无论 M 取何正数,取 x0 ? 0 ,则有 f ( x0 ) ? 0 ? M x0 ,

f ( x) ? 0 不是“圆锥托底型” 函数.??????10 分
② 当 b ? 0 , k ? 0 时 , f ( x) ? kx , 对 于 任 意 x 有 f ( x) ? kx ? k x , 此 时 可 取

0 ? M ? k ? f ( x) ? kx 是“圆锥托底型” 函数.??????12 分
③当 b ? 0 , k ? 0 时, f ( x) ? b ,无论 M 取何正数,取 x0 ? 是“圆锥托底型” 函数.??????14 分 ④ 当 b ? 0 , k ? 0 时 , f ( x) ? kx ? b , 无 论 M 取 何 正 数 , 取 x0 ? ?

b M

.有 b ? M x 0 ,? f ( x) ? b 不

b k

? 0 ,有

f ( x0 ) ? 0<M ?

b ? M x0 ,? f ( x) ? kx ? b 不是“圆锥托底型” 函数. k

由上可得,仅当 b ? 0, k ? 0 时, f ( x) ? kx ? b 是“圆锥托底型” 函数.????16 分

23、 (18 分)解: (1)由 ?

? y ? kx ?b ? x ? 2 py
2

? x 2 ? 2 pkx ? 2pb ? 0 ,得 x1 ? x2 ? 2 pk , x1 ? x2 ? ?2 pb

点 D( pk , 设 切

pk 2 ? b) ??????????2 分
线 方 程 为

y?

k ? x , m由
, p 0 m 得

y

? x 2m ?y ? k ? x ?2 ? 2 ?x ? 2 p y

p ? k 2 x?

D

B

? ? 4 p2k 2 ? 8 pm ? 0 , m ? ?

pk 2 ,切点的横坐标为 2

A C x

pk ,得 C ( pk ,

pk 2 ) ????4 分 2

O

由于 C 、 D 的横坐标相同,? CD 垂直于 x 轴.????????6 分 (2)? h ? x2 ? x1
2 2

h2 ? 4 p 2 k 2 ? (x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 4 p k ? 8 pb ,? b ? .???8 分 8p
2 2 2

S ?ABC ?

1 1 pk 2 h3 CD ? x2 ? x1 ? h pk 2 ? b ? ? .????????11 分 2 2 2 16 p

?ABC 的面积与 k 、 b 无关,只与 h 有关.??????12 分

pk 2 ?
(本小题也可以求 AB ? 1 ? k ? h ,切点到直线 l 的距离 d ?
2

pk 2 ?b 2

1? k2

?

h2 8p 1? k2

,相

应给分) (3)由(1)知 CD 垂直于 x 轴, xC ? x A ? xB ? xC ? 与

h ,由(2)可得 ?ACE 、 ?BCF 的面积只 2

h h h3 1 h3 有关,将 S?ABC ? 中的 h 换成 ,可得 S?ACE ? S?BCF ? ? .??14 分 2 2 16 p 8 16 p
记 a1 ? S?ABC ?

h3 1 h3 , a2 ? S?ACE ? S?BCF ? ? ,按上面构造三角形的方法,无限的进行 16 p 4 16 p
1 . 4

下去,可以将抛物线 C 与线段 AB 所围成的封闭图形的面积,看成无穷多个三角形的面积的和,即 数列 ?an ? 的无穷项和,此数列公比为

4 h3 ? a ? 所以封闭图形的面积 S ? ??????????18 分 1 3 1 12 p 1? 4 a1


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