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山东师范大学附属中学2015届高三第一次模拟考试理科数学试卷含解析

时间:2015-02-14


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山东师范大学附属中学 2015 届高三第一次模拟考试理科数学 试卷
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释) 1.设全集 U ? ??1, ?2, ?3, ?4,0? ,集合 A ? ??1, ?2,0? , B ? ??3, ?4,0? ,则 ?CU A ? ?B ? ( ) B. ??3, ?4? C. ??1, ?2? D. ?

A. ?0? 【答案】B. 【解析】

试题分析:先利用集合的补集的定义求出集合 A 的补集,即 CU A ? {?3,?4} ;再利用集合 的交集的定义求出 (CU A) ? B ? {?3,?4}.故应选 B. 考点:交、补、并集的混合运算. 2.已知 f ? x ? ? x 2 , i 是虚数单位,则在复平面中复数 A.第一象限 【答案】A. 【解析】 B.第二象限 C.第三象限

f ?1 ? i ? 对应的点在( 3?i
D.第四象限



试题分析:因为函数 f ( x) ? x ,所以 f (1 ? i) ? (1 ? i) ,化简得 f (1 ? i) ? 2i ,
2 2

所以

f ?1 ? i ? 2i 2i(3 ? i ) 2 ? 6i 1 ? 3i 1 3 ? ? ? ? ? ? i .根据复数的几何意义知, 3?i 3 ? i (3 ? i)(3 ? i) 10 5 5 5

f ?1 ? i ? 1 3 所对应的点的坐标为 ( , ) ,所以其对应的点在第一象限.故应选 A. 5 5 3?i
1

考点:复数的代数表示法及其几何意义. 3.设随机变量 ? 服从正态分布 N ? 0,1? ,若 P ?? ? 1? ? p ,则 P ? ?1 ? ? ? 0? ? ( A. )

1 ?p 2

B. 1 ? p

C. 1 ? 2 p

D.

1 ?p 2

【答案】D. 【解析】 试题分析:因为随机变量 ? 服从正态分布 N ? 0,1? ,所以正态分布曲线关于直线 x ? 0 对称, 所以 P (? ? 0) ? P (? ? 0) ?

1 , P(? ? 1) ? P(? ? ?1) ? p , 2 1 ? p .故应选 D. 2

所以 P ? ?1 ? ? ? 0? ? P(? ? 0) ? P(? ? ?1) ?

考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 4.设 0 ? x ?

?
2

,则“ x sin x ? 1 ”是“ x sin x ? 1 ”的(
2



A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】B. 【解析】
2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

试题分析:若“ x sin x ? 1 ” ,则由 0 ? x ?

?
2

知, 0 ? sin x ? 1 ,所以 x sin x ?

1 ,而 sin x

1 ? 1 ,此时不能推出 x sin x ? 1 ,即“ x sin 2 x ? 1 ”不是“ x sin x ? 1 ”的充分条件; sin x
反过来,若“ x sin x ? 1” ,则 x sin x ? sin x ,又 0 ? x ?
2

?
2

,所以 0 ? sin x ? 1 ,所以

x sin2 x ? sin x ? 1 ,即“ x sin x ? 1 ”是“ x sin 2 x ? 1 ”的充分条件,即“ x sin 2 x ? 1 ”
是“ x sin x ? 1 ”的必要条件.综上可知, “ x sin x ? 1 ”是“ x sin x ? 1 ”的必要不充分条
2

件.故应选 B. 考点:充分条件与必要条件. 5.已知两个不同的平面 ?、? 和两个不重合的直线 m、n,有下列四个命题: ①若 m / / n, m ? ?,则n ? ? ; ②若 m ? ? , m ? ? , 则? / / ? ;
2

③若 m ? ? , m / / n, n ? ? , 则? ? ? ; ④若 m / /? , ? ? ? ? n,则m / / n . 其中正确命题的个数是( A.0 B.1 【答案】D. 【解析】 ) C.2 D.3

