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(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.13

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讲案 2.13 函数的应用 课前自主研习 温故而知新 可以为师矣 知 识 导 读 1.常见的几种函数模型 (1)一次函数型______________; (2)反比例函数型______________; (3)二次函数型______________; (4)指数函数型 y=N(1+p)x(增长率 问题)(x>0); (5)分段函数型. 2.解应用问题的一般程序是: 读题?建模?求解?反馈. (1)读题:深刻理解题意,正确审题, 弄清已知什么,求取什么,需要什么. (2)建模:通过设元,将实际问题转 化为数学关系式或建立数学模型. (3)求解:通过数学运算将数学模型 中的未知量求出. (4)反馈:根据题意检验所求结果是

否符合实际情况,并正确作答. 导 读 校 对 : 1.(1)y = kx + b(k≠0) k (2)y= x (x≠0,k≠0) (3)y=ax2 +bx+ c(a≠0) 基 础 热 身 1.把长为 12 cm 的细铁丝截成两段, 各自围成一个正三角形,那么这两个正 三角形面积之和的最小值是( ) 3 A.2 3cm2 B.4cm2 C.3 2 cm2 D.2 3cm2 解 析 : 设 一 个正三角形的边长为 xcn,则另一个正三角形的边长为(4- x)cm,两个三角形的面积和为 3 2 3 S= 4 x + 4 (4-x)2 3 = 2 (x-2)2+2 3≥2 3(cm2). 答案:D 2.汽车经过启动、加速行驶、匀速 行驶、减速行驶之后停车,若把这一过

程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函 数,其图象可能是如图中的( ) 解析:汽车经过启动、加速行驶、 匀速行驶、减速行驶直至停车,在先进 过程中 s 随时间 t 的增大而增大, 故排除 D.另外汽车在先进过程中有匀速行驶的 状态,故排除 C.又因为在开始时汽车启 动后加速行驶的过程中行驶路程 s 随时 间 t 的变化越来越快, 在减速行驶直至停 车的过程中行驶路程 s 随时间 t 的变化越 来越慢,排除 B. 答案:A 3.某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y=3000+20x- 0.1x2,x∈(0,240).若每台产品的售价为 25 万元, 则生产者不亏本时(销售收入不 小于总成本)的最低产量是( ) A . 100 台 B . 120 台 C.150 台 D.180 台 解析:产量 x 台时,总售价为 25x;

欲使生产者不亏本时,必满足总售价≥ 总成本,即 25x≥(3000+20x-0.1x2), 0.1x2 + 5x - 3000≥0 , x2 + 50x - 30000≥0, 解之得 x≥150 或 x≤-200(舍 去). 故欲使生产者不亏本,最低产量是 150 台. 答案:C 4.中国政府正式加入世贸组织后, 从 2000 年开始,汽车进口关税将大幅度 下降. 若进口一辆汽车 2001 年售价为 30 万元,五年后(2006 年)售价为 y 万元, 每年下调率平均为 x%,那么 y 和 x 的函 数关系式为( ) A.y=30(1-x%)6 B.y=30(1+ x%)6 C.y=30(1-x%)5 D.y=30(1+ x%)5 解析:每年价格为上一年的(1-x%) 倍, 所以五年后的价格为 y=30(1-x%)5. 答案:C 5.(2010· 陕西卷)某学校要召开学生

代表大会,规定各班每 10 人推选一名代 表,当各班人数除以 10 的余数大于 6 时 再增选一名代表.那么,各班可推选代 表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系 用取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最 大整数)可以表示为( ) ?x+3? ?x? ? A.y=?10? B.y=? ? 10 ? ? ? ? ? ?x+4? ?x+5? ? ? ? C.y=? D.y=? ? ? 10 ? ? 10 ? ? ? 解析:由题意,可用特殊值法求解, 当 x=17 时,A 选项错误,当 x=16 时, ?x+4? ?x+5? ? ? ? =2,? ? 10 ? ? 10 ?=2,所以 C,D 选项 ? ? ? ? 错误,故选 B. 答案:B 6.某不法商人将彩电先按原价提高 40%,然后在广告上写上“大酬宾,八 折优惠”,结果是每台彩电比原价多赚 了 270 元 , 那 么 每 台 彩 电 原 价 是 __________元. 解析:设每台彩电原价为 x 元,依

题意有 80%· x(1+40%)-x=270.解得 x =2 250. 答案:2 250

思维互动启迪 博学而笃志 切问而近思 疑难精讲 1.解数学应用问题的基本思想

2.函数的综合应用 函数把数学的各个分支紧紧地连在 一起,函数与方程、不等式、数列、几 何、三角等彼此渗透、相互融合,构成 了函数应用的广泛性、解法的多样性、 思维的创造性,解这类综合问题应注意

以下几点: (1)在解题时,有些函数的性质并不 明显的,深入挖掘这些隐含条件,将获 得简捷解法. (2)应坚持“定义域优先”的原则, 即先弄清自变量的取值范围. (3)函数思想处处存在,要重视对函 数思想的研究和应用,在解题时,要有 意识地引进变量,建立相关函数关系, 利用有关函数知识解决问题. 互动探究 题型 1 二次函数型应用题 例 1.某市现有从事第二产业人员 100 万人, 平均每人每年创造产值 a 万元 (a 为正常数),现在决定从中分流 x 万人 去加强第三产业.分流后,继续从事第 二产业的人员平均每人每年创造产值可 增加 2x%(0<x<100),而分流出的从事 第三产业的人员,平均每人每年可创造 产值 1.2a 万元.在保证第二产业的产值 不减少的情况下,分流出多少人,才能

