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(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.11


讲案 2.11 对数函数 课前自主研习 温故而知新 可以为师矣 知 识 导 读 1.定义 函数__________叫做对数函数,其 中 x 是自变量,函数的定义域为 __________. 2.对数函数及其图象和性质 y=logax(a>0 且 a≠1)的图象特征 和性质 a>1 0<a<1 图 象 值域__________ 性 当 x=1 时,__________ 质 当 x>

1 时, 当 x>1 时, ______ ______; 当 0<x<1 当 0<x<1 时,______ 时,______

在________上 在(0,+∞) 是增函数 上是____ 导读校对: 1.y=logax(a>0, a≠1) 且 (0,+∞) 2.R y=0 y>0 y<0 y <0 y>0 (0,+∞) 减函数 基 础 热 身

1.已知图中曲线 C1、C2、C3、C4 是函数 y=logax 的图象, 则曲线 C1、 2、 C C3、C4 对应的 a 的值依次可能为( ) 1 1 A.3、2、3、2 1 1 B.2、3、3、2 1 1 C.2、3、2、3 1 1 D.3、2、2、3 解析:设 C1 :y=loga1x,C2 :y=

loga2x,C3 :y=loga3x,C4 :y=loga4x. 当 y=1 时,由图象可知 a3<a4<1<a1 <a2. 答案:B 2.将 y=2x 的图象作怎样变化,再 作关于直线 y=x 的对称图象,可得函数 y=log2(x+1)的图象( ) A.先向左平移 1 个单位 B.先向右平移 1 个单位 C.先向上平移 1 个单位 D.先向下平移 1 个单位 解析:y=log2(x+1)的反函数为 y= 2x-1,由此可知由 y=2x 先向下平移 1 个单位便得到 y=2x-1. 答案:D 3.函数 f(x)=-log3(x2-2x)的单调 递减区间为( ) A.(1,+∞) B.(- ∞,0) C.(-∞,1) D.(2,+∞) 解析:y=-log3x 递减,y=x2-2x 在(2,+∞)上递增,

∴f(x)=-log3(x2 -2x)单调递减区 间为(2,+∞). 答案:D 4.已知 f(x)=ax,g(x)=logax(a>0, a≠1),若 f(3)· g(3)<0,那么 f(x)与 g(x) 在同一坐标系内的图象可能是( )

解析:首先清楚这两类函数图象在 坐标中的位置和走向, 另外还应知道 f(x) =ax 与 g(x)=logax(a>0, a≠1)互为反函 数,于是可排除 A、D. 因 B、C 中关于 y=x 对称,最后利 用函数值关系式 f(3)· g(3)<0,排除 B. 答案:C 5.(2010· 天津卷)若 a=log54,b= (log53)2,c=log45,则( ) A.a<c<b B.b<c<a

C.a<b<c D.b<a<c 解析: a=log54<1, 53<log54<1, log b=(log53)2<log53,c=log45>1,故 b< a<c. 答案:D 6. 函数 f(x)的图象与 y=2x 的图象关 于直线 y=-x 对称, 则函数 y=f(4x-x2) 的递增区间是__________. 解析:设(x,y)是 f(x)的图象上任意 一点, 则点(x,y)关于直线 y=-x 的对称 点(-y,-x)在函数 y=2x 的图象上, ∴-x=2-y 即-y=log2(-x), ∴y=-log2(-x), 这就是 f(x)的解析 式, 即 f(x)=-log2(-x)(x<0). ∴f(4x-x2)=-log2(x2-4x)(x<0 或 x>4). 当 x<0 时,u=x2-4x 是递减的,y =-log2u 也是递减的,故 f(4x-x2)的递 增区间为(-∞,0). 答案:(-∞,0)

思维互动启迪 博学而笃志 切问而近思 疑难精讲 1.对数的大小比较 (1)比较同底数的两个对数值的大 小,例如比较 logaf(x)与 logag(x)的大小, 其中 a>0 且 a≠1.