0 试题分析:对于①,因为 m ? ? ,所以直线 m 与平面 ? 所成的角为 90 ,又因为 m ∥ n ,

所以直线 n 与平面 ? 所成的角也为 90 ,即 n ? ? 命题成立,故正确;
0

m? 对于②, 若m ? ? ,

?, ? ?? ?b, 则经过 m 作平面 ? , 设? ?? ? a , 又因为 a ? ? ,

m ? a, n?b, b 是平行直线.因为 a ? ? , b?? , b?? , 所以在平面 ? 内, 所以直线 a 、

a ∥ b ,所以 a ∥ ? .经过 m 作平面 ? ,设 ? ? ? ? c , ? ? ? ? d ,用同样的方法可以证
出 c ∥ ? .因为 a 、 c 是平面 ? 内的相交直线,所以 ? ∥ ? ,故正确; 对于③,因为 n ? ? , m ∥ n ,所以 n ? ? .又因为 n ?

? ,所以 ? ? ? ,故正确;

对于④,因为 m ∥ ? ,? ? ? ? n ,当直线 m 在平面 ? 内时, m ∥ n 成立,但题设中没有

m 在平面 ? 内这一条件,故不正确.综上所述,其中正确命题的个数是 3 个,应选 D.
考点:平面的基本性质及推论. 6. 要得到函数 f ? x ? ? cos ? 2 x ?

? ?

??

?? ? 只需将函数 g ? x ? ? sin ? 2 x ? ? 的图象 ( ? 的图象, 3? 3? ?
B.向右平移



A.向左平移

? 个单位长度 2 ? 个单位长度 4

? 个单位长度 2 ? 个单位长度 4

C.向左平移 【答案】C. 【解析】

D.向右平移

试题分析:因为函数 f ? x ? ? cos ? 2 x ? 所以将函数 g ? x ? ? sin ? 2 x ?

? ?

? ? 5? ?? ? ? sin[( 2 x ? ) ? ] ? sin[ 2( x ? )] ,
3?
3 2 12

? ?

??

? ? 的图象向左平移 4 个单位长度, 3?

3

即可得到函数 y ? sin[ 2( x ?

?
4

)?

?
3

] ? sin( 2 x ?

5? ) 的图像.故应选 C. 6

考点:函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像变换.

7.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F,若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交 12 4
? ? ? 3 3? , ? 3 3 ? ?

点,则此直线的斜率的取值范围是( ) A. ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

B. [? 3, 3]

C. ? ?

D. ? 3, 3

?

?

【答案】A. 【解析】 试题分析:双曲线

x2 y 2 3 ? ? 1 的渐近线方程是 y ? ? x ,过右焦点 F (4,0) 分别作两条 12 4 3
3 3 , ]. 3 3

渐近线的平行线 l1 和 l 2 ,由下图图像可知,符合条件的直线的斜率的范围是 [? 故应选 A.

考点:直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率;双曲线的简单性质. 8.某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言,要求甲、乙两人至少有一人参 加,当甲乙同时参加时,他们两人的发言不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为 A.360 B.520 C.600 D.720 【答案】C. 【解析】
1 3 4 试题分析: 根据题意, 可分 2 种情况讨论: ①只有甲乙其中一人参加, 有 C2 ? C5 ? A4 ? 480

种 情 况 ; ② 甲 乙 两 人 都 参 加 , 有 C2 ? C5 ? A4 ? 2 4 0种 情 况 , 其 中 甲 乙 相 邻 的 有
2 2 4 2 2 3 2 种情况; 则不同的发言顺序种数为 480 ? 240 ? 120 ? 600 种, 故应 C2 ? C5 ? A3 ? A2 ?1 2 0

选 C. 考点:排列、组合的实际应用.

4

9 .设函数 f ? x ? ? ?

? x 2 ? bx ? c, x ? 0, ?2, x ? 0.
) C.2

若 f ? ?4? ? f ? 0? , f ? ?2? ? ?2 ,则关于 x 的方程

f ? x ? ? x 的解的个数为(
A.4 【答案】B. 【解析】 B.3

D.1

试题分析: 先由 f (?4) ? f (0) 可得,16 ? 4b ? c ? c , 解之可得 b ? 4 , 再由 f (?2) ? ?2 可 得 4 ? 2b ? c ? ?2 , 解 之 可 得 c ? 2 , 故 f ( x) ? ?

