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2015年高考数学题分类汇编(文):6.数列

时间:2015-07-15


1.【2015 高考新课标 1,文 7】已知 {an } 是公差为 1 的等差数列, S n 为 {an } 的前 n 项和, 若 S8 ? 4 S 4 ,则 a10 ? ( (A) 【答案】B 【解析】∵公差 d ? 1 , S8 ? 4 S 4 ,∴ 8a1 ? )

17 2

(B)

19 2

/>(C) 10

(D) 12

1 1 1 ? 8 ? 7 ? 4(4a1 ? ? 4 ? 3) ,解得 a1 = ,∴ 2 2 2

a10 ? a1 ? 9d ?

1 19 ? 9 ? ,故选 B. 2 2

【考点定位】等差数列通项公式及前 n 项和公式 【名师点睛】 解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、 性质、 通项公式、 前 n 项和公式, 利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程, 解出首项与公差, 利用等差数列性质可以 简化计算. 2.【2015 高考陕西,文 13】中位数为 1010 的一组数构成等差数列,其末项为 2015,则该 数列的首项为________ 【答案】5 【解析】若这组数有 2n ? 1 个,则 an ?1 ? 1010 , a2 n ?1 ? 2015 ,又 a1 ? a2 n ?1 ? 2an ?1 ,所以

a1 ? 5 ;
若这组数有 2n 个, 则 an ? an ?1 ? 1010 ? 2 ? 2020 , 又 a1 ? a2 n ? an ? an ?1 , a2 n ? 2015 , 所以 a1 ? 5 ; 故答案为 5 【考点定位】等差数列的性质. 【名师点睛】1.本题考查等差数列的性质,这组数字有可能是偶数个,也有可能是奇数个 . 然后利用等差数列性质 m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq .2.本题属于基础题,注意运 算的准确性.

c 成等比数列, b, c ? 5?2 6 , 3. 【2015 高考广东, 文 13】 若三个正数 a , 其中 a ? 5 ? 2 6 ,
则b ? 【答案】 1 .

【解析】因为三个正数 a , b , c 成等比数列,所以 b ? ac ? 5 ? 2 6
2

?

??5 ? 2 6 ? ? 1 ,因

为 b ? 0 ,所以 b ? 1 ,所以答案应填: 1 . 【考点定位】等比中项. 【名师点晴】本题主要考查的是等比中项,属于容易题.解题时要抓住关键字眼“正数” , 否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是等比中项的概念,即若 a , G , b 成等 比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比中项,即 G 2 ? ab . 4.【2015 高考福建,文 16】若 a, b 是函数 f ? x ? ? x ? px ? q ? p ? 0, q ? 0 ? 的两个不同
2

的零点,且 a, b, ?2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则

p ? q 的值等于________.
【答案】9 【解析】由韦达定理得 a ? b ? p , a ? b ? q ,则 a ? 0, b ? 0 ,当 a, b, ?2 适当排序后成等比

4 .当适当排序后成等差数列时, ?2 必 a 4 4 不是等差中项,当 a 是等差中项时, 2a ? ? 2 ,解得 a ? 1 , b ? 4 ;当 是等差中项时, a a 8 ? a ? 2 ,解得 a ? 4 , b ? 1 ,综上所述, a ? b ? p ? 5 ,所以 p ? q ? 9 . a
数列时, ?2 必为等比中项,故 a ? b ? q ? 4 , b ? 【考点定位】等差中项和等比中项. 【名师点睛】 本题以零点为载体考查等比中项和等差中项, 其中分类讨论和逻辑推理是解题 核心.三个数成等差数列或等比数列,项与项之间是有顺序的,但是等差中项或等比中项是 唯一的,故可以利用中项进行讨论,属于难题. 5.【2015 高考浙江,文 10】已知 ?an ? 是等差数列,公差 d 不为零.若 a2 , a3 , a7 成等比 数列,且 2a1 ? a2 ? 1 ,则 a1 ? 【答案】 ,d ? .

2 , ?1 3
2

【解析】 由题可得,(a1 ? 2d ) ? ( a1 ? d )( a1 ? 6d ) , 故有 3a1 ? 2d ? 0 , 又因为 2a1 ? a2 ? 1 , 即 3a1 ? d ? 1 ,所以 d ? ?1, a1 ?

2 . 3

【考点定位】1.等差数列的定义和通项公式;2.等比中项. 【名师点睛】本题主要考查等差数列的定义和通项公式.主要考查学生利用等差数列的定义

以及等比中项的性质,建立方程组求解数列的首项与公差.本题属于容易题,主要考查学生 正确运算的能力. 6.【2015 高考新课标 1,文 13】数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an ?1 ? 2an , S n 为 ?an ? 的前 n 项和,若

S n ? 126 ,则 n ?
【答案】6

.

【解析】∵ a1 ? 2, an ?1 ? 2an ,∴数列 ?an ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列, ∴ Sn ?