①若 a>1,f(x)>0,g(x)>0,则 logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)>0. ②若 0<a<1,f(x)>0,g(x)>0,则 logaf(x)>logag(x)?0<f(x)<g(x). (2)同真数的对数值大小关系如图: 2.指数函数与对数函数的关系 (1)指数函数 y=ax 与对数函数 y= logax(a>0 且 a≠1)是互为反函数的两个 函数. (2)y=ax 与 y=logax(a>0 且 a≠1)的 图象关于 y=x 对称.

3.解对数方程的基本思路是化为代 数方程,常见的可解类型有: (1)形如 logaf(x)=logag(x)(a>0 且 a≠1)的方程,化成 f(x)=g(x)求解. (2)形如 F(logax)=0 的方程,换元法 求解. (3)形如 logf(x)g(x)=c 的方程,化成 指数式[f(x)]c=g(x)求解. 互动探究 题型 1 对数型函数的定义域与值域 例 1.对于函数 f(x)=log 1 (x2-2ax+
2

3),解答下列问题: (1)若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)的值域为 R, 求实数 a 的取 值范围; (3)若函数 f(x)在[-1,+∞)内有意 义,求实数 a 的取值范围; (4)若函数 f(x)的定义域为(-∞, 1)∪(3,+∞),求实数 a 的值;

(5)若函数 f(x)的值域为(-∞,-1], 求实数 a 的值; (6)若函数 f(x)在(-∞,1]内为增函 数,求实数 a 的取值范围. 【思维点拨】 定义域为自变量 x 的取值范围,值域为对应函数值的集合, 单调区间为定义域的子区间. 【解析】 设 u=g(x)=x2-2ax+3 =(x-a)2+3-a2. (1)∵u>0 对 x∈R 恒成立, ∴umin=3-a2>0, ∴- 3<a< 3(或由 x2-2ax+3> 0 的解集为 R 得 Δ=4a2-12<0 求出- 3<a< 3). (2)∵f(x)的值域为 R, ∴u=g(x)的值 域为(0,+∞), ∴Δ=4a2-12≥0,即 a≥ 3或 a≤ - 3. ∴实数 a 的取值范围是(-∞,- 3]∪[ 3,+∞). (3)由 f(x)在[-1,+∞)上有意义, 知 u=x2-2ax+3>0 对 x∈[-1, +

∞)恒成立. ∵g(x)的对称轴为 x=a. ∴当 a<-1 时,g(-1)>0,即 ?a<-1 ? ? , ?2a+4>0 ? 解得-2<a<-1. 当 a≥-1 时,Δ<0,即- 3<a< 3, ∴-1≤a< 3. 故所求 a 的取值范围是(-2,- 1)∪[-1, 3), 即(-2, 3). (4)命题等价于 x2-2ax+3>0 的解 集为{x|x<1 或 x>3}. ∴x2-2ax+3=0 的两根为 1 和 3, ∴2a=1+3,即 a=2. (5)∵y=f(x)≤-1, ∴u=g(x)值域为 [2,+∞). ∴3-a2=2,即 a=± 1. (6) 命 题 等 价 于

?g?x?在?-∞,1]上为减函数 ? ? ?g?x?>0对x∈?-∞,1]恒成立 ? ?a≥1 ? ? ?g?1?>0 ? ?a≥1 ? ?? ?a<2 ?

?



即所求 a 的取值范围是[1,2). 【总结点评】 (1)定义域为 R 的问 题实质上是不等式恒成立问题,一般转 化为求函数的最值问题. (2)值域为 R 的问题实质是 x 能取遍 某区间上的所有值,一般利用方程有解 的条件求参数的取值范围.

题型 2 对数型函数的单调性 例 2.已知函数 f(x)=loga(3-ax). (1)当 x∈[0,2]时, 函数 f(x)恒有意义, 求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a,使得函 数 f(x)在区间[1,2]上为减函数, 并且最大 值为 1,如果存在,试求出 a 的值;如果 不存在,请说明理由.