? x 2 ? 4 x ? 2, x ? 0 , 令 f ( x) ? x 可 得 ?3, x ? 0

? x 2 ? 4 x ? 2 ? x ?3 ? x 或? ,解之可得 x ? 3 或 x ? ?1 或 x ? ?2 ,故应选 B. ? ?x ? 0 ?x ? 0
考点:根的存在性及根的个数判断. 10 . 已 知 向 量
? ?

OA



OB









?



? ? ? ? ? ? ? 1 OA ? 2, OB ? 1, OP ? t OA, OQ ? (1 ? t ) OB, PQ 在t0 时取得最小值,当 0 ? t0 ? 时,夹 5

角 ? 的取值范围为( A. ? 0,

) B. ?

? ?

??
? 3?

?? ? ? , ? ?3 2?

C. ?

? ? 2? ? , ? ?2 3 ?

D. ? 0,

? ?

2? ? ? 3 ?

【答案】C. 【解析】 试题分析:由题意知, OA? OB ? 2 ? 1? cos ? ? 2 cos ? , PQ ? OQ? OP ? (1 ? t ) OB? t OA ,所以
? ?

?

?

?

?

?

PQ ? (1 ? t ) 2 OB ? t 2 OA ? 2t (t ? 1) OA? OB ? (1 ? t ) 2 ? 4t 2 ? 4t (1 ? t ) cos?
? (5 ? 4 cos? )t 2 ? (?2 ? 4 cos? )t ? 1 ,由二次函数的图像及其性质知,当上式取最小值时,

? 2

? 2

? 2

?

?

1 ? 2 cos ? 1 ? 2 cos ? 1 1 ? 2? .由题意可得, 0 ? , ? ,求得 ? ? cos ? ? 0 ,所以 ? ? ? 5 ? 4 cos ? 5 ? 4 cos ? 5 2 2 3 故应选 C. 考点:向量数量积表示两个向量的夹角. t0 ?

5

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释) 11.若 x ?1 ? x ? 3 ? k 对任意的 x ? R 恒成立,则实数 k 的取值范围为_________. 【答案】 (??,4) . 【解析】 试题分析: 要使得不等式 x ?1 ? x ? 3 ? k 对任意的 x ? R 恒成立, 需 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 3 的 最 小 值 大 于 k , 问 题 转 化 为 求 f ( x) 的 最 小 值 . 首 先 设 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 3 , 则 有

?? 2 x ? 2, x ? ?1 ? f ( x) ? ?4,?1 ? x ? 3 . ?2 x ? 2, x ? 3 ?
当 x ? ?1 时, f ( x) 有最小值为 4; 当 ? 1 ? x ? 3 时, f ( x) 有最小值为 4; 当 x ? 3 时, f ( x) 有最小值为 4.综上所述, f ( x) 有最小值为 4.所以, k ? 4 .故答案为 (??,4) . 考点:含绝对值不等式;函数恒成立问题. 12 .如图给出的是计算 是 .

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 的值的程序框图,其中判断框内应填入的 2 4 6 2014

【答案】 i ? 2014 . 【解析】 试题分析:根据程序框图可得计算出的 S 为: S ?
6

1 1 1 1 ? ? ??? ,为了计算 2 4 6 i

1 1 1 1 1 ? ? ??? ,当 i ? 2,4,?,2012时, S ? 代替 S ,并用 i ? 2 代替 i ,进入下 2 4 6 2014 i
一次运算;而当 i ? 2014 时, S ? 代替 S ,恰好 S ?

1 i

1 1 1 1 ? ? ??? ,用 i ? 2 代 2 4 6 2014

替 i 得, i ? 2016 ? 2014 ,在这次运算中结束循环体并输出 S 的值,因此,判断框内应填 i ? 2014 . 考点:程序框图. 13.已知圆 C 过点 ? ?1,0? ,且圆心在 x 轴的负半轴上,直线 l : y ? x ? 1 被该圆所截得的弦 长为 2 2 ,则圆 C 的标准方程为 【答案】 ?x ? 3? ? y 2 ? 4 .
2

.

