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2.1.1随机事件的概率、意义

时间:2016-04-28


1名数学家=10个师
在第二次世界大战中,美国曾经宣布:一名优秀数学家 的作用超过10个师的兵力.这句话有一个非同寻常的来历. 1943年以前,在大西洋上英美运输船队常常受到德国 潜艇的袭击,当时,英美两国限于实力,无力增派更多的护航 舰,一时间,德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额. 为此,有位美国海军将领专门去请教了几位数学家,数学 家们运用概率论分析后分析,舰队与敌

潜艇相遇是一个随 机事件,从数学角度来看这一问题,它具有一定的规律性.一 定数量的船(为100艘)编队规模越小,编次就越多(为每次20 艘,就要有5个编次),编次越多,与敌人相遇的概率就越大. 美国海军接受了数学家的建议,命令舰队在指定海域集 合,再集体通过危险海域,然后各自驶向预定港口.结果奇迹 出现了:盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%降为1% 大大减少了损失,保证了物资的及时供应.

这是一个真实的事例,数学家运用自己的知识和 方法解决了英美海军无力解决的问题,这便是数学 知识的魅力所在. 它告诉我们数学知识在实际生活中的作用是 巨大的,特别是当今社会,随着信息时代的到来,知识 正改变着我们周围的一切,改变着世界,改变着未来. 今天,我们一起来学习和探索当初那位数学家 所运用的数学知识----------随机事件的概率问题

概率已成为一个常用的词汇,如中奖概率、降水概率、 投篮命中概率等.那么概率的准确含义是什么?如何计算? 计算概率有何作用?

请同学们来看下面一些事件 , 并从这些事件的发生 与否的角度,分析一下它们各有什么特点?
(1) “导体通电时,发热” 一定会发生 (2) “抛一石块,下落”

(3) “在标准大气压下且温度低于0?C时,冰融化” 不可能发生 (4) “在常温下,焊锡熔化” (5) “某人射击一次,中靶” 无法预知的 (6) “掷100枚硬币,全部正面向上” 一类现象的结果总是确定的,即在一定的条件下,它 所出现的结果是可以预知的,这类现象称为确定性现象; 另一类现象的结果是无法预知的,即在一定的条件 下,出现那种结果是无法预先确定的,这类现象称为随机 现象.

必然事件:在条件S下,一定会发生的事件,叫做相对 于条件S的必然事件,简称必然事件. 不可能事件:在条件S下,一定不会发生的事件,叫 做相对于条件S的不可能事件,简称不可能事件. 必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定 事件,简称确定事件. 在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫做相对 于条件S的随机事件,简称随机事件.

确定事件和随机事件统 称为事件,
事件一般用大写字母: A, B, C , D,....表示

1.指出下列事件是必然事件,不可能事件,还是随机事件: 随机事件 (1)某地明年1月1日刮西北风; 2 必然事件 x (2)当x是实数时, ? 0 不可能事件 (3)手电筒的电池没电,灯泡发亮; (4)一个电影院某天的上座率超过50%. 随机事件 (5)从分别标有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的 10张号签中任取一张,得到4号签。 随机事件 (6)无特殊情况,明天地球仍会转动 必然事件 (7)“木柴燃烧产生热量” 必然事件 (8)“用石蛋孵出小鸡” 不可能事件 (9)“王义夫射击一次,击中十环” 随机事件 不可能事件 (10)煮熟的鸭子,跑了

思考:由于随机事件具有不确定性,因而从表面看似 乎偶然性在起支配作用,没有什么必然性。是吗?

人们经过长期的实践并深入研究后,发现随机 事件虽然就每次试验结果来说具有不确定性, 然而在大量重复实验中,它却呈现出一种完全 确定的规律性。
要了解随机事件发生的可能性大小,最直接的方 法就是试验.

随机事件在一次试验中是否发生是不确定的,但是在 大量重复试验的情况下,它的发生会呈现出一定的稳定性.
抛掷硬币试验
试验 序号
1 2 3 4 5 6 7

出现正面的情况如下:
n?5

n ? 50
f
0.4 0.6

nH
2 3 1 5 1 2 4

nH

f

n ? 500 f nH
0.502 0.498

0.44 251 22 1 在 25 2 处波动较大 0.50 249

0.2 21 , 频率 0.42 256 0.512 随n的增大 f呈现出稳定性 1 1.0 247 0.494 25 0.50 在 处波动较小 2 24 0.48 0.502 0.2 251 波动最小 18 0.36 262 0.524 0.4 0.8 0.54 258 27 0.516

电脑模拟试验

历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复实验,结果如下表所示
2048 抛掷次数(n) 正面朝上次数(m) 1061 4040 2048 0.506 12000 6019 0.501 24000 12012 0.5005 30000 14984 0.4996

频率(m/n)

0.518

频率m/n
1

德 . 摩根

蒲 丰

皮尔逊

皮尔逊





0.5

抛掷次数n
2048 4040 12000 24000 30000 72088

在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A 是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出 nA 现的频数,称事件A出现的比例 f n ( A) ? 为事件A出现 n 的频率.0 ? f ( A) ? 1
n

频率的取值范围是什么?必然事件及不可 1 0 能事件出现的频率是多少? 一般来说,随机事件A在每次试验中是否发生是不 能预知的,但在大量重复试验中,随着试验次数的增加, 事件A发生的频率会逐渐稳定在[0,1]中的某个常数上. 我们就用这个常数来度量事件A发生的可能性的大小.