2(1 ? 2n ) ? 126 ,∴ 2n ? 64 ,∴n=6. 1? 2

考点:等比数列定义与前 n 项和公式 【名师点睛】 解等差数列问题关键在于熟记等比数列定义、 性质、 通项公式、 前 n 项和公式, 利用方程思想和公式列出关于首项与公比的方程, 解出首项与公比, 利用等比数列性质可以 简化计算. 7.【2015 高考安徽,文 13】已知数列 {an } 中,a1 ? 1 ,an ? an ?1 ? ( n ? 2 ) ,则数列 {an } 的前 9 项和等于 【答案】27 【解析】∵n ? 2 时, an ? an ?1 ? ∴?an ?是以a1 为首项, ∴S9 ? 9 ? 1 ? .

1 2

1 1 , 且a2 ? a1 ? 2 2

1 为公差的等差数列 2

9?8 1 ? ? 9 ? 18 ? 27 2 2

【考点定位】本题主要考查等差数列的定义、通项公式和前 n 项和公式的应用. 【名师点睛】 能够从递推公式判断数列的类型或采用和种方法是解决本题的关键, 这需要考 生平时多加积累, 同时本题还考查了等差数列的基本公式的应用, 考查了考生的基本运算能 力. 8.【2015 高考福建,文 17】等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 , a4 ? a7 ? 15 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2
an ? 2

? n ,求 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 的值.

【答案】 (Ⅰ) an ? n ? 2 ; (Ⅱ) 2101 .

【解析】 (I)设等差数列 ?an ? 的公差为 d . 由已知得 ?

? ?a1 ? d ? 4 , ? ?? a1 ? 3d ? ? ? a1 ? 6d ? ? 15

解得 ?

?a1 ? 3 . ?d ? 1

所以 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? n ? 2 . (II)由(I)可得 bn ? 2n ? n . 所以 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 ? ? 2 ? 1? ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? ??? ? 210 ? 10

?

? ?

?

?

?

? ? 2 ? 22 ? 23 ? ??? ? 210 ? ? ?1 ? 2 ? 3 ? ??? ? 10 ?

?

2 ?1 ? 210 ? 1? 2

?

?1 ? 10 ? ?10
2

? ? 211 ? 2 ? ? 55
? 211 ? 53 ? 2101 .
【考点定位】1、等差数列通项公式;2、分组求和法. 【名师点睛】确定等差数列的基本量是 a1 , d .所以确定等差数列需要两个独立条件,求数 列前 n 项和常用的方法有四种: (1)裂项相消法(通过将通项公式裂成两项的差或和,在前 n 项相加的过程中相互抵消) ; (2)错位相减法(适合于等差数列乘以等比数列型) ; (3)分组求和法(根据数列通项公式 的特点,将其分解为等差数列求和以及等比数列求和); (4)奇偶项分析法(适合于整个数 列特征不明显,但是奇数项之间以及偶数项之间有明显的等差数列特征或等比数列特征) . 9.【2015 高考北京,文 16】 (本小题满分 13 分)已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 10 ,

a4 ? a3 ? 2 .
(I)求 ?an ? 的通项公式; (II)设等比数列 ?bn ? 满足 b2 ? a3 , b3 ? a7 ,问: b6 与数列 ?an ? 的第几项相等? 【答案】 (I) an ? 2n ? 2 ; (II) b6 与数列 ?an ? 的第 63 项相等.

【解析】 试题分析:本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识,考查学生的分析问题 解决问题的能力、转化能力、计算能力.(I)利用等差数列的通项公式,将 a1 , a2 , a3 , a4 转 化成 a1 和 d ,解方程得到 a1 和 d 的值,直接写出等差数列的通项公式即可; (II)先利用第 一问的结论得到 b2 和 b3 的值,再利用等比数列的通项公式,将 b2 和 b3 转化为 b1 和 q ,解出

b1 和 q 的值,得到 b6 的值,再代入到上一问等差数列的通项公式中,解出 n 的值,即项数.
试题解析: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d . 因为 a4 ? a3 ? 2 ,所以 d ? 2 . 又因为 a1 ? a2 ? 10 ,所以 2a1 ? d ? 10 ,故 a1 ? 4 . 所以 an ? 4 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 2

(n ? 1, 2, ) .

(Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q . 因为 b2 ? a3 ? 8 , b3 ? a7 ? 16 , 所以 q ? 2 , b1 ? 4 . 所以 b6 ? 4 ? 26?1 ? 128 . 由 128 ? 2n ? 2 ,得 n ? 63 . 所以 b6 与数列 ?an ? 的第 63 项相等. 考点:等差数列、等比数列的通项公式. 【名师点晴】 本题主要考查的是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式, 属于中档题. 本 题通过求等差数列和等比数列的基本量, 利用通项公式求解. 解本题需要掌握的知识点是等 差数列的通项公式和等比数列的通项公式,即等差数列的通项公式: an ? a1 ? ? n ? 1? d , 等比数列的通项公式: an ? a1q n ?1 . 10.【2015 高考安徽,文 18】已知数列 ?an ? 是递增的等比数列,且 a1 ? a4 ? 9, a2 a3 ? 8. (Ⅰ )求数列 ?an ? 的通项公式;

(Ⅱ )设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ?

an ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . Sn Sn ?1

【答案】 (Ⅰ ) an ? 2n ?1 (Ⅱ ) 【解析】

2n ?1 ? 2 2n ?1 ? 1

(Ⅰ )由题设可知 a1 ? a 4 ? a 2 ? a3 ? 8 , 又 a1 ? a4 ? 9 , 可解的 ?
3

?a1 ? 1 ?a1 ? 8 或? (舍去) ? a4 ? 8 ? a 4 ? 1

由 a 4 ? a1 q 得公比 q ? 2 ,故 a n ? a1 q n ?1 ? 2 n ?1 . (Ⅱ ) Sn ?

a1 (1 ? q n ) 1 ? 2n ? ? 2n ? 1 1? q 1? 2

又 bn ?

an ?1 S ? Sn 1 1 ? n ?1 ? ? S n S n ?1 S n S n ?1 S n S n ?1

所以 Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ? ? ?S ? S ? ??? ?S ? S ? ? ? ... ? ? ?S ? S ? ?? S ?S 2 ? 3 ? n ?1 ? 1 n ?1 ? 1 ? 2 ? n

?1

1 ? ? 1

1 ?

? 1

1 ?

1

1

? 1?

1 2
n ?1

?1

.

【考点定位】本题主要考查等比数列的通项公式、性质,等比数列的前 n 项和,以及利用裂 项相消法求和. 【名师点睛】本题利用“若 m ? n ? p ? q ,则 a m a n ? a p a q ”,是解决本题的关键,同时考 生发现 bn ? 运算能力. 11. 【2015 高考广东, 文 19】 (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,n ? ? ? . 已 知 a1 ? 1 , a2 ?

an ?1 S ? Sn 1 1 是解决本题求和的关键,本题考查了考生的基础 ? n ?1 ? ? S n S n ?1 S n S n ?1 S n S n ?1

3 5 , a3 ? ,且当 n ? 2 2 4

时, 4 S n ? 2 ? 5S n ? 8S n ?1 ? S n ?1 . (1)求 a4 的值;

(2)证明: ? an ?1 ?

? ?

1 ? an ? 为等比数列; 2 ?

(3)求数列 ?an ? 的通项公式.

7 ?1? 【答案】 (1) ; (2)证明见解析; (3) an ? ? 2n ? 1? ? ? ? 8 ?2?
【解析】

n ?1



试题分析: (1)令 n ? 2 可得 a4 的值; (2)先将 4 S n ? 2 ? 5S n ? 8S n ?1 ? S n ?1 ( n ? 2 )转化为

1 ? ? (3)先由(2) 4an ? 2 ? an ? 4an ?1 ,再利用等比数列的定义可证 ?an ?1 ? an ? 是等比数列; 2 ? ?
可 得 数 列 ? an ?1 ?

? ?

1 ? 1 ? ? an ? 的 通 项 公 式 , 再 将 数 列 ?an ?1 ? an ? 的 通 项 公 式 转 化 为 数 列 2 ? 2 ? ?

? ? ? ? ? an ? 是等差数列,进而可得数列 ?an ? 的通项公式. ? n ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? ? ?
试 题 解 析 : ( 1 ) 当

n?2





4 S 4 ? 5S 2 ? 8S3 ? S1





7 ? 3 5 ? ? 3? ? 3 5? 4 ? 1 ? ? ? a4 ? ? 5 ? 1 ? ? ? 8 ? 1 ? ? ? ?1,解得: a4 ? 8 ? 2 4 ? ? 2? ? 2 4?
(2) 因为 4 S n ? 2 ? 5S n ? 8S n ?1 ? S n ?1( n ? 2 ) , 所以 4 S n ? 2 ? 4 S n ?1 ? S n ? S n ?1 ? 4 S n ?1 ? 4 S n (n?2 ) , 即 4an ? 2 ? an ? 4an ?1 ( n ? 2 ) , 因 为 4a3 ? a1 ? 4 ?

5 ? 1 ? 6 ? 4a2 , 所 以 4


4an ? 2 ? an ? 4an ?1





1 an ? 2 ? an ?1 4a ? 2a 4a ? a ? 2an ?1 2an ?1 ? an 1 n ?1 2 ? n?2 ? n ?1 n ? ? , 所 以 数 列 1 4an ?1 ? 2an 4an ?1 ? 2an 2 ? 2an ?1 ? an ? 2 an ?1 ? an 2
1 1 1 ? ? ?an ?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 1 为首项,公比为 的等比数列 2 2 2 ? ?
(3)由(2)知:数列 ? an ?1 ?

? ?

1 1 1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 1 为首项,公比为 的等比数列,所 2 2 2 ?

以 an ?1 ?

1 ?1? an ? ? ? 2 ?2?

n ?1



an ?1 ?1? ? ? ?2?

n ?1

? ? ? ? an a ? an ? 是以 1 ? 2 为首项,公差为 4 的等差数列,所以 ? ? 4 ,所以数列 ? n ? n 1 ?1? ?? 1 ? ? ? ? ? ? 2 ? ?2? ?? 2 ? ? ?
n n ?1

?1? ?1? ? 2 ? ? n ? 1? ? 4 ? 4n ? 2 , 即 an ? ? 4n ? 2 ? ? ? ? ? ? 2n ? 1? ? ? ? n ?2? ?2? ?1? ? ? ?2?

an

,所以数列

?an ? 的通项公式是 an ? ? 2n ? 1? ? ? ?