【解析】 试题分析: 设圆 C 的圆心 C 的坐标为 (a,0)(a ? 0) , 则圆 C 的标准方程为 ( x ? a) ? y ? r .
2 2 2

圆心 C 到直线 l : y ? x ? 1 的距离为: d ?

a ?1 2

,又因为该圆过点 ? ?1,0? ,所以其半径为

r ? a ?1 . 由 直 线 l : y ? x ? 1 被 该 圆 所 截 得 的 弦 长 为 2 2 以 及 弦 心 距 三 角 形 知 ,
?2 2? ? a ?1 ? 2 2 ? ? ? d ?? ? 2 ? ? r ,即 ? 2 ? ? 2 ? ? a ? 1 ? ,解之得: a ? ?3 或 a ? 1 (舍).所以 ? ? ? ?
2 2 2

r ? a ? 1 ? 2 ,所以圆 C 的标准方程为 ?x ? 3? ? y 2 ? 4 .
2

考点:圆的标准方程;直线与圆的位置关系. 14.定义: min ?a, b? ? ?

?a, a ? b ?0 ? x ? 2 ,在区域 ? 内任取一点 ?b, a ? b ?0 ? y ? 6


p ? x, y ?,则x、y满足 min ? x 2 ? x ? 2 y, x ? y ? 4? ? x 2 ? x ? 2 y 的概率为
【答案】

4 . 9

【解析】 试题分析:由题意知,如下图所示,实验包含的所有事件对应的集合

? ? {( x, y) 0 ? x ? 2,0 ? y ? 6} , 其 面 积 为 S ? ? 1?1 ? 1 ; 满 足 条 件 的 事 件
A ? {( x, y ) 0 ? x ? 2,0 ? y ? 6, x 2 ? x ? 2 y ? x ? y ? 4}
, 即

7

16 1 16 4 2 S A ? ? (4 ? x 2 )dx ? (4 x ? x 3 ) 0 ? ,由几何概型的计算公式知, P ? 3 ? .故 0 3 3 2?6 9
2

应填

4 . 9

考点:几何概型. 15.已知 x ? 0, y ? 0 ,若 【答案】 ?4 ? m ? 2 . 【解析】 试题分析:因为 x ? 0, y ? 0 ,所以由基本不等式知,

2 y 8x ? ? m 2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 x y



2 y 8x 2 y 8x ? ?2 ? ? 8 ,当且仅 x y x y



2 y 8x ? 即 x y
2 y 8x ? 2 y 8x ? 2 ? ? m 2 ? 2m 恒成立转化为 ? ? x ? y? ? ? m ? 2m ,即 x y ? ? min

y ? 2 x 等号成立 .问题

8 ? m 2 ? 2m ,由一元二次不等式解法知, ?4 ? m ? 2 .
考点:一元二次不等式及其解法;均值不等式的应用. 评卷人 得分 三、解答题(题型注释)

16.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a ? c ? b ?
2 2 2

1 ac .. 2

(1)求 sin

2

A?C ? cos 2 B 的值; 2
8

(2)若 b ? 2,求?ABC 面积的最大值. 【答案】 (1) ? 【解析】 试题分析: (1)在△ABC 中,首先运用余弦定理公式 a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2ac cos B ,并结合已 知条件 a ? c ? b ?
2 2 2

15 1 ; (2) . 4 3

1 ac 即可求出 cos B ;然后根据三角形的内角和等于 ? 和倍角公式, 2

将所求式子 sin

2

A?C ? cos 2 B 化简为只关于 cos B 的式子,最后将 cos B 的值代入即可; 2
2 2 2

(2)将已知 b=2 代入 a ? c ? b ?

1 1 ac ,即可得到式子 a 2 ? c 2 ? 4 ? ac ; 2 2

试题解析: ( 1 )在△ ABC 中,由余弦定理可知, a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2ac cos B ,由题意知

1 1 ac ,∴ cos B ? ;又在△ABC 中 A ? B ? C ? ? , 2 4 A ? C ? ? B B 1 ? cos B 2 ? cos 2 B ? sin 2 ? cos 2 B ? cos 2 ? cos 2 B ? ? 2 cos 2 B ? 1 ∴ sin 2 2 2 2 a2 ? c2 ? b2 ?

