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教师版一、高三理科数学一轮总复习第一章


第一章

集合与常用逻辑用语
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的含义. 6.全称量词与存在量词 (1)理解全称量词与存在量词的意义; (2)能正确地对含有一个量词的命题进行否 定.

理解.

义, 能正确地 对含有一个 量词的命题 进行否定.

考试要求 1.集合的含义与表示 (1)了解集

合的含义、元素与集合的属于关 系; (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列 举法或描述法)描述不同的具体问题. 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识 别给定集合的子集; (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义. 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会 求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含 义,会求给定子集的补集; (3) 能使用韦恩 (Venn)图表达集合的关系及 运算. 4.命题及其关系 (1)理解命题的概念; (2)了解“若 p, 则 q”形式的命题及其逆命 题,否命题与逆否命题,会分析四种命题的相 互关系; (3)理解必要条件,充分条件与充要条件的 意义. 5.简单的逻辑联结词 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”

重难点击 本 章 重 点: 1. 集 合 的 含义与表示、 集合间的基本 关系与基本运 算; 2. 命 题 的 必要条件、充 分条件与充要 条件,对所给 命题进行等价 转化. 本 章 难 点: 1. 自 然 语 集合语言之间 相互转换; 2. 充 分 条 件、必要条件 的判断; 3. 对 含 有 一个量词的命 题进行否定的

命题展望 1.考查 集合本身的 基础知识, 如 集合的概念, 集合间的关 系判断和运 算等; 2. 将 集 合知识与其 他知识点综 合, 考查集合 语言与集合 思想的运用; 3. 考 查 命题的必要 条件、 充分条 件, 要求考生 会对所给命 题进行等价 转化; 4. 要 求 考生理解全 称量词与存 在量词的意

知识网络

言、 图形语言、 件 与 充 要 条

1.1 集合及其运算

C.{x|0≤x≤1} 题型三 集合语言的运用

D.

【解析】选 C.A=[-1,1],B=[0,+∞),所以 A∩B=[0,1].

典例精析
题型一 集合中元素的性质 【例 1】设集合 A={a+1,a-3,2a-1,a2+1},若-3∈A,求实数 a 的值. 【解析】令 a+1=-3?a=-4,检验合格; 令 a-3=-3?a=0,此时 a+1=a +1,舍去; 令 2a-1=-3?a=-1,检验合格; 而 a +1≠-3;故所求 a 的值为-1 或-4. 【点拨】此题重在考查元素的确定性和互异性.首先确定-3 是集合 A 的元素, 但 A 中四个元素全是未知的,所以需要讨论;而当每一种情况求出 a 的值以后, 又需要由元素的互异性检验 a 是否符合要求. b 【变式训练 1】若 a、b∈R,集合{1,a+b,a}={0, ,b},求 a 和 b 的值. a b 【解析】由{1,a+b,a}={0, ,b}, a ?a ? b ? 0, ?a ? b ? 0, ?b ?b ? ? 得① ? ? 1, 或② ? ? a, 显然①无解;由②得 a=-1,b=1. ?a ?a ? ? ?b ? a ?b ? 1 题型二 集合的基本运算 【例 2】已知 A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若 B?A,求实数 a. 1 【解析】由已知得 A={3,5}.当 a=0 时,B=??A;当 a≠0 时,B={ }. a 1 1 1 1 1 1 要使 B?A,则 =3 或 =5,即 a= 或 . 综上,a=0 或 或 . a a 3 5 3 5 【点拨】对方程 ax=1,两边除以 x 的系数 a,能不能除,导致 B 是否为空集, 是本题分类讨论的根源. 【变式训练 2】(2010 江西)若集合 A={x||x|≤1,x∈R},B={y|y=x ,x∈R}, 则 A∩B 等于( ) A.{x|-1≤x≤1} B.{x|x≥0}
2 2 2