1? ? ?2?

n ?1

考点:1、等比数列的定义;2、等比数列的通项公式;3、等差数列的通项公式. 【名师点晴】 本题主要考查的是等比数列的定义、 等比数列的通项公式和等差数列的通项公 式,属于难题. 本题通过将 S n 的递推关系式转化为 an 的递推关系式,利用等比数列的定义进行证明,进而 可得通项公式, 根据通项公式的特点构造成等差数列进行求解. 解题时一定要注意关键条件 “n ? 2” ,否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是等比数列的定义、等比数列 的通项公式和等差数列的通项公式,即等比数列的定义:

an ?1 ,等比数列的通 ? q (常数) an

项公式: an ? a1q n ?1 ,等差数列的通项公式: an ? a1 ? ? n ? 1? d . 12.【2015 高考湖北,文 19】设等差数列 {an } 的公差为 d,前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 的 公比为 q.已知 b1 ? a1 , b2 ? 2 , q ? d , S10 ? 100 . (Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)当 d ? 1 时,记 cn ?
an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn

1 ? an ? (2n ? 79), ? a ? 2 n ? 1, ? 2n ? 3 ? n ? 9 【答案】 (Ⅰ) ? 或? ; (Ⅱ) Tn ? 6 ? n ?1 . n ?1 2 2 ? ?bn ? 2 . ?b ? 9 ? ( ) n ?1 . n ? 9 ?

【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和,属中档题. 【名师点睛】这是一道简单综合试题,其解题思路:第一问直接借助等差、等比数列的通项 公式列出方程进行求解,第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为 主,以教材为蓝本,注重计算能力培养的基本方向. 13. 【 2015 高考湖南,文 19 】 (本小题满分 13 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知

a1 ? 1, a2 ? 2 ,且 an ?1 ? 3Sn ? S n ?1 ? 3, (n ? N * ) ,
(I)证明: an ? 2 ? 3an ; (II)求 S n 。
n?2 ?3 (5 ? 3 2 ? 1), (n ? 2k ? 1, k ? N * ) ? ?2 【答案】 (I)略;(II) S n ? ? n ? 3 (3 2 ? 1), (n ? 2k , k ? N * ) ? ?2

【解析】 试题分析: ( I ) 当 n ? N , n ? 2 时 , 由 题 可 得 an ? 2 ? 3S n ? S n ?1 ? 3, (n ? N * ) ,
*

an ?1 ? 3Sn ?1 ? S n ? 3, (n ? N * ) , 两 式 子 相 减 可 得 an ? 2 ? an ?1 ? 3an ? an ?1 , 即 an ? 2 ? 3an , (n ? 2) ,然后验证当 n=1 时,命题成立即可; (II)通过求解数列 {an } 的奇数项
与偶数项的和即可得到其对应前 n 项和的通项公式. 试题解析: (I)由条件,对任意 n ? N * ,有 an ? 2 ? 3S n ? S n ?1 ? 3, (n ? N * ) , 因而对任意 n ? N , n ? 2 ,有 an ?1 ? 3S n ?1 ? S n ? 3, (n ? N * ) ,
*

两式相减,得 an ? 2 ? an ?1 ? 3an ? an ?1 ,即 an ? 2 ? 3an , (n ? 2) , 又 a1 ? 1, a2 ? 2 ,所以 a3 ? 3S1 ? S 2 ? 3 ? 3a1 ? (a1 ? a2 ) ? 3 ? 3a1 , 故对一切 n ? N * , an ? 2 ? 3an 。 (II)由(I)知, an ? 0 ,所以

an ? 2 ? 3 ,于是数列 {a2 n ?1} 是首项 a1 ? 1 ,公比为 3 的等 an

比数列,数列 {a2 n } 是首项 a1 ? 2 ,公比为 3 的等比数列,所以 a2 n ?1 ? 3n ?1 , a2 n ? 2 ? 3n ?1 , 于是 S 2 n ? a1 ? a2 ?

? a2 n ? (a1 ? a3 ?

? a2 n ?1 ) ? (a2 ? a4 ?
3n ?1 ) ?

? a2 n )

? (1 ? 3 ?

3n ?1 ) ? 2(1 ? 3 ?

3n ?1 ) ? 3(1 ? 3 ?

3(3n ? 1) 2

从而 S 2 n ?1 ? S 2 n ? a2 n ?