【解析】 (1)由题设,3-ax>0 对 一切 x∈[0,2]恒成立,a>0 且 a≠1, ∵a>0,∴g(x)=3-ax 在[0,2]上为 减函数,从而 g(2)=3-2a>0, 3 ∴a < 2 , ∴a 的 取 值 范 围 为 3 (0,1)∪(1,2). (2)假设存在这样的实数 a,由题设 知 f(1)=1, 3 即 loga(3-a)=1,∴a=2, 3 3 此时 f(x)=log2(3-2x), 当 x=2 时,f(x)没有意义,故这样 的实数不存在. 题型 3 对数函数的综合问题 1-mx 例 3.已知函数 f(x)=loga 是奇 x-1 函数(a>0,a≠1). (1)求 m 的值;

(2)判断 f(x)在区间(1,+∞)上的单 调性并加以证明; (3)当 a>1,x∈(r,a-2)时,f(x)的 值域是(1,+∞),求 a 与 r 的值. 【思维点拨】 第(1)问利用在定义 域内 f(-x)=-f(x)恒成立求出 m.第(3)问 由 f(x)∈(1, +∞)转化为 x 的取值. 再由 x∈(r, a-2)建立关系式求出 a 与 r 的值. 【解析】 (1)∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x)在其定义域内恒成 立, 1+mx 1-mx 即 loga =-loga , -x-1 x-1 ∴1-m2x2=1-x2 恒成立, ∴m=-1 或 m=1(舍去), ∴m=-1. x+1 (2) 由 (1) 得 f(x) = loga (a > 0 , x-1 a≠1), 任取 x1,x2∈(1,+∞). x+1 设 x1<x2,令 t(x)= , x-1

x1+1 x2+1 则 t(x1)= ,t(x2)= , x1-1 x2-1 x1+1 x2+1 ∴t(x1) - t(x2) = - = x1-1 x2-1 2?x2-x1? , ?x1-1??x2-1? ∵x1>1,x2>1,x1<x2, ∴x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0. x1+1 x2+1 ∴t(x1)>t(x2),即 > , x1-1 x2-1 x1+1 x2+1 ∴当 a>1 时, a log >loga , x1-1 x2-1 f(x)在(1,+∞)上是减函数; 当 0<a<1 时 f(x)在(1, +∞)上是增 函数. (3)当 a>1 时, 要使 f(x)的值域是(1, +∞), x+1 x+1 则 loga >1,∴ >a, x-1 x-1 ?1-a?x+a+1 即 >0, x-1

a+1 x- a-1 而 a > 1.∴ 上 式 化 为 <0 x-1 ① x+1 2 又 f(x)=loga =loga(1+ ), x-1 x-1 ∴当 x>1 时,f(x)>0;当 x<-1 时,f(x)<0. 因而,欲使 f(x)的值域是(1,+∞), 必须 x>1, 所以对于不等式①, a+1 当且仅当 1<x< 时成立, a-1 ?r=1 ? ? a+1 ∴?a-2= a-1 ? ?a>1 ? 2+ 3.

,解得 r=1,a=

错解辨析 例 4.已知 y=loga(2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞) 【错解】 y=2-ax 是减函数,则 a>0. 在 对 数 函 数 中 底 数 a∈(0,1) 或 a∈(1,+∞) ∴0<a<1. 【错因】 本题解答时,易犯两个 错误.①忽略真数为正这一条件.②其 中含有字母,忘记对字母分类讨论. 【正解一】 由 y=logau,知 a>0, 因此 u=2-ax 单调递减,要使复合函数 y=loga(2-ax)递减, y=logau 必递增, 则 所以 a>1,排除 A、C. 又因为 a=2 时,y=log2(2-2x)在 x =1 时没有意义, 但原函数 x 的取值范围 是[0,1],所以 a≠2,因此排除了 D.∴选

B. 【正解二】 先求函数定义域,2- ax>0,ax<2,因 a 是对数的底数,故 a 2 >0,从而 x<a,递减区间[0,1]必须在其 2 定义域内,故有 1<a,a<2. 若 0<a<1,当 x 在[0,1]上增大时, 2-ax 减小,loga(2-ax)增大,故函数 y =loga(2-ax)在[0,1]上单调递增, 与题设 矛盾,故 a>1. 综上所述,1<a<2,选 B. 【答案】 B


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