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4.3.1空间直角坐标系-例题


《新课标高中数学必修②精讲精练》——精讲

第四章 圆与方程?

第?34?讲? §4.3.1? 空间直角坐标系
¤学习目标:通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性,了解空间直角坐标系,会用空间直角坐 标系刻画点的位置.? ¤知识要点:? 1.? 空间直角坐标系:从空间某一个定点? O? 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴

? Ox、Oy、Oz,这样 的坐标系叫做空间直角坐标系?O?xyz,点?O?叫做坐标原点,x?轴、y?轴、z?轴叫做坐标轴.? 通过每两个坐标轴的 平面叫做坐标平面,分别称为 xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.? 2.? 右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让右手拇指指向? x? 轴的正方向,食指指向? y? 轴的正方向,若 中指指向 z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.? 3.? 空间直角坐标系中的坐标: 对于空间任一点 M, 作出 M 点在三条坐标轴 Ox 轴、 Oy 轴、 Oz 轴上的射影, 若射影在相应数轴上的坐标依次为 x、y、z,则把有序实数组(x, y,?z)叫做 M 点在此空间直角坐标系中的坐标, 记作 M(x, y, z),其中 x 叫做点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标.? 4.? 在?xOy 平面上的点的竖坐标都是零,在?yOz?平面上的点的横坐标都是零,在?zOx?平面上的点的纵坐标 都是零;在 Ox 轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零,在 Oy 轴上的点的横坐标、竖坐标都是零,在 Oz 轴上的点 的横坐标、纵坐标都是零 ¤例题精讲: 【例 1】在空间直角坐标系中,作出点 M(6,-2,? 4).? z? 解:点 M 的位置可按如下步骤作出: M(6,?2,4)? 先在?x? 轴上作出横坐标是?6? 的点?M?1?,再将?M?1?沿与?y? 轴平行的方向向 左移动?2?个单位得到点?M?2? ,然后将?M?2? 沿与?z?轴平行的方向向上移动?4?个 单位即得点 M.? M 点的位置如图所示.? 【例 2】在长方体?ABCD - A1 B1C1 D1?中,AB=12,AD=8,?AA1?? =5,试建 立适当的空间直角坐标系,写出各顶点的坐标.? 解:以?A? 为原点,射线?AB、AD、?AA? 1? 分别为?x?轴、y?轴、z?轴的正半 轴,建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0)、B(12,0,0)、C(12,8,0)、D(0,8,0)、? A1??(0,0,5)、?B1 ??(12,0,5)、?C1 ?? (12,8,5)、?D1??(0,8,5).? 【例 3】已知正四棱锥 P?ABCD 的底面边长为 4,侧棱长为 10,试建立 适当的空间直角坐标系,写出各顶点的坐标.? 分析:先由条件求出正四棱锥的高,再根据正四棱锥的对称性,建立 适当的空间直角坐标系.? 解:Q 正四棱锥 P?ABCD 的底面边长为 4,侧棱长为 10, ∴正四棱锥的高为 2 23 .? 以正四棱锥的底面中心为原点,平行于? AB、BC? 所在的直线分别为? x? 轴、y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则正四棱锥各顶点的坐标分别为? A(2,?2,0)、B(2,2,0)、C(?2,2,0)、D(?2,?2,0)、P(0,0, 2 23 ).? 点评:在求解此类问题时,关键是能根据已知图形,建立适当的空间直角坐标系,从而便于计算所需确定 的点的坐标.? 【例 4】在空间直角坐标系中,求出经过 A(2,3,1)且平行于坐标平面 yOz 的平面 a 的方程.? 分析:求与坐标平面 yOz 平行的平面的方程,即寻找此平面内任一点所要满足的条件,可利用与坐标平面? yOz 平行的平面内的点的特点来求解.? 解:Q 坐标平面 yOz⊥x 轴,而平面 a 与坐标平面 yOz 平行, ∴平面 a 也与 x 轴垂直, ∴平面 a 内的所有点在 x 轴上的射影都是同一点,即平面 a 与 x 轴的交点, ∴平面 a 内的所有点的横坐标都相等。 Q 平面 a 过点 A(2,3,1), ∴平面 a 内的所有点的横坐标都是 2, ∴平面 a 的方程为 x=2.? 点评:对于空间直角坐标系中的问题,可先回忆与平面直角坐标系中类似问题的求解方法,再用类比方法 求解空间直角坐标系中的问题。本题类似于平面直角坐标系中,求过某一定点且与?x 轴(或?y 轴)平行的直线的 方程.?
67?

4 6?

O? y?

M?2? 2? M?1?
x?


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