问题探索:课本中三个实验,分别从表格中可以看出最后 的频率均趋向于某一个常数. 对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加, 事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数 记作概率P(A).因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A). P(正面向上)=0.5

必然事件的概率为 1, 不可能事件的概率为 0.
求概率的一种方法 : 用这个事件发生的频率 来近似 地作为它的概率 .

显然 : 0 ? P ( A) ? 1

事件A发生的频率是不是不变的?事件A的概率P(A) 是不是不变的?它们之间有什么区别和联系?

(1) 频率本身是随机的,在试验前不能确定;

(2) 概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关;
(3) 频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越 来越接近概率;概率是频率的稳定值 (4) 在相同条件下可以进行的大量重复试验的随机事件, 它们都具有频率的稳定性,而频率所稳定在的那个确定 的常数,我们称之为概率. (5)概率反映了随机事件发生的可能性的大小. 概率是用来度量随机事件发生可能性大小的量 ,知道 事件发生的概率可以为我们决策提供依据.

练习1.某射手在同一条件下进行射击,结果如下:
射击次数 击中靶心的次数 m 10 20 8 19 50 44 100 92 200 178 500 455

击中靶心的频率m/n

0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91

(1)计算表中击中靶心的各个频率; (2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约为多少?
说明:击中靶心的概率是0.90是指射击一次“击中靶心”的 可能性是90%

2.随机事件在n次试验中发生了m次,则( (A) 0<m<n (B) 0<n<m (C) 0≤m≤n (D) 0≤n≤m

)

3.某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果如下表: 投篮次数 进球次数 8 6 10 8 15 12 20 17 30 25 40 30 50 40

进球频率

0.75 0.80 0.80 0.85 0.83 0.75 0.80

(1)计算表中进球的频率; (2)这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少? 概率约是0.8 (3)这位运动员进球的概率是0.8,那么他投10次篮 一定能投中8次吗? 不一定. 投10次篮相当于做10次试验,每次试验的结 果都是随机的, 所以投10次篮的结果也是随机的. 但 随着投篮次数的增加,他进球的可能性为80%.

4.抛掷100枚质地均匀的硬币,有下列一些说法:
①全部出现正面向上是不可能事件; ②至少有1枚出现正面向上是必然事件;

③出现50枚正面向上50枚正面向下是随机事件,
以上说法中正确说法的个数为( B ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

5.下列说法正确的是 (C ) A.任何事件的概率总是在(0,1)之间 B.频率是客观存在的,与试验次数无关 C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率 D.概率是随机的,在试验前不能确定

6.下列事件: (1)口袋里有伍角、壹角、壹元的硬币若干枚,随机 地摸出一枚是壹角. (2)在标准大气压下,水在90℃沸腾. (3)射击运动员射击一次命中10环. (4)同时掷两颗骰子,出现的点数之和不超过12. 其中是随机事件的有 A.(1) B.(1)(2) C.(1)(3) D.(2)(4) (C )

7.下列事件:

(1)如果a、b∈R,则a+b=b+a.

1 1 (2)如果a<b<0,则 > . a b

(3)我班有一位同学的年龄小于18或大于20. (4)没有水份,黄豆能发芽. 其中是必然事件的有 (A )

A.(1)(2) B.(1) C.(2) D.(2)(3) 8.下列事件:(1)a,b∈R且a<b,则a-b∈R (2)抛一石块,石块 飞出地球.(3)掷一枚硬币,正面向上.(4)掷一颗骰子出现点8. 其中是不可能事件的是 ( C) A.(1)(2) B.(2)(3) C.(2)(4) D.(1)(4)

1.概率的正确理解

思考:有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面的概率是0.5, 那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币,一定是一次正 面朝上,一次反面朝上.你认为这种想法正确么?

思考:如果某种彩票的中奖概率为1/1000,那么买1000张 这种彩票一定能中奖吗?(假设该种彩票有足够多的张数)

再次告诉我们:随机事件在一次试验中发生与否 是随机的,但随机性中含有规律性.