【例 3】已知集合 A=[2,log2t],集合 B={x|x2-14x+24≤0},x,t∈R,且 A?B. (1) 对于区间[a,b],定义此区间的“长度”为 b-a,若 A 的区间“长度”为 3,试求 t 的值; (2)某个函数 f(x)的值域是 B,且 f(x)∈A 的概率不小于 0.6,试确定 t 的取值范围. 【解析】(1)因为 A 的区间“长度”为 3,所以 log2t-2=3,即 log2t=5,所以 t=32. (2)由 x2-14x+24≤0, 得 2≤x≤12, 所以 B=[2,12], 所以 B 的区间“长度”为 10. 设 A 的区间“长度”为 y,因为 f(x)∈A 的概率不小于 0.6, y 所以 ≥0.6,所以 y≥6,即 log2t-2 ≥6,解得 t≥28=256. 10 又 A?B, 所以 log2t≤12, 即 t≤212=4 096, 所以 t 的取值范围为[256,4 096](或 [28, 212]). 2 【变式训练 3】设全集 U 是实数集 R,M={x|x2>4},N={x| ≥1},则图 x-1 中阴影部分所表示的集合是( A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x≤2} C.{x|1<x≤2} D.{x|x<2} 【解析】选 C. 化简得 M={x<-2 或 x>2},N={x|1<x≤3},故图中阴影部分为?RM∩N= {x|1<x≤2}. )

总结提高
1.元素与集合及集合与集合之间的关系 对于符号∈,?和?,?的使用 ,实质上就是准确把握两者之间是元素与集合,

还是集合与集合的关系. 2.“数形结合”思想在集合运算中的运用 认清集合的本质特征, 准确地转化为图形关系, 是解决集合运算中的重要数学 思想. (1)要牢固掌握两个重要工具:韦恩图和数轴,连续取值的数集运算,一般借 助数轴处理,而列举法表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理. (2)学会将集合语言转化为代数、几何语言,借助函数图象及方程的曲线将问 题形象化、直观化,以便于问题的解决. 3.处理集合之间的关系时, 必须分类讨论. 是一个不可忽视、但又容易遗漏的内容,如 A? B,A∩B=A,A∪B=B 等条件中,集合 A 可以是空集,也可以是非空集合,通常

【例 2】设 m>0,且为常数,已知条件 p:|x-2|<m,条件 q:|x2-4|<1,若 ? p 是 ? q 的必要非充分条件,求实数 m 的取值范围. 【解析】 设集合 A={x| |x-2|<m}={x|2-m<x<2+m},B={x||x2-4|<1}= {x| 3<x< 5或- 5<x<- 3}. 由题设有: ? q? ? p 且 ? p 不能推出 ? q,所以 p?q 且 q 不能推出 p,所以 A?B. 因为 m>0,所以(2-m,2+m)?( 3, 5), 故由 2+m≤ 5且 2-m≥ 3?0<m≤ 5-2,故实数 m 的取值范围为(0, 5-2]. 【点拨】正确化简条件 p 和 q,然后将充分条件、必要条件问题等价转化为集合与 集合之间的包含问题,借助数轴这个处理集合问题的有力工具使问题得以解决. 【变式训练 2】 已知集合 A={x|a-2<x<a+2}, B={x|x≤-2 或 x≥4}, 则 A∩B =?的充要条件是( A.0≤a≤2 C.0<a≤2 =?,所以如图 ,由画出的数轴可知, ) B.-2<a<2 D.0<a<2

1.2 典例精析

命题及其关系、充分条件与必要条件

题型一 四种命题的写法及真假判断 【例 1】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断其真假. (1)若 m,n 都是奇数,则 m+n 是奇数; (2)若 x+y=5,则 x=3 且 y=2. 【解析】(1)逆命题: 若 m+n 是奇数,则 m,n 都是奇数,假命题; 否命题:若 m,n 不都是奇数,则 m+n 不是奇数,假命题; 逆否命题:若 m+n 不是奇数, 则 m,n 不都是奇数,假命题. (2)逆命题:若 x=3 且 y=2,则 x+y=5,真命题; 否命题:若 x+y≠5,则 x≠3 或 y≠2,真命题; 逆否命题:若 x≠3 或 y≠2,则 x+y≠5,假命题. 【点拨】写命题的四种形式,关键是找出命题的条件与结论,根据四种命题结 构写出所求命题.判断 四种命题真假,要熟悉四种命题的相互关系,注意它们之间 的相互性. 【变式训练 1】 已知命题“若 p, 则 q”为真, 则下列命题中一定为真的是( ? ? A.若 p,则 q B.若 ? q,则 ? p C.若 q,则 p 【解析】选 B. 题型二 充分必要条件探究 D.若 ? q,则 p )

