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第2讲命题及其关系、充要条件

时间:2017-10-25


第2讲 命题及其关系、充要条件

1.有三个语句:(1)x<3;(2)x2-2x-3=0;(3)x2+ 1<0(x∈R),其中是命题的为( D ) A.(1)(2) C.(2) B.(1)(3) D.(3)

解析:能判断真假的语句才叫命题,故只有(3)是命 题,所以选D.

2.(原创)命题“若a=2

,则y=logax在(0,+∞)上为增 函数”的逆否命题为( D )

A.若y=logax在(0,+∞)上为增函数,则a=2 B.若y=logax在(0,+∞)上为增函数,则a≠2 C.若y=logax在(0,+∞)上不为增函数,则a=2 D.若y=logax在(0,+∞)上不为增函数,则a≠2

解析:交换命题的条件与结论,并同时进行否定,可 知选D.

3.(原创)命题“若a-2>b-2,则a+1>b+1”的否 命题是( C ) A.若a-2>b-2,则a+1≤b+1 B.若a-2>b-2,则a+1<b+1 C.若a-2≤b-2,则a+1≤b+1 D.若a-2<b-2,则a+1<b+1

解析:由原命题与否命题的关系易知C正确.

4.(原创)已知x∈R,那么“-1<x<1”是“0<x<1”的( A ) A.必要而不充分条件 C.充要条件 B.充分而不必要条件 D.既不充分又不必要条件

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解析:-1<x<1?/

0<x<1,但0<x<1?-1<x<1.因此

“-1<x<1”是“0<x<1”的必要而不充分条件,故选A.



命题及其相互关系
【例1】(1)(原创)已知原命题:“若A、B、C、D四点

→ ∥CD → ”,下面结论中正确的是( 共线,则AB A.原命题和逆否命题都是假命题 B.原命题和否命题都是假命题 C.原命题和逆命题都是真命题 D.原命题和逆否命题都是真命题

)

(2)(改编)若命题“不等式x2+2

3 x+3m≥0恒成立”

是真命题,则实数m的取值范围是____________.

解析:(1)因为原命题为真,逆命题为假,否命题为假, 逆否命题为真,故选D. (2)由题意得Δ=(2 3)2-4×3m≤0,解得m≥1, 即实数m的取值范围是[1,+∞).

【拓展演练1】 (改编)给定下列命题: ①“若k>0,则方程x2+2x-k=0有实数根”; ②“若a,b,c成等差数列,则b是a,c的等差中项”的 否命题; ③“两条直线平行,则斜率相等”的逆命题; ④当a<0时,“若|x|+a≥0,则x≤a或x≥-a”的逆否 命题. 其中真命题的序号是 .

解析:①Δ=4-4(-k)=4+4k>0,所以是真命题; ②否命题为“若a,b,c不成等差数列,则b不是a,c 的等差中项”是真命题; ③逆命题“若两条直线斜率相等,则两直线平行”是 假命题; ④逆否命题与原命题等价,而原命题为真命题. 故①②④为真命题.



充分条件、必要条件的判断
【例2】(1)若向量a=(4,y)(y∈R),则“y=3”是“|a|

=5”的(

) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充要条件

(2)设{an}是等差数列,则“a1<a2”是“数列{an}是递增数 列”的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充要条件

解析:(1)若y=3,则a=(4,3), 所以|a|= 42+32=5. 若|a|=5,则 42+y2=5,所以y2=9,y=± 3. 故“y=3”是“|a|=5”的充分不必要条件,选A. (2)因为{an}是等差数列,若a1<a2,则d=a2-a1>0, 所以{an}是递增数列; 若{an}是递增数列,则a1<a2, 故“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的充要条件,选C.

【拓展演练2】 (1)设a、b是实数,则“lg(a2+1)<lg(b2+1)”是“a<b”的 ( ) A.充要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

(2)已知集合A={x|a-2<x<a+2},B={x|(x+2)(x- 4)≥0},则A∩B=?的充要条件是( A.0≤a≤2 C.0<a≤2 ) B.-2<a<2 D.0<a<2

解析:(1)由函数y=lg x是增函数可知, lg(a2+1)<lg(b2+1)?a2+1<b2+1?a2<b2. 易知a2<b2?/ a<b,且a<b?/ a2<b2, 故“lg(a2+1)<lg(b2+1)”是“a<b”的既不充分也不必要条 件,故选D. (2)B={x|x≤-2或x≥4},
?a-2≥-2 由A∩B=??? ?0≤a≤2,故选A. ?a+2≤4



根据充分条件、必要条件求解参数
【例3】(改编)已知集合P={x|2x2-3x+1≤0},Q={x|(x

-a)(x-a-1)≤0}.若x∈P是x∈Q的充分条件,则实数a的 取值范围是____________.

1 解析:P={x|2≤x≤1},Q={x|a≤x≤a+1}, 因为x∈P是x∈Q的充分条件,所以P?Q,
? 1 ?a≤ 2 所以? ?1≤a+1 ?

1 ,解得0≤a≤2,

1 即实数a的取值范围是[0,2].

【拓展演练3】 (2012· 山东省济南市3月模拟)设p:|4x-3|≤1,q:x2- (2a+1)x+a(a+1),若綈p是綈q的必要而不充分条件,则实 数a的取值范围是( 1 A.[0,2] ) 1 B.(0,2) 1 D.(-∞,0)∪(2,+∞)

1 C.(-∞,0]∪[2,+∞)

1 解析:由|4x-3|≤1解得2≤x≤1. 由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0, 得(x-a)(x-a-1)≤0,即a≤x≤a+1. 若綈p是綈q的必要而不充分条件, 则q是p的必要而不充分条件, ? ? 1 1 ?a≤ ?a≤ 2 2 , 所以有? ,即? ?a+1≥1 ?a≥0 ? ? 1 所以0≤a≤2,故选A.

π 1.(2012· 湖南卷)命题“若α= 4 ,则tan α=1”的逆否命 题是( C ) π A.若α≠4,则tan α≠1 π B.若α=4,则tan α≠1 π C.若tan α≠1,则α≠4 π D.若tan α≠1,则α=4

解析:因为“若p,则q”的逆否命题为“若綈q,则 π 綈p”,所以“若α= 4 ,则tan α=1”的逆否命题是“若 π tan α≠1,则α≠4”,故选C.

2.(2013· 辽宁卷)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四 个命题: p1:数列{an}是递增数列; p2:数列{nan}是递增数列; an p3:数列{ n }是递增数列; p4:数列{an+3nd}是递增数列. 其中的真命题为( D ) A.p1,p2 C.p2,p3 B.p3,p4 D.p1,p4

3.(2013· 福建卷)已知集合A={1,a},B={1,2,3},则 “a=3”是“A?B”的( A ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.(2012· 浙江卷)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+ 2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的( A ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件


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