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坐标系与参数方程:董海涛


阜阳三中 董海涛 2015.9

? ? ? ?

1.课程标准 2.学习目标 3.考点回顾 4.教学建议

课程标准
? 本专题的内容包括:坐标系、曲线的极坐标方程、平 面坐标系中几种变换、参数方程。 ? 通过本专题的教学,使学生简单了解柱坐标系、球坐

标系,掌握极坐标和参数方程的基

本概念,了解曲线
的多种表现形式;通过从实际问题中抽象出数学问题 的过程,使学生体会数学在实际中的应用价值;培养 学生探究数学问题的能力和应用意识。

坐标系

平面直角坐标系

极坐标系

柱坐标系

球坐标系

坐标法

伸缩变换

极直互化

简单曲线的极坐标方程

学习要求2.1 坐标系
①理解坐标系的作用.
②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图

形的变化情况.
③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解

在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置
的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.

2.学习要求
④能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或
圆心在极点的圆)的方程,通过比较这些图形在极坐标系和 平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择 适当坐标系的意义. ⑤了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并

与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们
的区别

2.2 曲线的极坐标方程
? 了解曲线的极坐标方程的求法;会进行曲
线的极坐标方程与直角坐标方程的互化;

? 会求简单图形(过极点的直线、过极点的
圆、圆心在极点的圆)的极坐标方程。

2.学习要求
2.3 平面坐标系中几种常见变换
? 了解在平面直角坐标系中的平移变换与伸 缩变换 (伸缩变换高考不作要求) 。

参数方程

参数方程的概念

特殊曲线的参数方程

参数方程与普通方程的互化

圆锥曲线的参数方程

直线的参数方程

渐开线与摆线的参数方程

2.学习要求
2.4 参数方程

? 了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。

? 理解直线的参数方程及其应用;理解圆和椭圆(椭
圆的中心在原点)的参数方程及其简单应用。

? 会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。

3.考点回顾
? 2012全国新课标卷:
已知曲线
?x=2cosφ ? C1 的参数方程是? ? ?y=3sinφ

(φ 为参数),以坐标原

点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极 坐标方程是 ρ=2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上, 且 A、 B、 π C、D 以逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2,3) (Ⅰ)求点 A、B、C、D 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2 的 取值范围.

3.考点回顾
(2013 全国新课标卷)已知曲线 C 的参数方程
1

x ? 4 ? 5cos t , 为? ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的 ? ? y ? 5 ? 5sin t

正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方
2

程为 ? ? 2sin? 。 (Ⅰ)把 C 的参数方程化为极坐标方程;
1

(Ⅱ)求 C 与 C 交点的极坐标( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 。
1 2

3.考点回顾
(2014 全国新课标卷)在直角坐标系 xOy 中,以 坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 半圆 C 的极坐标方程为 p=2cosθ,θ?[0, ?2 ]。 (I)求 C 的参数方程; (II)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l: y= 3 x+2 垂直,根据(I)中你得到的参数方程,确 定 D 的坐标。

3.考点回顾
(2015 全国新课标卷)在直角坐标系 xOy 中, 直线 C :x= ?2 ,圆 C :(x ?1) ? ( y ? 2) ? 1 , 以坐标原点为极点,x 轴
2 2
1 2

的正半轴为极轴建立极坐标系。 (1)求 C ,C2 的极坐标方程。
1

(2)若直线 C3 的极坐标为? = ?4 (ρ?R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△ C2MN 的面积

4.考点回顾
? 纵观近4年的全国新课标卷,不难发现对于 极坐标和参数方程的考查,题型均为解答 题,而且整题难度适中,得分相对容易。 题目基本设置为两问,第一问基本为参数 方程、普通方程、极坐标方程的互化;考 查极坐标系下的直线与圆的位置关系;第 二问基本在第一问的基础上,进行简单的 知识综合,难度一般都不大。

4.教学建议
4.1 坐标系的教学应着重让学生理解平面和空间中点的位置都 可以用有序数组(坐标)来刻画,在不同坐标系中,这些数 所体现的几何含义不同。同一几何图形的方程在不同坐标系

中具有不同的形式。因此,选择适当的坐标系可以使表示图
形的方程具有更方便的形式。在坐标系的教学中,可以引导 学生自己尝试建立坐标系,说明建立坐标系的原则,激励学

生的发散思维和创新思维,并通过具体实例说明这样建立坐
标系有哪些方便之处。

4.教学建议
4.2 教学中应通过具体例子让学生体会极坐标的多值性,但 是在表示点的极坐标时,如无特别要求,通常取ρ≥0 , 0≤θ<2π。极坐标方程与直角坐标方程的互化,主要 是极坐标方程化为直角坐标方程;参数方程与普通方 程的互化,主要是参数方程化为普通方程,并注意参

数的取值范围(在圆与椭圆的学习中,有心的老师已
做了渗透)。

4.教学建议
?4.3 求曲线的极坐标方程主要包括: ? 特殊位置的直线(如过极点的直线) ? 圆(过极点或圆心在极点的圆); ?4.4 求曲线的参数方程主要包括: ? 直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线的参 数方程,其中,圆和椭圆的参数方程应用较 为广泛,尤其求值域问题和最值问题。

4教学建议
x y ? 1. 椭圆 1 6 4
2 2

?1

上的点到直线 x ? 2 y ?
x2 y2 ? ?1 144 25

2 ?0

的最大距离

是 2.已知 P?x, y ?是椭圆 上的点,则 x ? y 的取值范 围是____________

4.教学建议
4.5 应通过对具体物理现象的分析(如抛物运 动的轨迹)引入参数方程,使学生了解参 数的几何意义,特别在圆的参数方程中, 应理解参数θ的几何意义,对于其他曲线 的参数方程,一般不再强调参数的几何 意义。 4.6 应注意鼓励学生运用已有的平面向量、 三角函数等知识,选择适当的参数建立 曲线的参数方程。

4.教学建议
4.7高考中该部分的试题是综合性的,题目中既有极坐标的问题,也有参 数方程的问题,考生既可以通过极坐标解决,也可以通过直角坐 标解决,但大多数情况下,把极坐标问题转化为直角坐标问题,

把参数方程转化为普通方程更有利于在一个熟悉的环境下解决问
题。要重视把极坐标问题化为直角坐标问题,把参数方程化为普 通方程的意识的形成,这样可以减少由于对极坐标和参数方程理

解不到位而造成的错误。


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