【解析】选 A.因为 A={x|a-2<x<a+2},B={x|x≤-2 或 x≥4},且 A∩B

即 0≤a≤2. 题型三 充分必要条件的证明 1 【例 3】设数列{an}的各项都不为零,求证:对任意 n∈N*且 n≥2,都有 + a1a2 n-1 1 1 +?+ = 成立的充要条件是{an}为等差数列. a2a3 an-1an a1an 【证明】(1)(充分性)若{an}为等差数列,设其公差为 d,则 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + +?+ = [( - )+( - )+?+( - )] a1a2 a2a3 a2 a3 an-1an d a1 a2 an-1 an an-a1 n-1 1 1 1 = ( - )= = . d a1 an da1an a1an

n-1 1 1 1 (2)(必要性)若 + +?+ = , a1a2 a2a3 an-1an a1an 则 1 1 1 1 n + +?+ + = , a1a2 a2a3 an-1an anan+1 a1an+1

的”、“任意的”、“至少 ”、“至多”等;③原命题分类复杂,而逆否命题分 类简单;④原命题化简复杂,而逆否命题化简简单. 3.p 是 q 的充分条件,即 p?q,相当于分别满足条件 p 和 q 的两个集合 P 与 Q 之间有包含关系:P?Q,即 P Q 或 P=Q,必要条件正好相反.而充要条件 p?q 就相当于 P=Q. 4.以下四种说法表达的意义是相同的:①命题“若 p,则 q”为真;②p?q; ③p 是 q 的充分条件;④q 是 p 的必要条件.

n-1 1 n 两式相减得 = - ?a1=nan-(n-1)an+1.① anan+1 a1an+1 a1an 于是有 a1=(n+1)an+1-nan+2,② 由①②得 nan-2nan+1+nan+2=0,所以 an+1-an=an+2-an+1(n≥2). 1 1 2 又由 + = ?a -a =a -a1, a1a2 a2a3 a1a3 3 2 2 所以 n∈N ,2an+1=an+2+an,故{an}为等差数列. 【点拨】按照充分必要条件的概念,分别从充分性和必要性两方面进行探求. π 【变式训练 3】设 0<x< ,则“xsin2x<1”是“xsin x<1”的( 2 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )
*

1.3 典例精析

简易逻辑联结词、全称量词与存在量词

题型一 全称命题和特称命题的真假判断 【例 1】判断下列命题的真假. 1 (1)?x∈R,都有 x2-x+1> ; 2 (2)?α,β 使 cos(α-β)=cos α-cos β; (3)?x,y∈N,都有 x-y∈N; (4)?x0,y0∈Z,使得 2x0+y0=3. 1 3 3 1 【解析】(1)真命题,因为 x2-x+1=(x- )2+ ≥ > . 2 4 4 2 π π (2)真命题,例如 α= ,β= ,符合题意. 4 2 (3)假命题,例如 x=1,y=5,但 x-y=-4?N. (4)真命题,例如 x0=0,y0=3,符合题意. 【点拨】全称命题是真命题,必须确定对集合中的每一个元素都成立,若是假 命题,举反例即可;特称命题是真命题,只要在限定集合中,至少找到一个元素使 得命题成立. 【变式训练 1】已知命题 p:?x∈R,使 tan x=1,命题 q:?x∈R,x2>0. 则下面结论正确的是( ) A.命题“p∧q”是真命题 C. 命题“ ? p∨q”是真命题 B.命题“p∧ ? q”是假命题 D. 命题“ ? p ∧ ? q”是假