? 2 cos 2 B ?

cos B 1 1 A?C 1 ? ,又 cos B ? ,∴ sin 2 ? cos 2 B ? ? . 2 2 4 2 4
1 1 1 ac 可知, a 2 ? c 2 ? 4 ? ac ,即 ac ? 2ac ? 4 ,∴ 2 2 2

2 2 2 (2)∵b=2 ,∴由 a ? c ? b ?

8 ac ? . 3
∵ cos B ?

15 1 ,∴ sin B ? 4 4
15 . 3

∴ S ?ABC ?

1 1 8 15 15 ac ? sin B ? ? ? ? . 2 2 3 4 3

∴△ABC 面积的最大值为

考点:余弦定理;均值不等式. MD ? 平面 ABCD,NB ? 17. 如图, 在七面体 ABCDMN 中, 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,

,MB与ND交于P点. 平面 ABCD,且 MD ? 2,NB ? 1

9

(1)在棱 AB 上找一点 Q,使 QP//平面 AMD,并给出证明; (2)求平面 BNC 与平面 MNC 所成锐二面角的余弦值. 【答案】 (1)当 BQ ?

1 AB 时,有 QP //平面 AMD. 3

证明:因为 MD ? 平面 ABCD,NB ? 平面 ABCD,所以 MD//NB, 所以

QB 1 BP NB 1 QB NB ? ? ,又 ? ,所以 ? ,所以在 ?MAB 中,OP//AM. PM MD 2 QA 2 QA MD

又 OP ? 面 AMD,AM ? 面 AMD,∴ OP // 面 AMD. (2)锐二面角的余弦值为 【解析】 试题分析: (1)设 Q 为 AB 上的一点,满足 BQ ?

2 . 3

1 AB .由线面平行的性质证出 MD//NB,结 3

合题中数据利用平行线的性质,得到

QB NB ? ,从而在 ?MAB 中得到 OP//AM.最后利用 QA MD

线面平行判定定理,证出 QP // 面 AMD,说明在棱 AB 上存在满足条件的点; (2)建立如图所示空间直角坐标系,算出向量 CM 、 CN 和 DC 的坐标.利用垂直向量数 量积为 0 的方法建立方程组, 算出平面 CMN 的法向量 n1 .根据线面垂直的判定定理证出 DC ? 平面 BNC,从而得到 DC 即是 BNC 的法向量,最后利用空间向量的夹角公式加以计算,即可 算出平面 CMN 与平面 BNC 所成锐二面角的余弦值. 试题解析: (1)当 BQ ?

1 AB 时,有 QP //平面 AMD. 3

证明:因为 MD ? 平面 ABCD,NB ? 平面 ABCD,所以 MD//NB, 所以

QB 1 BP NB 1 QB NB ? ? ,又 ? ,所以 ? ,所以在 ?MAB 中,OP//AM. PM MD 2 QA 2 QA MD

又 OP ? 面 AMD,AM ? 面 AMD,∴ OP // 面 AMD.

10

(2)以 DA、DC、DM 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则 D(0,0, 0) ,B(2,2,0) ,C(0,2,0) ,M(0,0,2)N(2,2,1) ,所以 CM =(0,-2,2) , CN = (2,0,1) , DC =(0,2,0) , 设平面 CMN 的法向量为 n1 =(x,y,z)则 ? -2,-2). 又 NB ? 平面 ABCD, ∴NB ? DC, BC ? DC,∴DC ? 平面 BNC, ∴平面 BNC 的法向量为 n2 = DC = (0,2,0) , 设所求锐二面角为 ? ,则 cos ? ?

? ? n1 ?CM ? 0 ? ? n1 ?CN ? 0

,所以 ?

??2 y ? 2 x ? 0 ,所以 n1 =(1, ?2 x ? z ? 0

n1 ? n2 n1 ? n2

?

4 2 ? . 3? 2 3

考点:利用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定. 18.某高校自主招生选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮 考核,否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 、 、 , 且各轮问题能否正确回答互不影响。 (1)求该同学被淘汰的概率; (2)该同学在选拔中回答问题的个数记为 ? ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望.

4 3 2 5 5 5

【答案】 (1)

101 ; (2) ? 的分布列为: 125
2 3

?