3(3n ? 1) 3 ? 2 ? 3n ?1 ? (5 ? 3n ? 2 ? 1) , 2 2

n?2 ?3 2 (5 ? 3 ? 1), (n ? 2k ? 1, k ? N * ) ? ?2 综上所述, S n ? ? 。 n 3 * ? (3 2 ? 1), (n ? 2k , k ? N ) ? ?2

【考点定位】数列递推关系、数列求和 【名师点睛】已知数列{an}的前 n 项和 Sn,求数列的通项公式,其求解过程分为三步: (1)先利用 a1=S1 求出 a1; (2)用 n-1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系, 利用 an=Sn-Sn-1(n≥2) 便可求出当 n≥2 时 an 的表达式;(3)对 n=1 时的结果进行检验,看是否符合 n≥2 时 an 的 表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分 n=1 与 n≥2 两段来写.数列求和的常用方法有倒序相加法,错位相减法,裂项相消法,分组求和法,并 项求和法等,可根据通项特点进行选用. 14。 【2015 高考湖南,文 21】 (本小题满分 13 分)函数 f ( x) ? ae cos x( x ? [0, ??) ,记
2

xn 为 f ( x) 的从小到大的第 n(n ? N * ) 个极值点。
(I)证明:数列 { f ( xn )} 是等比数列; (II)若对一切 n ? N , xn ? f ( x n ) 恒成立,求 a 的取值范围。
*

【答案】 (I)略;(II) [ 【解析】

2? ? ? e 2 , ??) 4

试题分析: (I)由题 f ?( x) ?

2ae x cos( x ? ) ,令 f ?( x) ? 0 ,求出函数的极值点,根 4
n? ? 3?

?

2 e 4 ? 据等比数列定义即可得到结果; (II) 由题意问题等价于 恒成立问题,设 3? a n? ? 4
g (t ) ? et (t ? 0) t
, 然 后 运 用 导 数 知 识 得 到

[ g ( xn )]min

5? ? 4 ? 2 4 ? 2 ? min[ g ( x1 ), g ( x2 )] ? min[ g ( ), g ( )] ? g ( ) ? e ,所以 ? e2 , 4 4 4 ? a ?

?

求得 a ?

2? ? ? e 2 ,得到 a 的取值范围; 4

试题解析: (I) f ?( x) ? ae x cos x ? ae x sin x ?

2ae x cos( x ? ) 4 ? ? 3? 令 f ?( x) ? 0 ,由 x ? 0 ,得 x ? ? m? ? ,即 x ? m? ? ,m? N* , 4 2 4
而对于 cos( x ? 若 2 k? ?

?

?

3? ? ? ? x ? 2k? ? ,则 cos( x ? ) ? 0 ; 2 4 2 4 4 4 ? ? 3? ? 5? ? 若 2 k? ? ? x ? ? 2 k? ? ,即 2k? ? ? x ? 2k? ? ,则 cos( x ? ) ? 0 ; 2 4 2 4 4 4 3? 3? ? 因此,在区间 ((m ? 1)? , m? ? ) 与 (m? ? , m? ? ) 上, f ?( x) 的符号总相反, 4 4 4 3? 3? 于是当 x ? m? ? , m ? N * 时, f ( x) 取得极值,所以 xn ? n? ? , n ? N * ,此时, 4 4

?

4

) ,当 k ? Z 时,

? x?

?

? 2 k? ?

?

,即 2k? ?

f ( xn ) ? ae

n? ?

3? 4

? 3? 2 n? ? 34 n ?1 ,易知 f ( xn ) ? 0 ,而 cos(n? ? ) ? (?1) ae 4 2

? 2 ( n ?1)? ? 34 (?1) ae f ( xn ?1 ) 2 ? ? ?e? 是常数, 3? n ? ? f ( xn ) 2 (?1) n ?1 ae 4 2
n?2

故数列 { f ( xn )} 是首项为 f ( x1 ) ?

2 ? ae 4 ,公比为 ?e? 的等比数列。 2

? 3? 2 n? ? 34 (II)对一切 n ? N , xn ? f ( x n ) 恒成立,即 n? ? 恒成立,亦即 ? ae 4 2
*
n? ? 3? 4

2 e ? 恒成立, 3? a n? ? 4
设 g (t ) ?

et et (t ? 1) ,令 g ?(t ) ? 0 得 t ? 1 , (t ? 0) ,则 g ?(t ) ? t t2

当 0 ? t ? 1 时, g ?(t ) ? 0 ,所以 g (t ) 在区间 (0,1) 上单调递减; 当 t ? 1 时, g ?(t ) ? 0 ,所以 g (t ) 在区间 (1, ??) 上单调递增; 因为 xn ? (0,1) ,且当 n ? 2 时, xn ? (1, ??), xn ? xn ?1 , 所以

? 5? ? 4 ? [ g ( xn )]min ? min[ g ( x1 ), g ( x2 )] ? min[ g ( ), g ( )] ? g ( ) ? e 2 4 4 4 ?
因此, n ? N , xn ? f ( x n ) 恒成立,当且仅当
*

2 4 ? 2? ? ? ? e 2 ,解得 a ? e 2, a ? 4

2? ? ? 故实数 a 的取值范围是 [ e 2 , ??) 。 4
【考点定位】恒成立问题;等比数列的性质 【名师点睛】 解决数列与函数的综合问题时, 如果是证明题要根据等比数列的定义明确证明 的方向,如果是不等式恒成立问题,要使用不等式恒成立的各种不同解法,如变量分离法、 最值法、因式分解法等,总之解决这类问题把数列看做特殊函数,并把它和不等式的知识巧 妙结合起来综合处理就行了. 15.【2015 高考山东,文 19】已知数列 ?an ? 是首项为正数的等差数列,数列 ?

?

1 ? ?的 ? an ? an ?1 ?

