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指数函数习题精选精讲(含答案)

时间:2015-02-12


习题精选精讲

指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数,有关指数函数的图象与性质的题目类型较多,同时也是 学习后续数学内容的基础和高考考查的重点,本文对此部分题目类型作了初步总结,与大家共同探讨. 1.比较大小 例 1 已知函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且 f (0) ? 3 ,则

f (b x ) 与 f (c x ) 的大小关系是 _____.

2.求解有关指数不等式 例 2 已知 (a2 ? 2a ? 5)3 x ? (a2 ? 2a ? 5)1? x ,则 x 的取值范围是___________.

3.求定义域及值域问题 例 3 求函数 y ? 1 ? 6x?2 的定义域和值域.

4.最值问题
, 上有最大值 14,则 a 的值是_______. 例 4 函数 y ? a2 x ? 2a x ? 1(a ? 0且a ? 1) 在区间 [?11]

5.解指数方程 例 5 解方程 3x ? 2 ? 32? x ? 80 .

6.图象变换及应用问题 例 6 为了得到函数 y ? 9 ? 3x ? 5 的图象,可以把函数 y ? 3x 的图象( A.向左平移 9 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度 B.向右平移 9 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度 C.向左平移 2 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度 D.向右平移 2 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度 习题 1、比较下列各组数的大小: ) .

(1)若 (2)若 (3)若 (4)若 (5)若 2 曲线 小关系是 ( ).

,比较 ,比较 ,比较

与 与 与 ,且 ,且 ; ;



,比较 a 与 b; ,比较 a 与 b. ,
1

分别是指数函数



的图象,则

与 1 的大

习题精选精讲

3

( 求下列函数的定义域与值域.
1

(1)y=2 x ?3 ;

(2)y=4 +2 +1.
x+1 x

x

x+1

4 已知-1≤x≤2,求函数 f(x)=3+2〃3 -9 的最大值和最小值 5、设 ,求函数 的最大值和最小值.

6(9 分)已知函数 y ? a 2 x ? 2a x ? 1(a ? 1) 在区间[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值.

7.已知函数 (1)求

( 的最小值; (2)若



) ,求 的取值范围.

8(10分) (1)已知 f ( x ) ?

2 ? m 是奇函数,求常数m的值; 3 ?1
x

(2)画出函数 y ?| 3 x ? 1 | 的图象,并利用图象回答:k为何值时,方程|3X-1|=k无 解?有一解?有两解?

9.若函数

是奇函数,求

的值.

10. 已知 9 -10.3 +9≤0,求函数 y=(

x

x

1 x-1 1 x ) -4〃 ( ) +2 的最大值和最小值 4 2

11.已知

,求函数

的值域.

12. (9 分)求函数

y?2
x 2 ?3 x ? 2

? x2 ?2 x?2
的定义域,值域和单调区间

?1? 13 求函数 y= ? ? ?3?

的单调区间.
2

习题精选精讲

a x ?1 14 已知函数 f(x)= x (a>0 且 a≠1). a ?1
(1)求 f(x)的定义域和值域;(2)讨论 f(x)的奇偶性;(3)讨论 f(x)的单调性.

15、已知函数 f(x)=a-

2 (a∈R) , 2 ?1
x

(1) 求证:对任何 a∈R,f(x)为增函数. (2) 若 f(x)为奇函数时,求 a 的值。

16、定义在 R 上的奇函数 f ( x) 有最小正周期为 2,且 x ? (0,1) 时, f ( x) ?

2x 4 x ?1

(1)求 f ( x) 在[-1,1]上的解析式; (2)判断 f ( x) 在(0,1)上的单调性; (3)当 ? 为何值时,方程 f ( x) = ? 在 x ? [?1,1] 上有实数解.

函数 y=a

|x|

(a>1)的图像是(

)

3

习题精选精讲

指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数,有关指数函数的图象与性质的题目类型较多,同时也是 学习后续数学内容的基础和高考考查的重点,本文对此部分题目类型作了初步总结,与大家共同探讨. 1.比较大小 例 1 已知函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且 f (0) ? 3 ,则 f (b x ) 与 f (c x ) 的大小关系是 _____. 分析:先求 b,c 的值再比较大小,要注意 b x,c x 的取值是否在同一单调区间内. 解:≧ f (1 ? x) ? f (1 ? x) , ?函数 f ( x) 的对称轴是 x ? 1 . 故 b ? 2 ,又 f (0) ? 3 ,? c ? 3 .