1

11

P

1 5

8 25
1 5

12 25
8 12 57 ? 3? ? . 25 25 25

其数学期望为 E? ? 1? ? 2 ?

【解析】 试题分析: (1) 求该选手被淘汰的概率可分为三种情况: ①第一轮就被淘汰; ②第一轮答对, 第二轮被淘汰;③第一轮答对,第二轮答对,第三轮被淘汰;然后分别求出这三种情形的概 率,并由独立事件的概率可加公式计算出该同学被淘汰的概率即可; (2)由题意知,? 的可 能值为 1,2,3,其中 ? ? i 表示前 i ? 1 轮均答对问题,而第 i 次答错,然后利用独立事件概 率计算公式分别计算出 ? ? i 时的概率,由此写出 ? 的分布列和计算出 ? 的数学期望即可.

, 2, 3) , 试题解析: (1)记“该同学能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai (i ? 1
则 P( A1 ) ?

4 3 2 , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? , 5 5 5

所以该同学被淘汰的概率为:

P ? P( A1 ? A1 A2 ? A2 A2 A3 ) ? P( A1 ) ? P( A1 )P( A2 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 )

?

1 4 2 4 3 3 101 ? ? ? ? ? ? . 5 5 5 5 5 5 125
?
的 可 能 值 为 1 , 2 , 3 ,

( 2 )

P(? ? 1) ? P( A1 ) ?

1 , 5


4 2 8 P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? ? ? 5 5 25

4 3 12 P(? ? 3) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? ? ? . 5 5 25
所以 ? 的分布列为:

?
P

1

2

3

1 5
1 5

8 25

12 25

所以 E? ? 1? ? 2 ?

8 12 57 ? 3? ? . 25 25 25
*

考点:离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差.
2 19 .设数列 ?an ? 的各项都是正数,且对任意 n ? N ,都有 an ? 2Sn ? an ,其中 Sn 为数

12

列. ?an ? 的前 n 项和. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; ( 2 )设 bn ? 3n ? (?1) n?1 ? ? 2 n ( ? 为非零整数, n ? N ) ,试确定 ? 的值,使得对任意
a
*

n ? N * ,都有 bn?1 ? bn 成立.
* 【答案】 (1) an ? n(n ? N* ) ; (2) ? ? ?1 对所有的 n ? N ,都有 bn?1 ? bn 成立.

【解析】 试题分析: (1)根据题目给出的递推式,取 n ? n ? 1 得另一递推式,两式作差后即可求出 当 n ? 2 时,数列 {a n } 为等差数列,然后令 n ? 1 验证其是否满足该通项即可判断数列 {a n } 为等差数列; (2)将(1)的结果代入通项 bn ? 3n ? (?1) n?1 ? ? 2 n 即可得出 bn 关于 ? 的通项
a

公 式 ; 然 后 取 n ? n ?1 得 另 一 递 推 式 , 两 式 作 差 化 简 可 得

bn?1 ? bn ? 2 ? 3n ? 3? ? 2n ? (?1) n?1 ;再将问题“对任意 n ? N * ,都有 bn?1 ? bn 成立”转化
为对任意 n ? N ,( ?1)
*
n ?1

3 ? ? ? ( ) n ?1 恒成立,将其分成两类进行讨论: (1)当 n 为奇数时, 2 3 2

n ?1 ? ? ( ) n ?1 恒成立,解得 ? 的取值范围; (2)当 n 为偶数时, ? ? ?( ) 恒成立,解得 ?

3 2

的取值范围,最后根据 ? 为非零整数,确定参数 ? 的值即可. 试题解析: (1)因为 n ? N 时, an ? 2Sn ? an , ①
*

2

2 当 n ? 2 时, an ?1 ? 2Sn?1 ? an?1 , ②

2 2 由①-②得, an ? an ?1 ? (2Sn ? an ) ? (2Sn?1 ? an?1 )
2 2 即 an ? an ?1 ? an ? an?1 ,∵ an ? an ?1 ? 0

所以 an ? an?1 ? 1(n ? 2) ,

2 由已知得,当 n ? 1 时, a1 ? 2S1 ? a1 ,所以 a1 ? 1 .