前 n 项和为

n . 2n ? 1

(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn ? ? an ? 1? ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
a

【答案】 (I) an ? 2n ? 1. (II) Tn ? 【解析】 (I)设数列 ?an ? 的公差为 d , 令 n ? 1, 得

4 ? (3n ? 1) ? 4n ?1 . 9

1 1 ? ,所以 a1a2 ? 3 . a1a2 3 1 1 2 ? ? ,所以 a2 a3 ? 15 . a1a2 a2 a3 5

令 n ? 2, 得

解得 a1 ? 1, d ? 2 ,所以 an ? 2n ? 1. (II)由(I)知 bn ? 2n ? 22 n ? 4 ? n ? 4n , 所以 Tn ? 1 ? 41 ? 2 ? 42 ? ...... ? n ? 4 n , 所以 4Tn ? 1 ? 42 ? 2 ? 43 ? ...... ? ( n ? 1) ? 4 n ? n ? 4 n ?1 , 两式相减,得 ?3Tn ? 41 ? 42 ? ...... ? 4 n ? n ? 4 n ?1

?

4(1 ? 4n ) 1 ? 3n n ?1 4 ? n ? 4n ?1 ? ?4 ? , 1? 4 3 3

3n ? 1 n ?1 4 4 ? (3n ? 1) ? 4n ?1 所以 Tn ? ?4 ? ? . 9 9 9
【考点定位】1.等差数列的通项公式;2.数列的求和、“错位相减法”. 【名师点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等比数列的求和、 “错位相减法”等,解答 本题的关键,首先是注意运用从一般到特殊的处理方法,准确确定等差数列的通项公式;其 次就是能对所得数学式子准确地变形, 本题易错点在于错位相减后求和时, 弄错数列的项数, 或忘记从 ?3Tn 化简到 Tn . 本题是一道能力题,属于中等题.在考查等差数列、等比数列等基础知识的同时,考查考生 的计算能力.本题是教科书及教辅材料常见题型,能使考生心理更稳定,利于正常发挥.

16.【2015 高考陕西,文 21】设 f n ( x ) ? x ? x 2 ? (I)求 f n?(2) ;

? x n ? 1, n ? N , n ? 2.

1 1?2? ? 2? (II)证明: f n ( x ) 在 ? 0, ? 内有且仅有一个零点(记为 an ) ,且 0 ? an ? ? ? ? . 2 3? 3? ? 3?
【答案】(I) f n?(2) ? ( n ? 1)2 n ? 1 ;(II)证明略,详见解析.

n

试题解析:(I)由题设 f n?( x ) ? 1 ? 2 x ? 所以 f n?(2) ? 1 ? 2 ? 2 ? 由

? nx n ?1 ,
① ②

? n 2 n ?1 ? n 2n ? 2 n ?1 ? n 2 n

2 f n?(2) ? 1 ? 2 ? 2 ? 22 ?

① ? ②得 ? f n?(2) ? 1 ? 2 ? 2 2 ?

?
所以

1 ? 22 ? n ? 2n ? (1 ? n )2 n ? 1 , 1? 2

f n?(2) ? ( n ? 1)2 n ? 1

(II)因为 f (0) ? ?1 ? 0

2? ?2? ?1 ? ? ? 3? ? 3? 2 fn ( ) ? ? 2 3 1? 3
2 3

n

? ? n 2 ? ? ?1 ? 1? 2 ? ? 2 ? ? 1? 2 ? ? 2 ? ? 0 , ? ? ? ? ? 3? ? 3?

所以 f n ( x ) 在 (0, ) 内至少存在一个零点, 又 f n?( x ) ? 1 ? 2 x ?

? nx n ?1 ? 0

所以 f n ( x ) 在 (0, ) 内单调递增, 因此, f n ( x ) 在 (0, ) 内有且只有一个零点 an , 由于 f n ( x ) ?

2 3

2 3

1 ? xn ?1, 1? x

1 ? an n 所以 0 ? f n ( an ) ? ?1 1 ? an
由此可得 an ? 故

1 1 n ?1 1 ? an ? 2 2 2

1 2 ? an ? 2 3
n ?1

1 1 n ?1 1 ? 2 ? 所以 0 ? an ? ? an ? ? ? ? 2 2 2 ? 3?

1 ?2? ? ?? ? 3 ? 3?

n

【考点定位】1.错位相减法;2.零点存在性定理;3.函数与数列. 【名师点睛】 (1)在函数出现多项求和形式,可以类比数列求和的方法进行求和; (2)证明 零点的唯一可以从两点出发: 先使用零点存在性定理证明零点的存在性, 再利用函数的 单调性证明零点的唯一性; (2)有关函数中的不等式证明,一般是先构造函数,再求出 函数在定义域范围内的值域即可; (4)本题属于中档题,要求有较高逻辑思维能力和计 算能力. 17.【2015 高考四川,文 16】设数列{an}(n=1,2,3…)的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an-a3,且 a1,a2+1,a3 成等差数列. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)设数列 {

1 } 的前 n 项和为 Tn,求 Tn. an

【解析】(Ⅰ) 由已知 Sn=2an-a1,有

an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2) 即 an=2an-1(n≥2) 从而 a2=2a1,a3=2a2=4a1, 又因为 a1,a2+1,a3 成等差数列 即 a1+a3=2(a2+1) 所以 a1+4a1=2(2a1+1),解得 a1=2 所以,数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列 故 an=2n.