使该市第二、三产业的总产值增加最 多? 【解析】 设分流出 x 万人,为保 证第二产业的产值不减少,必须满足 (100-x)· (1+2x%)≥100a. a· 因为 a>0,x>0,可解得 0<x≤50. 设该市第二、三产业的总产值增加 f(x)万元, 则 f(x)=(100-x)· (1+2x%)+1.2ax a· -100a, ∴f(x) = - 0.02a(x2 - 110x) = - 0.02a(x-55)2+60.5a, ∵x∈(0,50],且 f(x)在(0,50]上单调 递增, ∴当 x=50 时,f(x)max=60a, 因此在保证第二产业的产值不减少 的情况下,分流出 50 万人,才能使该市 第二、三产业的总产值增加最多.

题型 2 分段函数型应用题

例 2.某厂生产某种零件,每个零件 的成本为 40 元,出厂单价为 60 元.该 厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购 量超过 100 个时,每多订购 1 个,订购 的全部零件的出厂单价就降价 0.02 元, 但实际出厂单价不能低于 51 元. (1)当一次订购量为多少个时,零件 的实际出厂单价恰降为 51 元? (2)设一次订购量为 x 个,零件的实 际出厂单价为 P 元,写出函数 P=f(x)的 表达式; (3)当销售商一次订购 500 个零件 时,该厂获得的利润是多少元?如果订 购 1 000 个,利润又是多少元?(工厂售 出一个零件的利润=实际出厂单价-成 本) 【解析】 (1)设每个零件的实际出 厂价恰好降为 51 元时, 一次订购量为 x0 个,则 60-51 x0=100+ 0.02 =550. 因此,当一次订购量为 550 个时,

每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元. (2)当 0<x≤100 时,P=60. 当 100<x<550 时,P=60-0.02(x x -100)=62-50. 当 x≥550 时,P=51. 所 以 P = f(x) = ?60 ?0<x≤100?, ? ? x ?62- 50 ?100<x<550??x∈N? ? ?51 ?x≥550?, ? (3)设销售商一次订购量为 x 个时, 工厂获得的利润为 L 元,则 L = (P - 40)x = ?20x ?0<x≤100?, ? ? x2 ?22x- 50 ?100<x<550? ? ?11x ?x≥550?, ?

(x∈N)

当 x=500 时,L=6000; 当 x=1000 时,L=11000. 因此,当销售商一次订购 500 个零

件时,该厂获得的利润是 6000 元;如果 订购 1000 个,利润是 11000 元.

题型 3 指数函数型应用题 例 3.假设 A 型进口汽车关税税率在 2001 年是 100%, 2006 年是 25%.2001 在 年 A 型进口车每辆价格为 64 万元(其中 含 32 万元关税税款). (1)已知与 A 型车性能相近的 B 型国 产车, 2001 年每辆价格为 46 万元, A 若 型车的价格只受关税降低的影响,为了 保证 2006 年 B 型车的价格不高于 A 型 车价格的 90%,B 型车价格要逐年降低, 问平均每年至少下降多少万元? (2)某人在 2001 年将 33 万元存入银 行,假设该银行扣利息税后的年利率为 1.8%(五年内不变),且每年按复利计算 (例如,第一年的利息计入第二年的本 金),那么 5 年到期时这笔钱连本带息是 否一定够买一辆按(1)中所述降价后的 B

型汽车? 【解析】 (1)设 B 型车平均每年下 降 x 万 元 , 那 么 46 - 5x≤(32 + 32×25%)×90%,解得 x=2. ∴B 型车平均每年至少下降 2 万元. (2)5 年后,B 型车价格不高于 46- 5×2=36(万元). 5 年后存款本息合计为 33(1+1.8%)5=33(1+0.018)5>33(1 +5×0.018+10×0.0182)≈36.077, 36. 077>36.∴能够买到降价后的 B 型车. 错解辨析 例 4.方程 2x2-3x=k,在-1≤x≤1 的范围内有实数根,求实数 k 的范围. 【错解】 2x2-3x-k=0,Δ=9+ 9 8k≥0?k≥-8. 【错因】 忽略了 x 的取值范围 【正解】 设 f(x)=2x2-3x-k ① 在 - 1≤x≤1 的 范 围 内 有 两 实

根.所以有以下不等式组: ?Δ≥0 ? ?f?-1?≥0 ?f?1?≥0 ? ?-1<3<1 4 ? ? ?k≥-9 8 ? ??k≤5 ? ?k≤-1 ? ??-3?2+8k≥0 ? ??2+3-k≥0 ?2-3-k≥0 ?

9 ?-8≤k≤-1

②方程 f(x)=0 在-1≤x≤1 的范围 内仅有一个实根时,Δ>0,且当 x=1 时 与 x=-1 时 y 值的乘积不能是正数. 9 ? ?k>- 8 ∴? 故-1≤k≤5. ??5-k??k+1?≥0 ? 9 综上可知:当-8≤k≤-1 时,原方 程有二实根. 当-1≤k≤5 时,原方程有一实根.

9 ∴k 范围为-8≤k≤5.


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