故数列 {a n } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列.所以 an ? n(n ? N ) .
*

(2)因为 an ? n(n ? N ) ,∴ bn ? 3 ? (?1)
*

n

n?1

? ? 2n ,
n n?1

所以 bn?1 ? bn ? 3n?1 ? 3n ? (?1)n ? ? 2n?1 ? (?1)n?1 ? ? 2n ? 2 ? 3 ? 3? ? (?1) 要使得 bn?1 ? bn 恒成立,只须 ( ?1)
n ?1

? 2n .

3 ? ? ? ( ) n ?1 . 2
13

(1)当 n 为奇数时,即 ? ? ( )

3 2

n ?1

恒成立.又 ( ) n ?1 的最小值为1 ,所以 ? ? 1 .

3 2

(2)当 n 为偶数时,即 ? ? ?( )

3 2

n ?1

恒成立.又 ?( )n ?1 的最大值为 ?

3 2

3 3 ,所以 ? ? ? . 2 2

所以由(1) , (2)得 ?

3 ? ? ? 1 ,又 ? ? 0 且 ? 为整数, 2

* 所以 ? ? ?1 对所有的 n ? N ,都有 bn?1 ? bn 成立.

考点:等差数列的通项公式;数列的函数特性. 20.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? 3? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 ?1, ? ,且长轴长等于 4. 2 a b ? 2?

(1)求椭圆 C 的方程; (2) F1,F2 是椭圆 C 的两个焦点,圆 O 是以 F1,F2 为直径的圆,直线 l : y ? kx ? m 与圆 O 相切,并与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,若 OA? OB ? ?
? ?

3 ,求 k 的值. 2

【答案】 (1) 【解析】

x2 y2 2 ? ?1; (2) ? . 2 4 3

试题分析: (1)由题意长轴长为 4 求得 a 的值,在由椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 a 2 b2

? 3? ( 2)由于圆 O 是以 F1,F2 为直径的圆,直线 ?1, ? 建立方程求解即可求出其标准方程; ? 2?

l : y ? kx ? m 与圆 O 相切,利用直线与圆相切的充要条件得到一个等式,把直线方程与椭
圆方程联立利用整体代换的思想,根据 OA? OB ? ?
? ?

3 建立 k 的方程求 k 即可. 2

试题解析: (1)由题意,椭圆的长轴长 2a ? 4 ,得 a ? 2 , 因为点 ?1,

1 9 ? 3? 2 ? 在椭圆上,所以 ? 2 ? 1得 b ? 3 , 4 4b ? 2?

x2 y2 ? ?1. 所以椭圆的方程为 4 3

14

(2)由直线 l 与圆 O 相切,得

m 1? k
2

? 1 ,即 m 2 ? 1 ? k 2 ,

? x2 y2 ? 1, ? ? 2 2 2 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? , 由? 4 消去 y, 整理得 3 ? 4k x ? 8kmx? 4m ?12 ? 0, 3 ? y ? kx ? m, ?

?

?

由 题 意 可 知 圆

O

在 椭 圆 内 , 所 以 直 线 必 与 椭 圆 相 交 , 所 以

8km 4m 2 ? 12 x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

y1 ? y2 ? ?kx1 ? m??kx2 ? m? ? k 2 x1 ? x2 ? km?x1 ? x2 ? ? m2 4m2 ? 12 3m2 ? 12k 2 ? 8km ? 2 ?k ? ? km? ? ?m ? . 2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ? 3 ? 4k ?
2

所以 x1 ? x2 ? y1 y2 ?

4m 2 ? 12 3m 2 ? 12k 2 7m 2 ? 12k 2 ? 12 ? ? , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? 5 ? 5k 2 因为 m ? 1 ? k ,所以 x1 ? x2 ? y1 y2 ? . 3 ? 4k 2
2 2

又因为 OA ? OB ? ?

3 ? 5 ? 5k 2 3 2 1 ? ? , k 2 ? ,得 k 的值为 ? ,所以 . 2 2 3 ? 4k 2 2 2 ax ? b 在点 ? ?1,f ? ?1? ? 的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 . x2 ? 1

考点:椭圆的标准方程. 21.已知函数 f ? x ? ?