1? 上递减,在 ?1 , ? ∞? 上递增. ?函数 f ( x) 在 ? ?∞,
若 x ≥ 0 ,则 3x ≥ 2x ≥1 ,? f (3x ) ≥ f (2x ) ; 若 x ? 0 ,则 3x ? 2x ? 1 ,? f (3x ) ? f (2 x ) . 综上可得 f (3x ) ≥ f (2x ) ,即 f (c x ) ≥ f (b x ) . 评注:①比较大小的常用方法有:作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等.②对于含有参数 的大小比较问题,有时需要对参数进行讨论. 2.求解有关指数不等式 例 2 已知 (a2 ? 2a ? 5)3 x ? (a2 ? 2a ? 5)1? x ,则 x 的取值范围是___________. 分析:利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围. 解:≧ a2 ? 2a ? 5 ? (a ? 1)2 ? 4 ≥ 4 ? 1 ,
? ∞) 上是增函数, ?函数 y ? (a2 ? 2a ? 5) x 在 (?∞,

? 3 x ? 1 ? x ,解得 x ?

1 ?1 ? ? ∞? . .?x 的取值范围是 ? , 4 ?4 ?

评注:利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判断底数与 1 的大小,对于含有参数的要注意对参数进行讨论. 3.求定义域及值域问题 例 3 求函数 y ? 1 ? 6x?2 的定义域和值域. 解:由题意可得 1 ? 6 x ? 2 ≥ 0 ,即 6x ? 2 ≤1 ,

2? . ? x ? 2 ≤ 0 ,故 x ≤ 2 . ?函数 f ( x) 的定义域是 ? ?∞,
令 t ? 6 x ? 2 ,则 y ? 1 ? t , 又≧ x ≤ 2 ,? x ? 2 ≤ 0 . ? 0 ? 6 x ? 2 ≤1 ,即 0 ? t ≤1 . ? 0 ≤1 ? t ? 1 ,即 0 ≤ y ? 1 .

4

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1? . ?函数的值域是 ?0,
评注:利用指数函数的单调性求值域时,要注意定义域对它的影响. 4.最值问题
, 上有最大值 14,则 a 的值是_______. 例 4 函数 y ? a2 x ? 2a x ? 1(a ? 0且a ? 1) 在区间 [?11]

分析:令 t ? a x 可将问题转化成二次函数的最值问题,需注意换元后 t 的取值范围. 解:令 t ? a x ,则 t ? 0 ,函数 y ? a2 x ? 2a x ? 1 可化为 y ? (t ? 1)2 ? 2 ,其对称轴为 t ? ?1 .

, ?当 a ? 1 时,≧ x ? ? ?11 ?,
1 1 ? ≤ a x ≤ a ,即 ≤ t ≤ a . a a

?当 t ? a 时, ymax ? (a ? 1)2 ? 2 ? 14 . 解得 a ? 3 或 a ? ?5 (舍去) ;

, 当 0 ? a ? 1 时,≧ x ? ? ?11 ?,
1 1 ? a ≤ a x ≤ ,即 a ≤ t ≤ , a a

? t?

1 ?1 ? 时, ymax ? ? ? 1? ? 2 ? 14 , a ?a ?

2

1 1 1 解得 a ? 或 a ? ? (舍去) ,?a 的值是 3 或 . 3 5 3 评注:利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用,比如:换元法,整体代入等. 5.解指数方程

例 5 解方程 3x ? 2 ? 32? x ? 80 .
x t? 0 ) 解: 原方程可化为 9 ? (3x )2 ? 80 ? 3x ? 9 ? 0 , 令 t ? 3(

, 上述方程可化为 9t 2 ? 80t ? 9 ? 0 , 解得 t ? 9

1 或 t ? ? (舍去) ,? 3 x ? 9 ,? x ? 2 ,经检验原方程的解是 x ? 2 . 9 评注:解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要注意验根. 6.图象变换及应用问题

例 6 为了得到函数 y ? 9 ? 3x ? 5 的图象,可以把函数 y ? 3x 的图象( A.向左平移 9 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度 B.向右平移 9 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度 C.向左平移 2 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度 D.向右平移 2 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度

) .

分析:注意先将函数 y ? 9 ? 3x ? 5 转化为 t ? 3x ? 2 ? 5 ,再利用图象的平移规律进行判断. 解:≧ y ? 9 ? 3x ? 5 ? 3x ? 2 ? 5 ,?把函数 y ? 3x 的图象向左平移 2 个单位长度,再向上平移 5 个单位长 度,可得到函数 y ? 9 ? 3x ? 5 的图象,故选(C) .
5

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评注:用函数图象解决问题是中学数学的重要方法,利用其直观性实现数形结合解题,所以要熟悉基 本函数的图象,并掌握图象的变化规律,比如:平移、伸缩、对称等. 习题 1、比较下列各组数的大小:

(1)若 (2)若 (3)若 (4)若 (5)若

,比较 ,比较 ,比较

与 与 与 ,且 ,且 ; ;



,比较 a 与 b; ,比较 a 与 b.

