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第3篇 第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式


第2讲

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 π 1.已知 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称,且 β=-3,则 sin α 等于 3 A.- 2 1 C.-2 解析 3 B. 2 1 D.2 ( ).

π 因为 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称,所以

α+β=2kπ+2(k∈Z).又

π 5π 1 β=-3,所以 α=2kπ+ 6 (k∈Z),即得 sin α=2. 答案 D ( 2 B. 2 3 D. 2 ).

2.(2014· 吉安模拟)sin 585° 的值为 2 A.- 2 3 C.- 2 解析

sin 585° =sin(360° +180° +45° )=sin(180° +45° )

2 =-sin 45° =- 2 . 答案 A ( ).

3.(2014· 咸阳模拟) 1-2sin?π+2?cos?π-2?= A.sin 2-cos 2 C.± (sin 2-cos 2) 解析 B.sin 2+cos 2 D.cos 2-sin 2

1-2sin?π+2?cos?π-2?= 1-2sin 2cos 2

= ?sin 2-cos 2?2=|sin 2-cos 2|=sin 2-cos 2. 答案 A

4.若 3sin α+cos α=0,则 10 A. 3 2 C.3 解析

1 的值为 cos α+sin 2α
2

(

).

5 B.3 D.-2 1 由已知得 tan α=-3,

sin2α+cos2α 1 则 2 = cos α+sin 2α cos2α+2sin αcos α tan2α+1 = = 1+2tan α 答案 A 1 9+1 10 =3. 1 ? ? 1+2×?-3? ? ?

5.若 sin α 是 5x2-7x-6=0 的根,则 3π? ?3π ? ? sin?-α- 2 ?sin? 2 -α?tan2?2π-α? ? ? ? ? = π π ? ? ? ? cos?2-α?cos?2+α?sin?π+α? ? ? ? ? 3 A.5 4 C.5 解析 5 B.3 5 D.4 3 3 由 5x2 - 7x - 6 = 0 , 得 x = - 5 或 2. ∴ sin α = - 5 . ∴ 原 式 =

(

).

cos α?-cos α?· tan2α 1 5 = =3. sin α· ?-sin α?· ?-sin α? -sin α 答案 B

二、填空题 1 ?3 ? 6.(2014· 杭州模拟)如果 sin(π+A)=2,那么 cos?2π-A?的值是________. ? ? 解析 1 1 ∵sin(π+A)=2,∴-sin A=2.

1 ?3 ? ∴cos?2π-A?=-sin A=2. ? ?

答案

1 2

4 5 ? 4 ? 7.sin 3π·cos 6π·tan?-3π?的值是________. ? ? 解析 π? π? ? π? ? ? 原式=sin?π+3?· cos?π-6?· tan?-π-3? ? ? ? ? ? ?

π? ? π? ? π? ? ?-cos 6?· ?-tan 3? =?-sin 3?· ? ?? ?? ? 3 3 ? 3? ? 3? =?- ?×?- ?×(- 3)=- 4 . ? 2? ? 2? 答案 3 3 - 4

π ?π ? 1 ?π ? 8. (2013· 江南十校第一次考试)已知 sin?12-α?=3, 且-π<α<-2, 则 cos?12-α? ? ? ? ? =________. 解析 ?π ? 1 ∵sin?12-α?=3, ? ?

π 又-π<α<-2, 7π π 13π ∴12<12-α< 12 , ?π ? ∴cos?12-α?=- ? ? 答案 2 2 - 3 2 2 ?π ? 1-sin2?12-α?=- 3 . ? ?

三、解答题 sin?kπ-α?cos[?k-1?π-α] 9.化简: (k∈Z). sin[?k+1?π+α]cos?kπ+α? 解 当 k=2n(n∈Z)时, sin?2nπ-α?cos[?2n-1?π-α] sin[?2n+1?π+α]cos?2nπ+α?

原式= =

sin?-α?· cos?-π-α? -sin α?-cos α? = =-1; sin?π+α?· cos α -sin α· cos α

当 k=2n+1(n∈Z)时, 原式= sin[?2n+1?π-α]· cos[?2n+1-1?π-α] sin[?2n+1+1?π+α]· cos[?2n+1?π+α]



sin?π-α?· cos α sin α· cos α = =-1. sin α· cos?π+α? sin α?-cos α?

综上,原式=-1. 1 10.已知在△ABC 中,sin A+cos A=5. (1)求 sin Acos A 的值; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值. 解 1 (1)∵sin A+cos A=5, ①

1 ∴两边平方得 1+2sin Acos A=25, 12 ∴sin Acos A=-25, 12 (2)由 sin Acos A=-25<0,且 0<A<π, 可知 cos A<0,∴A 为钝角,∴△ABC 是钝角三角形. 24 49 (3)∵(sin A-cos A)2=1-2sin Acos A=1+25=25, 又 sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0, 7 ∴sin A-cos A=5,② 4 3 ∴由①,②可得 sin A=5,cos A=-5, sin A ∴tan A=cos A= 4 3=-3. -5 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 ?π ? 1 ?2π ? 1.若 sin?6-α?=3,则 cos? 3 +2α?等于 ? ? ? ? 7 A.-9 1 B.-3 ( ). 4 5

1 C.3 解析 ?π ? ?π ? π ∵?3+α?+?6-α?=2. ? ? ? ?

7 D.9

?π ?π ?? ?π ? +α?? ∴sin?6-α?=sin?2-? ?3 ?? ? ? ? ?π ? 1 =cos?3+α?=3. ? ? 7 ?2π ? ?π ? 则 cos? 3 +2α?=2cos2?3+α?-1=-9. ? ? ? ? 答案 A

?π ? 2.(2014· 鹰潭质检)已知 α 为锐角,且 2tan(π-α)-3cos?2+β?+5=0,tan(π+α) ? ? +6sin(π+β)=1, 则 sin α 的值是 3 5 A. 5 3 10 C. 10 解析 3 7 B. 7 1 D.3 ( ).

由已知可得-2tan α+3sin β+5=0,tan α-6sin β=1,解得 tan α=3,

又 sin2α+cos2α=1,α 为锐角. 3 10 故 sin α= 10 . 答案 C

二、填空题 3.sin21° +sin22° +…+sin290° =________. 解析 sin21° + sin22° + … + sin290° = sin21° + sin22° + … + sin244° + sin245° +

cos244° + cos243° + … + cos21° = (sin21° + cos21° ) + (sin22° + cos22° )+…+ 1 91 (sin244° +cos244° )+sin245° +sin290° =45+2= 2 . 答案 91 2

三、解答题 ? π π? ?π ? 4. 是否存在 α∈?-2,2?, β∈(0, π), 使等式 sin(3π-α)= 2cos?2-β?, 3cos(- ? ? ? ? α)=- 2cos(π+β)同时成立?若存在,求出 α,β 的值;若不存在,请说明理

由. 解 假设存在角 α,β 满足条件, ① ②

?sin α= 2sin β, 则由已知条件可得? ? 3cos α= 2cos β, 由①2+②2,得 sin2α+3cos2α=2. 1 2 ∴sin2α=2,∴sin α=± 2 . π ? π π? ∵α∈?-2,2?,∴α=± 4. ? ? π 3 当 α=4时,由②式知 cos β= 2 , π 又 β∈(0,π),∴β=6,此时①式成立; π 3 当 α=-4时,由②式知 cos β= 2 , π 又 β∈(0,π),∴β=6,此时①式不成立,故舍去. π π ∴存在 α=4,β=6满足条件.


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1.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α,π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式. 2 sin x 2.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1, =tan x....

3.2同角三角函数的基本关系式与诱导公式

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