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 1 1 1 2 2 ? 1? 1 ? n 所以 Tn= ? 2 ? ...... ? n ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 1 an 2 2 2 2 2n 1? 2
【考点定位】 本题考查等差数列与等比数列的概念、 等比数列通项公式与前 n 项和等基础知 识,考查运算求解能力. 【名师点睛】数列问题放在解答题第一题,通常就考查基本概念和基本运算,对于已知条件 是 Sn 与 an 关系式的问题,基本处理方法是“变更序号作差” ,这种方法中一定要注意首项 a1 是否满足一般规律(代入检验即可,或者根据变换过程中 n 的范围和递推关系中的表达式 判断).数列求和时,一定要注意首项、公比和项数都不能出错.同时注意,对于较为简单的试 题,解析步骤一定要详细具体,不可随意跳步.属于简单题. 18. 【2015 高考天津, 文 18】 (本小题满分 13 分) 已知 {an } 是各项均为正数的等比数列, {bn } 是等差数列,且 a1 = b1 = 1, b2 + b3 = 2a3 , a5 - 3b2 = 7 . (I)求 {an } 和 {bn } 的通项公式; (II)设 cn = an bn , n

N* ,求数列 {cn } 的前 n 项和.
n

【答案】 (I) an ? 2n ?1 , n ? N? , bn ? 2n ? 1, n ? N? ;(II) S n ? ? 2n ? 3? 2 ? 3 【解析】 (I)列出关于 q 与 d 的方程组,通过解方程组求出 q,d,即可确定通项;(II)用错位相减法求 和. 试题解析:(I)设 {an } 的公比为 q, {bn } 的公差为 d,由题意 q ? 0 ,由已知,有 ?

?2q 2 ? 3d ? 2, 4 ? q ? 3d ? 10,

消去 d 得 q ? 2q ? 8 ? 0, 解得 q ? 2, d ? 2 , 所以 {an } 的通项公式为 an ? 2n ?1 , n ? N? ,
4 2

{bn } 的通项公式为 bn ? 2n ? 1, n ? N? .
(II)由(I)有 cn ? ? 2n ? 1? 2
n ?1

,设 {cn } 的前 n 项和为 S n ,则

S n ? 1? 20 ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ? 2 Sn ? 1? 21 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ?
两式相减得 ? S n ? 1 ? 2 ? 2 ?
2 3

? ? 2n ? 1? ? 2 n ?1 , ? ? 2n ? 1? ? 2 n , ? 2n ? ? 2n ? 1? ? 2n ? ? ? 2n ? 3? ? 2 n ? 3,

所以 S n ? ? 2n ? 3? 2 ? 3 .
n

【考点定位】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及错位相减法求和,考查基本运算能 力. 【名师点睛】近几年高考试题中求数列通项的题目频频出现,尤其对等差、等比数列的通项 考查较多,解决此类 问题要重视方程思想的应用.错位相减法求和也是高考考查频率较高的 一类方法,从历年考试情况来看,这类问题,运算失误较多,应引起考生重视. 19. 【 2015 高 考 浙 江 , 文 17 】 ( 本 题 满 分 15 分 ) 已 知 数 列 {an } 和 {bn } 满 足 ,

a1 ? 2, b1 ? 1, an ?1 ? 2an (n ? N* ),
1 1 b1 ? b2 ? b3 ? 2 3
(1)求 an 与 bn ; (2)记数列 {an bn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . 【答案】(1) an ? 2 ; bn ? n ;(2) Tn ? (n ? 1)2
n n ?1

1 ? bn ? bn ?1 ? 1(n ? N* ) . n

? 2(n ? N * )

【解析】 (1)根据数列递推关系式,确定数列的特点,得到数列的通项公式;(2)根据(1)问得到新的数 列的通项公式,利用错位相减法进行数列求和. 试题解析:(1)由 a1 ? 2, an ?1 ? 2an ,得 an ? 2 .
n

当 n ? 1 时, b1 ? b2 ? 1 ,故 b2 ? 2 . 当 n ? 2 时,

b 1 n ?1 , bn ? bn ?1 ? bn ,整理得 n ?1 ? n bn n

所以 bn ? n . (2)由(1)知, an bn ? n ? 2
2 n

所以 Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ?
3

? n ? 2n ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n ?1
3

2Tn ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ?
2

所以 Tn ? 2Tn ? ?Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? 所以 Tn ? (n ? 1)2
n ?1

? 2n ? n ? 2n ?1 ? (1 ? n)2n ?1 ? 2

?2.