π 【解析】 选 B.若 xsin x<1, 因为 x∈(0, ), 所以 xsin x>xsin2x, 由此可得 xsin2x 2 π π π <1, 即必要性成立.若 xsin2x<1, 由于函数 f(x)=xsin2x 在(0, )上单调递增, 且 sin2 2 2 2 π π = >1,所以存在 x0∈(0, ) 使得 x0sin2x0=1.又 x0sin x0>x0sin2x0=1,即 x0sin x0 2 2 >1,所以存在 x0′∈(0,x0)使得 x0′sin x0′<1,且 x0′sin x0′≥1,故充分性不成立.
2

总结提高
1.四种命题的定义和区别,主要在于命题的结论和条件的变化上. 2.由于互 为逆否命题的两个命题是等价的,所以我们在证明一个命题的真假 时,可以通过其逆否命题的证明来达到目的.适合这种处理方法的题型有: ①原命题含有否定词“不”、“不能”、“不是”等;②原命题含有“所有

命题 【解析】 选 D.先判断命题 p 和 q 的真假, 再逐个判断.容易知命题 p 是真命题,

π 如 x= , ? p 是假命题;因为当 x=0 时,x2=0,所以命题 q 是假命题, ? q 是真 4 命题.所以“p∧q”是假命题,A 错误;“p∧ ? q”是真命题,B 错误;“ ? p∨q” 是假命题,C 错误;“ ? p∧ ? q”是假命题,D 正确. 题型二 含有一个量词的命题的否定 【例 2】写出下列命题的否定,并判断其真假. 1 (1)p:?x∈R,x2-x+ ≥0; 4 (2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:?x∈R,x2+2x+2≤0; (4)s:至少有一个实数 x,使 x3+1=0. 1 【解析】(1) ? p:?x∈R,x2-x+ <0,是假命题. 4 (2) ? q:至少存在一个正方形不是矩形,是假命题. (3) ? r:?x∈R,x2+2x+2>0,是真命题. (4) ? s:?x∈R,x3+1≠0,是假命题. 【点拨】含有一个量词的命题否定中,全称命题的否定是特称命题,而特称命 题的否定是全称命题,一般命题的否定则是直接否定结论即可. 【变式训练 2】已知命题 p:?x∈(1,+∞),log3x>0,则 ? p 为 【解析】?x0∈(1,+∞),log3x0≤0. 题型三 命题的真假运用 【例 3】 若 r(x):sin x+cos x>m,s(x):x2+mx+1>0,如果“对任意的 x∈R, r(x)为假命题”且“对任意的 x∈R,s(x)为真命题”,求实数 m 的取值范围. π 【解析】因为由 m<sin x+cos x= 2sin(x+ )恒成立,得 m<- 2; 4 而由 x2+mx+1>0 恒成立,得 m2-4<0,即-2<m<2. 依题意,r(x)为假命题且 s(x)为真命题,所以有 m≥- 2且-2<m<2, 故所求 m 的取值范围为- 2≤m<2. .

【点拨】先将满足命题 p、q 的 m 的取值集合 A、B 分别求出,然后由 r(x)为 假命题(取 A 的补集),s(x)为真命题同时成立(取交集)即得. 【变式训练 3】设 M 是由满足下列性质的函数 f(x)构成的集合:在定义域内存 1 在 x0,使得 f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立.已知下列函数:①f(x)= ;②f(x)=2x;③f(x) x 2 =lg(x +2);④f(x)=cos πx,其中属于集合 M 的函数是 (写出所有满足要求 的函数的序号). 1 1 【解析】②④.对于①,方程 = +1,显然无实数解; x+1 x 对于②,由方程 2x 1=2x+2,解得 x=1;


对于③,方程 lg[(x+1)2+2]=lg(x2+2)+lg 3,显然也无实数解; 对于④,方程 cos[π(x+1)]=cos πx+cos π, 1 即 cos πx= ,显然存在 x 使等式成立.故填②④. 2

总结提高
1.同一个全称命题, 特称命题, 由于自然语言的不同, 可能有不同的表述方法, 在实际应用中可以灵活选择. 2.命题的否定,一定要注意与否命题的区别:全称命题的否定,先要将它变成 特称命题,然后将结论加以否定;反过来,对特称命题的否定,先将它变成全称命 题,然后对结论加以否定.而命题的否命题,则是将原命题中的条件否定当条件, 结论否定当结论构成一个新的,即否命题.


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