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数学文卷·2014届河南省郸城一高高三12月月考(2013.12)

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河南省郸城一高 2013—2014 学年度高三月考(12 月)

数学试题(文)
命题:郸城一高 杨培军 一、选择题(每题 5 分,共 12 小题,满分 60 分) 1.已知集合 A={x|-1≤x≤2,x∈Z},集合 B={0,2,4},则 A∪B 等于 A.{-1,0,1,2,4} B.{-1,0,2,4} C.{0,2,4} D.{0,1,2,

4} 2.已知设 i 是虚数单位,若





1+7i 2 2 =a+bi(a,b∈R) ,则 a +b 的值是 2-i





A.8 B.10 C.3 D.2 3.条件 p:x>1,y>1,条件 q:x+y>2,xy>1,则条件 p 是条件 q 的 ( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.为了得到函数 y=sin2x 的图象,只需把函数 y=cos2x 的图象 ( ) A.向左平移



π 4

B.向右平移

π 4

C.向左平移

π 2

D.向右平移

π 2

5.已知公差不为零的等差数列{ an }的前 n 项和为 S n ,若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项,且 S10 =60,则 S20 等于 ( ) A.80 B.160 C.320 D.640 6.已知 x>0,y>0,且 9x+y=xy,不等式 ax+y≥25 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实 数 a 的最小值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 7.已知向量 a=(cosα,sinα) ,b=(sinβ,-cosβ) ,则|a+b|的最大值为 ( ) A. 2 B.2 C.2 2 D.4 ( )

8. 已知 a 是函数 f (x) = 2 x + log 2 x 的零点, 若 0< x0 <a, 则f ( x0 ) 的值满足 A.f( x0 )>0 B.f( x0 )=0 C.f( x0 )<0

D.f( x0 )符号不确定

9.给出如下四个命题: ①若“p∧q”为假命题,则 p,q 均为假命题; ②命题“若 a>b,则 2 > 2 -1”的否命题为“若 a≤b,则 2 ≤ 2 -1” ;
2 ③“ ?x ∈R, x 2 +1≥1”的否定是“ ?x0 ∈R, x0 +1≤1” a b a b

④给出四个函数 y= x-1 ,y=x,y= x 2 ,y= x 3 ,则在 R 上是增函数的有 3 个. 其中不正确的命题个数是 A.4 B.3 ( ) C.2
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D.1

10.已知数列{ an }的通项公式为 an =2n(n∈N﹡) ,把数列 { an }的各项排列成如图所示的三角形数阵:记 M(s,t) 表示该数阵中第 s 行的第 t 个数,则数阵中的偶数 2010 对应于( ) A.M(45,15) B.M(45,25) C.M(46,16) D.M(46,25)

x 2 y2 1(a>0,b>0) ,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 11.已知双曲线 2 - 2 = a b
M,N 两点,O 为坐标原点.若 OM⊥ON,则双曲线的离心率为 A. ( )

-1+ 3 3

B.

1+ 3 2

C.

-1+ 5 2

D.

1+ 5 2

12.对于函数 y=f(x) ,如果存在区间[m,n],同时满足下列条件:①f(x)在[m,n]内是 单调的;②当定义域是 [m,n]时,f(x)的值域也是[m,n],则称[m,n]是该函数的 存在 “梦想区间” , 则 a 的取值范围是 ( “梦想区间” . 若函数 ( f x) =a- (a>0) A. (

1 x



4 ,2) 3

B. (

3 ,+∞) 2

C. (

1 5 , ) 2 2

D. (2,+∞)

二、填空题(每小题 5 分,共 4 小题,满分 20 分) 13.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 a,b,c 成等差数列,sinA,sinB, sinC 成等比数列,则三角形的形状是_______________.

? x+y-1≤0, ? ≥0, 表示的区域,E 是到原点 14.在平面直角坐标系 xOy 中,设 D 是由不等式组 ? x-y+1 ? y≥0 ?
的距离不大于 1 的点构成的区域,向 E 中随机投一点,则所投点落在 D 中的概率是 _______.

15.函数 f(x)对任意正整数 a,b 满足条件 f(a+b)=f(a) ·f(b)且 f(1)=2,则

f (2) f (1)



f (4) f (6) f (2014) + +…+ =______________ f (2013) f (3) f (5)
1 1 < 成立的充要条件是 ab>0; a b

16.给出下列命题: ①若 a>b,则

②若不等式 x 2 +ax-4<0 对任意 x∈(-1,1)恒成立,则 a 的取值范围为(-3,3) ;

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③数列{ an }满足:a1=2068,且 an+1 + an + n 2 =0(n∈N﹡) ,则 a11 =2013;

④设 0<x<1,则

a2 b2 + 的最小值为 ( a+b) 2 x 1-x

其中所有真命题的序号是______________. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (本题满分 10 分))已知α为锐角,sinα= 的值. 18. (本题满分 12 分)已知各项均为正数的等比数列{ an }的首项为 a1=2,且 4a1 是 2a2,a3 的等差中项. (1)求数列{ an }的通项公式 an ; (2)若 bn = an log 2 an , S n =b1+b2+…+ bn ,求 S n . 19. (本题满分 12 分)在锐角三角形中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,满足 条件 sin 2 B +sin2BsinB+cos2B=1. (1)求角 B 的值; (2)若 b=3,求 a+c 的最大值.
2

4 1 ,tan(α-β)= ,求 cos2α和 tanβ 5 3

20. (本题满分 12 分)已知函数 f(x)=

1 3 x +mx 2-3m 2 x+1 ,m∈R. 3

(1)当 m=1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f (2) )处的切线方程; (2)若 f(x)在区间(-2,3)上是减函数,求 m 的取值范围.

21. (本题满分 12 分)已知点 A(0,-2) ,B(0,4) ,动点 P(x,y)满足 PA · PB =

uur

uur

y 2 -8.
(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)设(1)中所求轨迹与直线 y=x+b 交于 C,D 两点,且 OC⊥OD(O 为原点) ,求 b 的值.

22. (本题满分 12 分)已知 a∈R,函数 f(x)=ax-lnx,g(x)= 中 e 是自然对数的底数,为常数.
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ln x ,x∈(0,e],其 x

(1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间与极值; (2)在(1)的条件下,求证:f(x)>g(x)+

1 ; 2

(3)是否存在实数 a,使得 f(x)的最小值为 3?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明 理由.

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