【考点定位】1.等差等比数列的通项公式;2.数列的递推关系式;3.错位相减法求和. 【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式以及数列的求和.根据数列递推 关系式推理得到数列的性质和特点, 以此得到数列的通项公式, 利用错位相减法计算新组合 的数列的求和问题.本题属于中等题,主要考查学生基本的运算能力. 20.【2015 高考重庆,文 16】已知等差数列 ?an ? 满足 a3 =2,前 3 项和 S3 = (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式, (Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 满足 b1 = a1 , b4 = a15 ,求 ?bn ? 前 n 项和 Tn . 【答案】 (Ⅰ) an = 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由已知及等差数列的通项公式和前 n 项和公式可得关于数列的首项 a1 和公 式 d 的二元一次方程组, 解此方程组可求得首项及公差的值, 从而可写出此数列的通项公式, (Ⅱ)由(Ⅰ)的结果可求出 b1 和 b4 的值,进而就可求出等比数列的公比,再由等比数列 的前 n 项和公式 Tn =

9 . 2

n +1 , (Ⅱ) Tn = 2n - 1 . 2

b1 (1 - q n ) 即可求得数列 ?bn ? 前 n 项和 Tn . 1- q

试题解析: (1)设 {an } 的公差为 d ,则由已知条件得

3? 2 9 d= , 2 2 3 化简得 a1 + 2d = 2, a1 + d = , 2 1 解得 a1 =1,d = , 2 a1 + 2d = 2,3a1 +

n- 1 n +1 ,即 an = . 2 2 15+1 (2)由(1)得 b1 =1,b4 =a15 = =8. 2
故通项公式 an =1+ 设 {bn } 的公比为 q,则 q 3 = 故 {bn } 的前 n 项和

b4 = 8 ,从而 q = 2 . b1

Tn =

b1 (1 - q n ) 1? (1 2n ) = = 2n - 1 . 1- q 1- 2

【考点定位】1. 等差数列,2. 等比数列. 【名师点睛】本题考查等差数列及等比数列的概念、通项公式及前 n 项的求和公式,利用方 程组思想求解. 本题属于基础题,注意运算的准确性. 【2015 高考上海,文 23】(本题满分 16 分)本题共 3 小题.第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分, 第 3 小题 6 分. 已知数列 {an } 与 {bn } 满足 an ?1 ? an ? 2(bn ?1 ? bn ) , n ? N ? . (1)若 bn ? 3n ? 5 ,且 a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式; (2)设 {an } 的第 n0 项是最大项,即 an0 ? an (n ? N ) ,求证:数列 {bn } 的第 n0 项是 最大项; (3)设 a1 ? 3? ? 0 , bn ? ?n (n ? N ) ,求 ? 的取值范围,使得对任意 m , n ? N ? ,
?

?

an ? 0 ,且
am 1 ? ( , 6) . an 6
【答案】 (1) an ? 6n ? 5 ; (2)详见解析; (3) ( ?

1 ,0) . 4

【解析】 (1)因为 an ?1 ? an ? 2(bn ?1 ? bn ) , bn ? 3n ? 5 , 所以 an ?1 ? an ? 2(bn ?1 ? bn ) ? 2(3n ? 8 ? 3n ? 5) ? 6 , 所以 {an } 是等差数列,首项为 a1 ? 1 ,公差为 6,即 an ? 6n ? 5 .

(2)由 an ?1 ? an ? 2(bn ?1 ? bn ) ,得 an ?1 ? 2bn ?1 ? an ? 2bn , 所以 {an ? 2bn } 为常数列, an ? 2bn ? a1 ? 2b1 ,即 an ? 2bn ? a1 ? 2b1 , 因为 an0 ? an , n ? N ? , 所以 2bn0 ? a1 ? 2b1 ? 2bn ? a1 ? 2b1 ,即 bn0 ? bn , 所以 {bn } 的第 n0 项是最大项. (3)因为 bn ? ?n ,所以 an ?1 ? an ? 2(?n ?1 ? ?n ) , 当 n ? 2 时, an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1

? 2(?n ? ?n ?1 ) ? 2(?n ?1 ? ?n ? 2 ? ? ? ? ? 2(?2 ? ? ) ? 3?
? 2?n ? ? ,
当 n ? 1 时, a1 ? 3? ,符合上式, 所以 an ? 2?n ? ? , 因为 a1 ? 3? ? 0 ,且对任意 n ? N ? ,
2

a1 1 ? ( ,6 ) , an 6
1 ,0) , 2

故 an ? 0 ,特别地 a2 ? 2? ? ? ? 0 ,于是 ? ? (? 此时对任意 n ? N ? , an ? 0 , 当?

1 ? ? ? 0 时, a2 n ? 2 | ? |2 n ?? ? ? , a2 n ?1 ? ?2 | ? |2 n ?1 ?? ? ? , 2
2

由指数函数的单调性知, {an } 的最大值为 a2 ? 2? ? ? ? 0 ,最小值为 a1 ? 3? , 由题意,

am a 3 a 2? ? 1 的最大值及最小值分别是 1 ? 及 2 ? , an a2 2? ? 1 a1 3

2? ? 1 1 3 1 ? 及 ? 6 ,解得 ? ? ? ? 0 , 3 6 2? ? 1 4 1 综上所述, ? 的取值范围是 ( ? ,0) . 4
由 【考点定位】数列的递推公式,等差数列的性质,常数列,数列的最大项,指数函数的单调 性. 【名师点睛】数列是高中数学的重要内容之一,是衔接初等数学与高等数学的桥梁,在高考

中的地位举足轻重, 近年来的新课标高考都把数列作为核心内容来加以考查, 并且创意不断, 常考常新.


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