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数学破题36计第14计 鲜花开门 情有独钟


数学破题 36 计

第 14 计 鲜花开门 情有独钟

●计名释义
冬天的梅花,非常耀眼.其实,梅花开的并不艳丽,只是因为你喜欢她,所以才心明眼 亮.如果到了百花盛开的春天,你能身在花丛眼不花,还能看到淡淡素素的梅花吗? 数学解题也经常遇到这种情景,有时已知条件非常之多,提供的信息诱惑也非常之泛. 此时,你能"情有独钟

"地筛选出你需要的她吗?

●典例示范
【例 1】 例 P 点在平面内作匀速直线运动, 速度向量 v=(4,-3).(P 点沿 v 方向运动,每秒 移动的距离是|v|).开始时 P(-10,10) , 求 5 秒后 P 点的位置. 【分析 分析】 本质是对 P 点运动的速度向量 分析 v=(4,3)的理解:因为 P 点按匀速直线 运动,每秒位移是 5.从速度分解观点看, 每秒 P 向右移 4,向下移 3. 【解答 解答】 5 秒 P 向右移 20,下移 15, 解答 设 P 点 5 秒后到 P′(x, y). x=-10+20=10, y=10-15=-5. 所以 P′(10,-5). 例 1 题图 【点评 点评】 这样解题很轻松,善于抓住数学本质的理性思维习惯是在学习数学的过程中累 点评 积形成的,而不是在"题海战术"式的"强化训练""大练兵"中形成的. , 【插语 插语】 插语 如果不按上述方式,而是从寻找 PP ′ =5v=(20,-15), 再求 OP ′ = OP ′ + PP ′,

当然也能求出结果,但是并不省时间.众所周知,高考中的时间就是分数. 【例 2】 例 (04全国Ⅰ卷)函数 y= x 1 +1(x≥1)的反函数是 ( )

A.y=x2-2x+2 (x<1) B.y=x2-2x+2(x≥1) C.y=x2-2x(x<1) D.y=x2-2x(x≥1) 【解答 解答】 本题的鲜花是利用互反函数的性质.原函数 x≥1 时,y≥1.∴反函数的定义域为 解答 x≥1,排除 A,C .∵点(5,3)在 f (x)的图象上,∴点(3,5)必在 f -1 (x)的图象上, 而点(3,5)适合 B ,不适合 D ,∴选 B . 【点评 点评】 与反函数有关的选择题,要注意利用其"定义域与值域互易,对应法则互逆, 点评 图象关于直线 y=x 对称"等特点,前呼后拥. 【例 3】 下列各式中,最小值为 2 的是 ( ) 例 A.

x2 + 5 x2 + 4

B.

a+b+2 a+ b

C.

b a + a b

D. sin x +

1 sin

【思考 思考】 利用均值不等式"取等"的条件这朵鲜花去开门.用均值不等式求最值必须满足 思考 两个条件:(1)参与运算的量必须是正数; (2)只有当有关量可以"取等"时才有最值. ∵

x2 + 5 x2 + 4

= x2 + 4 +

1 x2 + 4

, x 2 + 4 ≥ 2, 而

1 x2 + 4



1 , 2

故 x +4 ≠
2

1 x +4
2

, 故否定 A;当 a,b 异号时,
∴选 B .

b a < 0, < 0, 否定 C;当 sinx<0 时,亦 a b



1 <0,否定 D; sin

【点评 点评】 点评

可用直接法证明

a+b+2 = 2 , a , b 存在且在分母中出现, ∵ ∴ab>0. a + b min

又 a+b+2=(a+1)+(b+1) ≥ 2 ( a + b ) , ∴

a+b+2 a+ b

≥ 2. 当 且 仅 当 a=b=1 时

a+b+2 = 2 a + b min
【例 4】 例 已知四边形 ABCD 为矩形且 AB≠BC, PA⊥平面 ABCD, 连接 AC,BD,PB,PC,PD, 则以下各组向量中,数量 积不为零的是 ( ) A. PC与BD C. PD与 AB 【思考 思考】 思考 B. DA与PB D. PA与CD 例 4 题图

利用图形的特点这朵花来打开解题之门.互相垂直的两向量,其数量积为零.

图中PA ⊥ 平面ABCD DA ⊥ PB, 排除B; DA ⊥ AB
同理, PD ⊥ AB, 排除 C. 【点评 点评】 点评 ∵PA⊥平面 ABCD,

∴ PA ⊥ CD ,排除 D,选 A.

可用反证法证明 PC与BD 不垂直, 假定 PC ⊥ BD .∵PA⊥平面 ABCD,

∴ BD ⊥ AC , 四边形 ABCD 是正方形, 这与题设 AB≠BC 矛盾.

●对应训练 对应训练
1.若 f (x)sinx 是周期为π的偶函数,则 f (x)可以是①sinx, 的 A.①② ②cosx, ③cotx, ( B.①④ C.③④ D.① ④tan )

x 中 2

2.下列五个命题: ①|a|=a2; ②

ab b = ; ③(a 2=a2 2; ④(a- b)2=a2-2ab+b2; ⑤若 a b) b b=0, 2 a a
( ) C.①③④ D.②⑤ ( ) B.若 0<q<1, 则{an}为递减数列

则 a=0 或 b=0.其中正确命题的序号是 A.①②③ B.①④ 3.已知等比数列{an}的公比为 q,下列命题正确的是 A.若 q>1, 则{an}为递增数列

C.若 q<1, 则{an}为无穷递减等比数列

D.以上都不对

●参考答案
1. D 【思考 思考】 思考 利用选项的结构特点. 利用选项的结构特点 选项中有三项含①,故先检验①. 设 F(x)= f (x)sinx, 如果 f (x)=sinx,则 F(x)=sin2x=

1 (1-cos2x). 2

∵ cos2x(从而 F(x))是周期为π的偶函数,∴f (x)可以是①,否定 C(无须检验③),如 果 f (x)= cosx,则 F(x)=sinxcosx= 如果 f (x)=tan

x 1 cos x = ,则 F(x)=1-cosx 是周期为 2π的偶函数,也与要求不符, 否定 2 sin x

1 sin2x 是周期为π的奇函数,与要求不符,否定 A ; 2

B.于是 f (x)仅可以是①, 选 D . 【点评 点评】 排除法解选择题也要讲求效率,设法使工作量减到最少. 点评 2. B 利用向量运算的性质 ∵a 与 b 共线,其夹角为 0.∴a2=aa=|a||a|cos0=|a|2.①正 利用向量运算的性质. 利用向量运算的性质 确排除 D;设 a, b 夹角为θ. 则

a b | a || b | cos θ | b | = = cos θ 而向量运算中不含除法运 |a| a2 | a |2

算,

b ,②不能成立,排除 A;若 a⊥b,且 a≠ b,则(ab)2=0 而 a2b2≠0, ∴③不能 a

成立,排除 C. 3. D 选用特殊值取 q=2>1 时, 1=-1<0, 则{an}为递减数列, 选用特殊值取. a 排除 A; 0<q= 当 选用特殊值取

1 <1 时, 2

若 a1=-1<0,则{an}为递增数列,排除 B;取 q=-2<1, a1=1,则{an}为摆动等比数列,排除 C.

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