解:(1)由

,故

,此时函数

为减函数.由

,故



(2)由

,故

.又

,故

.从而



(3)由

,因

,故

.又

,故

.从而



(4) 应有 故 .从而

. 因若

, 则 ,这与已知

. 又

, 故 矛盾.

, 这样

. 又因



(5) 应有 且

. 因若

, 则

. 又

, 故

, 这样有

. 又因



,故 .从而 ,这与已知 矛盾. 小结:比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解.

2 曲线 小关系是 ( ).

分别是指数函数

,



的图象,则

与 1 的大

( 分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在 到大依次为 ,故应选 .
6

轴右侧令

,对应的函数值由小

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小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数 的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识. 求最值 3 求下列函数的定义域与值域.
1

(1)y=2 x ?3 ;

(2)y=4 +2 +1.
1 x ?3

x

x+1

解:(1)≧x-3≠0,?y=2
1 x ?3
x

1 的定义域为{x|x∈R 且 x≠3}.又≧ ≠0,?2 x ?3 ≠1, x?3

1

?y=2

的值域为{y|y>0 且 y≠1}.
x+1 x x x+1 x 2 x x 2

(2)y=4 +2 +1 的定义域为 R.≧2 >0,?y=4 +2 +1=(2 ) +2〃2 +1=(2 +1) >1. x x+1 ?y=4 +2 +1 的值域为{y|y>1}. x+1 x 4 已知-1≤x≤2,求函数 f(x)=3+2〃3 -9 的最大值和最小值 解:设 t=3 ,因为-1≤x≤2,所以
x

1 ? t ? 9 ,且 f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当 t=3 即 x=1 时,f(x)取最大值 3

12,当 t=9 即 x=2 时 f(x)取最小值-24。 5、设 ,求函数 的最大值和最小值. ,则原来的函数成为 ,利用闭

分析:注意到 ,设 区间上二次函数的值域的求法,可求得函数的最值. 解:设 ,由 知,

,函数成为 函数最小值为 . 6(9 分)已知函数 y ? a .解: y ? a
2x 2x

, 较 距对称轴

,对称轴 远,故函数的最大值为

,故

,因端点

? 2a x ? 1(a ? 1) 在区间[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值.

1 ? 2a x ? 1(a ? 1) , 换元为 y ? t 2 ? 2t ? 1( ? t ? a ) ,对称轴为 t ? ?1 . a 当 a ? 1 , t ? a ,即 x=1 时取最大值,略
解得 a=3 (a= -5舍去)

7.已知函数 (1)求 .解:(1) 值为

( 的最小值; (2)若



) ,求 , 的取值范围. 当 即 时, 有最小

7

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(2) 当 当 时, 时, ; .

,解得

2 ? m 是奇函数,求常数m的值; 8(10分) (1)已知 f ( x ) ? x 3 ?1
(2)画出函数 y ?| 3 x ? 1 | 的图象,并利用图象回答:k为何值时,方程|3 X-1|=k无 解?有一解?有两解? 解: (1)常数m=1 (2)当k<0时,直线y=k与函数 y ?| 3 x ? 1 | 的图象无交点,即方程无解; 当k=0或k ? 1时, 直线y=k与函数 y ?| 3 ? 1 | 的图象有唯一的交点,所以方程有一解;
x

当 0<k<1 时, 直线 y=k 与函数 y ?| 3 x ? 1 | 的图象有两个不同交点,所以方程有两解。

9.若函数 .解: 即 则 为奇函数,

是奇函数,求

的值. ,

, ,
x x

10. 已知 9 -10.3 +9≤0,求函数 y=( 解:由已知得(3 ) -10〃3 +9≤0 x ?1≤3 ≤9 故 0≤x≤2 而 y=(
x 2 x

1 x-1 1 x ) -4〃 ( ) +2 的最大值和最小值 4 2
x x

得(3 -9) (3 -1)≤0

1 x-1 1 x 1 2x 1 x ) -4〃( ) +2= 4〃 ( ) -4〃 ( ) +2 4 2 2 2 1 x 1 令 t=( ) ( ? t ? 1 ) 2 4 1 2 2 则 y=f(t)=4t -4t+2=4(t- ) +1 2 1 当 t= 即 x=1 时,ymin=1 2
当 t=1 即 x=0 时,ymax=2 11.已知 解:由 ,求函数 得 ,即 ,即 的值域. ,解之得 ,于是

,故所求函数的值域为
8

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12. (9 分)求函数

y?2
x 2 ?3 x ? 2

? x2 ?2 x?2
的定义域,值域和单调区间

定义域为 R 值域(0,8〕 。 (3)在(-≦, 1〕上是增函数 在〔1,+≦)上是减函数。

?1? 13 求函数 y= ? ? ?3?
u

的单调区间.