(1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)设 g ? x ? ? ln x ,求证: g ? x ? ? f ? x ? 在x ??1, ??? 上恒成立; (3)已知 0 ? a ? b,求证:

ln b ? ln a 2a ? 2 . b?a a ? b2

【答案】 (1) f ( x) ?

2x ? 2 2x ? 2 ; (2)由已知得 ln x ? 2 在 [1,??) 上恒成立, 2 x ?1 x ?1
2

化简 ( x 2 ? 1) ln x ? 2 x ? 2 ,即 x ln x ? ln x ? 2 x ? 2 ? 0 在 [1,??) 上恒成立. 设 h( x) ? x ln x ? ln x ? 2 x ? 2 , h ?( x) ? 2 x ln x ? x ?
2

1 ?2, x

15

因为 x ? 1 ,所以 2 x ln x ? 0,

x?

1 ? 2 ,即 h?( x) ? 0 , x

所以 h( x) 在 [1,??) 上单调递增, h( x) ? h(1) ? 0 ,所以 g ( x) ? f ( x) 在 x ? [1,??) 上恒成 立 .

b 2 ?2 b b (3)因为 0 ? a ? b ,所以 ? 1 ,由(2)知有 ln ? a , a ( b )2 ? 1 a a
整理得

ln b ? ln a 2a ln b ? ln a 2a ,所以当 0 ? a ? b 时, . ? 2 ? 2 2 b?a b?a a ?b a ? b2

【解析】 试题分析: ( 1 ) 首 先 将 点 (?1, f (?1)) 的 坐 标 代 入 切 线 方 程 x ? y ? 3 ? 0 , 即 可 求 出

f (?1) ? ?2 ;然后将点 (?1,?2) 的坐标代入函数 y ? f ( x) 的解析式可得 b ? a ? ?4 ;再由
导数的几何意义知, f ' (?1) ? ?1 即 出函数 y ? f ( x) 的解析式即可; ( 2 )将不等式整理得出 ( x 2 ? 1) ln x ? 2 x ? 2 ,问题转化为 x ln x ? ln x ? 2 x ? 2 ? 0 在
2

b ? ?1 ;最后联立方程组即可求出参数 a , b 的值,并写 2

[1,??) 上 恒 成 立 , 然 后 记 h( x) ? x 2 ln x ? ln x ? 2x ? 2 , 并 求 出 h ' ( x) , 得 出 x ? 1 时

h?( x) ? 0 ,可知 h( x) 在 [1,??) 上单调递增,从而求出 h( x) 的最小值即可得出结果.
试题解析: (1)将 x ? ?1 代入切线方程得 y ? ?2 , ∴ f (?1) ?

b?a ? ?2 , 1?1








b ? a ? ?4

.

f ?( x) ?

a( x 2 ? 1) ? (ax ? b) ? 2 x (1 ? x 2 ) 2

f ?(?1) ?

2a ? 2(b ? a) 2b b ? ? ? ?1 , 4 4 2

解得: a ? 2, b ? ?2 .∴ f ( x) ?

2x ? 2 . x2 ?1

(2)由已知得 ln x ?

2x ? 2 在 [1,??) 上恒成立, x2 ?1
2

化简 ( x 2 ? 1) ln x ? 2 x ? 2 ,即 x ln x ? ln x ? 2 x ? 2 ? 0 在 [1,??) 上恒成立.
16

设 h( x) ? x ln x ? ln x ? 2 x ? 2 , h ?( x) ? 2 x ln x ? x ?
2

1 ?2, x

因为 x ? 1 ,所以 2 x ln x ? 0,

x?

1 ? 2 ,即 h?( x) ? 0 , x

所以 h( x) 在 [1,??) 上单调递增, h( x) ? h(1) ? 0 ,所以 g ( x) ? f ( x) 在 x ? [1,??) 上恒成 立 .

b 2 ?2 b b (3)因为 0 ? a ? b ,所以 ? 1 ,由(2)知有 ln ? a , a ( b )2 ? 1 a a
整理得

ln b ? ln a 2a ln b ? ln a 2a ,所以当 0 ? a ? b 时, . ? 2 ? 2 2 b?a b?a a ?b a ? b2

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;函数恒成立问题.

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