2.游戏的公平性 乒乓球比赛确定发球权的方法公平否?
结论:在各类游戏中,如果每人获胜的概率相 等,那么游戏就是公平的.这就是说,游戏是否 公平只要看每人获胜的概率是否相等. 某中学高一年级有12个班,要 1点 2点 3点 4 点 5点 6点 从中选2个班代表学校参加某项 3 4 5 6 7 1点 2 活动,由于某种原因,1班必须参加, 4 5 6 7 8 另外再从2至12班中选一个班,有 2点 3 5 6 7 8 9 人提议用如下方法:掷两个骰子 3点 4 得到的点数和是几,就选几班,你 4点 5 6 7 8 9 10 认为这种方法公平吗?
5点 6 7 8 9 10 11

6点

7

8

9

10

11

12

这样的游戏公平吗?
小军和小民玩掷色子是游戏,他们约定:两颗色子 掷出去,如果朝上的两个数的和是5,那么小军获胜,如 果朝上的两个数的和是7,那么小民获胜.这样的游戏公 平吗? 事件:掷双色子 A:朝上两个数的和是5 B:朝上两个数的和是7 关键是比较A发生的可能性和B发 生的可能性的大小。

3.决策中的概率思想

如果连续10次掷一骰子,结果都是出现1点.你认为 这枚骰子的质地均匀么?为什么? 1.假设骰子的质地是均匀的,那么抛掷1次出现1点的概率 是多少? 2.第1次抛掷的结果会不会影响到第2次抛掷的结果? 连续10次掷一枚骰子,结果都是1点的可能性几乎不可 能发生. 1 10
( ) ? 0.000000016538 6 一般地,当我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案 的决策任务,“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的 准则,这种判断问题的方法称为极大似然法.

极大似然法是统计工作中最重要的统计思想方法之一.就是指在 一次试验中概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大.

4.天气预报的概率解释

思考:某地气象局预报说,明天本地降水概率为70%. 你认为下面两个解释中哪一个能代表气象局的观点 ? (1)明天本地有70%的区域下雨,30%的区域不下雨; (2)明天本地下雨的机会是70%.
天气预报是气象专家依据观察到的气象资料和个人经验, 经过分析推断而得,是主观概率的一种. 降水概率的大小只能说明降水可能性的大小,概率值越 大只能表示在一次试验中发生的可能性越大.在一次试验中 “降水”这个情况是否发生仍然是随机的,也有不发生的情 况.上例尽管明天下雨的可能性很大,但由于“明天下雨”是 随机事件,因此仍然有可能不下雨.

5.试验与发现

孟德尔把黄色和绿色的豌豆 杂交,第一年收获的豌豆是黄 色的.第二年,当他把第一年收 获的黄色豌豆再种下时,收获 的豌豆既有黄色的又有绿的.类 似地,他把圆形和皱皮豌豆杂 交,第一年收获的都是圆形豌 豆,连一粒皱皮豌豆都没有.第 二年,当他把这种杂交圆形再 种下时,得到的却既有圆形豌 豆,又有皱皮豌豆.

6.遗传机理中的统计规律
YY

亲本 第一代 第二代 YY

yy Yy Yy yy

Yy Yy

其中Y为显性因子,y为隐性因子

1.孟德尔豌豆试验中 , 用纯黄豆圆粒和纯绿豆 皱粒 作杂交, 则子二代结果的性状黄 色圆粒, 黄色皱粒,

9:3:3:1 绿色圆粒, 绿色皱粒的比例为_________
2、抽签有先后 , 对各人公平吗? 在5张票中有 1张奖票,5人按照排定的顺序从中 各抽1张以决定谁得到其中的 奖票.那么, 先抽还 是后抽(后抽人不知道先抽人抽 出的结果)对各 人来说公平吗? 也就是说, 各人抽到奖票的概率 相等吗?

3、设集合A ? ?0, 1, 2, 3, 4? ,x, y ? A, ( x, y )是一个基本事件。 ( 1 )“x ? y ? 5”这一事件包含哪几个 基本事件? (2)“x ? 2 y”这一事件包含哪几个 基本事件?

4.有五条线段 , 长度为 1,3,5,7,9, 从这五条线段中 任取三条, 则所取三条线段能构成 一个三角形 的基本事件有哪些 ?

基本事件

1.掷一枚质地均匀的硬币的试验,可能出现几种不同的结果?

? ? ?正面朝上,正面朝下?

2.掷一枚质地均匀的骰子的试验,可能出现几种不同的结果?

? ? ?1点,点,点, 2 3 4点, 5点, 6点?

像上面的“正面朝上”、 “正面朝下”;出现 “1点”、 “2点”、 “3点”、 “4点”、 “5点”、 “6点”这些随机事件叫做构成试验结果的基本事件.
基本事件的特点: (1) 任何两个基本事件是互斥的 (2) 任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 由所有的基本事件构成一个试验的样本空间


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