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第一讲 配套作业


第一讲 不等式的解法
配套作业

一、选择题 1. 已知集合 M = {x|x2 - 3x - 28≤0} , N = {x|x2 - x - 6 > 0} ,则 M∩N 为(A) A.{x|-4≤x<-2 或 3<x≤7} B.{x|-4<x≤-2 或 3≤x<7} C.{x|x≤-2 或 x>3} D.{x|x<-2 或 x≥3} 解析:M={x

|-4≤x≤7},N={x|x<-2 或 x>3}, ∴M∩N={x|-4≤x<-2 或 3<x≤7}.

2.已知函数 (D)

?x,x≥0, f(x)=?2 则 2 ?x ,x<0,

f[f(x)]≥1 的充要条件是

A.x∈(-∞,- 2] B.x∈[4 2,+∞) C.x∈(-∞,-1]∪[4 2,+∞) D.x∈(-∞,- 2]∪[4,+∞) x 解析:当 x≥0 时,f[f(x)]= ≥1,所以 x≥4;当 x<0 时,f[f 4

x2 (x)]= ≥1,所以 x2≥2,x≥ 2(舍)或 x≤- 2.所以 x∈(- 2 ∞,- 2]∪[4,+∞).故选 D.

二、填空题 3.已知函数 y= ax2+2ax+1的定义域为 R,则实数 a 的取值范 围是 W.

解析:当 a=0 时,函数 y=1 的定义域为 R,满足题意;当 a≠0 时,因为函数 y= ax2+2ax+1的定义域为 R,所以 a>0 且Δ=4a2 -4a≤0,解得 0<a≤1.综上 a 的取值范围是[0,1]. 答案:[0,1]

4.不等式|2x+1|+|x-2|>4 的解集是 答案: (-∞,-1)∪(1,+∞)

W.

x2-9 5.不等式 >0 的解集是 x-2 答案: (-3,2)∪(3,+∞)

W.

三、解答题 6.解关于 x 的不等式 ax2-(a+1)x+1<0. 解析:当 a=0 时,不等式的解集为{x|x>1};
? 1? 当 a≠0,分解因式得 a?x-a?(x-1)<0, ? ?

? 1? 当 a<0 时,不等式等价于?x-a?(x-1)>0,不等式的解集为 ? ? ? 1? ?x|x>1或x< ?; a? ? ? 1? 1 当 0<a<1 时,1< ,不等式的解集为?x|1<x<a?; a ? ? ? 1 ? 1 当 a>1 时, <1,不等式的解集为?x|a<x<1?; a ? ?

当 a=1 时,不等式的解集为?.

7.已知关于 x 的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1<0 对任意实 数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解析:当 a2-4=0 时,a=± 2,当 a=-2 时,解集为 R;
? 1? 当 a=2 时,解集为?x|x<4?,不符合题意; ? ?
2 ? ?a -4<0, 当 a -4≠0 时,要使解集为 R,必须? ?Δ<0, ? 2

6 解得-2<a< . 5
? 6? 综上所述,实数 a 的取值范围是?a|-2≤a<5?. ? ?

8.已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)= x2+2x. (1)求函数 g(x)的解析式; (2)解不等式 g(x)≥f(x)-|x-1|.

解析: (1)设函数 y=f(x)的图象上任意一点 Q(x0,y0)关 x =0, ?x + 2 于原点的对称点为 P(x,y) ,则? y +y ? 2 =0,
0 0

? ?x0=-x, 即? ?y0=-y. ?

∵点 Q(x0,y0)在函数 y=f(x)的图象上, ∴-y=x2-2x,即 y=-x2+2x,故 g(x)=-x2+2x. (2)由 g(x)≥f(x)-|x-1|,可得 2x2-|x-1|≤0. 当 x≥1 时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解. 1 当 x<1 时,2x2+x-1≤0,解得-1≤x≤ .因此原不等式的解 2
? 1? 集为?-1,2?. ? ?

9.若当 a∈[1,3]时,不等式 ax2+(a-2)x-2>0 恒成立,求 实数 x 的取值范围. 解析:设 f(a)=a(x2+x)-2x-2,则当 a∈[1,3]时 f(a)
2 ? ?f(1)=x -x-2>0, >0 恒成立.∴? 2 ? ?f(3)=3x +x-2>0.

?x>2或x<-1, ∴? 得 x>2 或 x<-1. 2 x > 或 x <- 1 , ? 3
∴实数 x 的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).

10.设函数 f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1,记 f

(x)≤1 的解集为 M,g(x)≤4 的解集为 N. (1)求 M; 1 (2)当 x∈M∩N 时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤ . 4 分析: (1)不等式 f(x)≤1 变形为 2|x-1|+x-1≤1,然后分
? ? 4? 类讨论去绝对号解不等式得不等式解集为 M=?x?0≤x≤3?; (2)解 ? ? ? ? ? 1 3? ? ? 3? 不等式 g(x)≤4,得 N=?x?-4≤x≤4?.故 M∩N=?x?0≤x≤4?.当 ? ? ? ? ? ?

3 x∈M∩N 时,0≤x≤ ,此时 f(x)=1-x,代入 x2f(x)+x[f(x)]2 4 中为二次函数,求其最大值即可.
?3x-3,x∈[1,+∞), ? 解析: (1)f(x)=? ? ?1-x,x∈(-∞,1),

4 4 当 x≥1 时,由 f(x)=3x-3≤1 得 x≤ .故 1≤x≤ ; 3 3 当 x<1 时,由 f(x)=1-x≤1 得 x≥0,故 0≤x<1.
? ? 4? 所以 f(x)≤1 的解集为 M=?x?0≤x≤3?. ? ? ? ? ? 1 3? 1 3 (2) 由( g x) =16x2-8x+1≤4 得- ≤x≤ , N=?x?-4≤x≤4?, 4 4 ? ? ? ? ? 3? 故 M∩N=?x?0≤x≤4?. ? ? ?

当 x∈M∩N 时,f(x)=1-x,故 x2f(x)+x[f(x)]2=xf(x) 1 ? 1?2 1 [x+f(x)]=x(1-x)= -?x-2? ≤ . 4 ? 4 ?


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