分析 这是复合函数求单调区间的问题

?1? ?1? 2 可设 y= ? ? ,u=x -3x+2,其中 y= ? ? 为减函数 ?3? ?3?
?u=x -3x+2 的减区间就是原函数的增区间(即减减→增) 2 u=x -3x+2 的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减) 解:设 y= ? ? ,u=x -3x+2,y 关于 u 递减,
2 2

u

?1? ?3?

u

3 )时,u 为减函数, 2 3 ?y 关于 x 为增函数;当 x∈[ ,+≦)时,u 为增函数,y 关于 x 为减函数. 2
当 x∈(-≦,

a x ?1 14 已知函数 f(x)= x (a>0 且 a≠1). a ?1
(1)求 f(x)的定义域和值域;(2)讨论 f(x)的奇偶性;(3)讨论 f(x)的单调性. 解:(1)易得 f(x)的定义域为{x|x∈R}. 设 y=

a x ?1 y ?1 y ?1 y ?1 x x ,解得 a =①≧a >0 当且仅当>0 时,方程①有解.解>0 得-1<y<1. x y ?1 y ?1 y ?1 a ?1

?f(x)的值域为{y|-1<y<1 } .

a ?x ?1 1 ? a x (2)≧f(-x)= ? x = =-f(x)且定义域为 R,?f(x)是奇函数. a ?1 1? a x
(3)f(x)=

2 (a x ? 1) ? 2 =1- x . x a ?1 a ?1
x x

1°当 a>1 时,≧a +1 为增函数,且 a +1>0. ?

2 2 a x ?1 a x ?1 为减函数,从而 f(x) = 1= 为增函数 .2 °当 0<a<1 时,类似地可得 f(x) = ax ?1 ax ?1 ax ?1 ax ?1
2 (a∈R) , 2 ?1
x

为减函数. 15、已知函数 f(x)=a-

(3) 求证:对任何 a∈R,f(x)为增函数. (4) 若 f(x)为奇函数时,求 a 的值。 (1)证明:设 x1<x2
9

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f(x2)-f(x1)=

2(2 x2 ? 2 x1 ) >0 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )

故对任何 a∈R,f(x)为增函数. (2) x ? R ,又 f(x)为奇函数

? f (0) ? 0 得到 a ? 1 ? 0 。即 a ? 1
16、定义在 R 上的奇函数 f ( x) 有最小正周期为 2,且 x ? (0,1) 时, f ( x) ?
2x 4 x ?1

(1)求 f ( x) 在[-1,1]上的解析式; (2)判断 f ( x) 在(0,1)上的单调性; (3)当 ? 为何值时,方程 f ( x) = ? 在 x ? [?1,1] 上有实数解. 解(1)≧x∈R 上的奇函数 又≧2 为最小正周期 ? f (0) ? 0 ? f (1) ? f (2 ? 1) ? f (?1) ? ? f (1) ? 0
2?x 4?x ?1 ? 2x 4 x ?1 ? ? f ( x)

设 x∈(-1,0) ,则-x∈(0,1) , f (? x) ? ? f ( x) ? ?
2x 4 x ?1

? 2x x ? (-1,0) ?? x 4 ?1 ? ? f ( x) ? ? 0 x ? {-1,0,1} ? x ? 2 x ? (0,1) x ? ? 4 ?1



2





0<x1<x2<1

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

(2 x1 ? 2 x2 ) ? (2 xx ? 2 x2 ? 2 x2 ? 2 x1 ) (4 x1 ? 1)(4 x2 ? 1)

=

(2 x1 ? 2 x2 )(1 ? 2 x1 ? x2 ) (4 x1 ? 1)(4 x2 ? 1)

?0

?在(0,1)上为减函数。 (3)≧ f ( x) 在(0,1)上为减函数。 ? f (1) ? f ( x) ? f (0)
2 1 即 f ( x) ? ( , ) 5 2

1 2 同理 f ( x) 在(-1,0)时, f ( x) ? (? ,? ) 2 5 又 f (?1) ? f (0) ? f (1) ? 0 1 2 2 1 ?当 ? ? (? ,? ) ? ( , ) 或 ? ? 0 时 2 5 5 2 f ( x) ? ? 在[-1,1]内有实数解。

函数 y=a

|x|

(a>1)的图像是(

)

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分析 本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像,以及数形结合思想和分类讨论 思想. 解法 1:(分类讨论):

?a x       ( x ? 0), ? 去绝对值,可得 y= ? 1 x ( x ? 0). ?( )      ? a
又 a>1,由指数函数图像易知,应选 B. |x| x -x 解法 2:因为 y=a 是偶函数,又 a>1,所以当 x≥0 时,y=a 是增函数;x<0 时,y=a 是减函数. ?应选 B.

11


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