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元旦综测周练几何综合(二)参考答案


初中元旦综测周周练

八年级数学

第二周

参考答案与试题解析
【题 1 分析】 【解答】 (1)根据题意得:a﹣2=0 且 b﹣2=0,解得:a=2,b=2,则 A 的坐标是(2,2) ; (2)AC=CD,且 AC⊥CD.如图 1,连接 OC,CD, ∵A 的坐标是(2,2) , ∴ AB=OB=2, ∴

△ AOB 为等腰直角三角形 在△ ABO 和△ ACD 中,

? AB ? AC ? ??OAB ? ?DAC ? AO ? AD ?

∴ △ ABO≌△ ACD(SAS) ∴ △ACD 为等腰直角三角形

故 AC=CD,且 AC⊥CD. (3)不变. 延长 GA 至点 M,使 AM=OF,连接 BM, 在△ BAM 与△ BOF 中, , ∴ △ BAM≌△BOF(SAS) , ∴∠ABM=∠OBF,BF=BM, ∵∠OBF+∠ABG=90°﹣∠FBG=45°, ∴ ∠MBG=45°, 在△ FBG 与△ MBG 中, , ∴ △ FBG≌△MBG(SAS) , ∴ FG=GM=AG+OF ,



OF ? AG ? 1 FG

【点评】 本题考查的是全等三角形的判定与性质, 涉及到非负数的性质及等边三角形的性质 等知识,难度适中. 【题 2 分析】 【解答】解: (1)∵ a、b 满足 +|4﹣b|=0, ∴ a﹣4=0,4﹣b=0,

则 a=4,b=4,∴ A、B 两点的坐标分别是:A(4,0)点 B(0,4) ; (2)如图 1,作 BE⊥ CO 于于 E, ∴ ∠ BEC=∠ BEO=90°. ∵A(4,0) ,B(0,4) , ∴OA=OB=4. ∵AD⊥OC, ∴∠AFO=90°, ∴∠AOF+∠OAF=90°.∴∠BEO=∠OFA. ∵∠BOE+∠AOE=90°, ∴∠BOE=∠OAF. 在△ BEO 和△ OFA 中, , ∴△BEO≌△OFA(AAS) , ∴BE=OF,OE=AF.

∵∠OCB=45°, ∴∠EBC=45°, ∴∠EBC=∠BCE, ∴BE=CE.∴OF=CE, ∴OF+EF=CE+EF , ∴OE=CF, ∴AF=CF; (3)如图 2,作 EF⊥x 轴于 F, ∴∠EFA=∠EFG=90°. ∴∠FEA+∠FAE=90°. ∵AE⊥AD, ∴∠DAE=90°, ∴∠DAO=∠AEF. 在△ AOD 和△ EFA 中, , ∴△AOD≌△EFA(AAS) . ∴BO=EF.

∴AO=EF,OD=AF. 在△ BOG 和△ EFG 中 , ∵D(0,1) ,

∴△BOG≌△EFG(AAS) , ∴OG=FG. ∴AF=1, ∴OF=3,

∴OD=1,

∴ OG=1.5. ∴ G(1.5,0) 【点评】考查了非负数的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,等腰直角三角形的 性质的运用,坐标与图形的性质的运用,解答时证明三角形全等是关键. 【题 3 分析】 【解答】 (1)证明:把△ DBM 绕点 D 逆时针旋转 120°得到△ DAQ, 则 DM=DQ,AQ=BM,∠ADQ=∠ BDM, ∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ ADN=∠ ABD﹣∠ MDN=120°﹣60°=60°, ∴∠QDN=∠MDN=60°, ∵在△ MND 和△ QND 中, , ∴△MND≌△QND(SAS) , ∴MN=QN, ∵QN=AQ+AN=BM+AN, ∴BM+AN=MN; (2)MN+AN=BM. 理由如下:如图,把△ DAN 绕点 D 顺时针旋转 120°得到△ DBP, 则 DN=DP,AN=BP, ∵∠DAN=∠DBP=90°, ∴点 P 在 BM 上, ∵∠MDP=∠ADB﹣∠ADM﹣∠ BDP=120°﹣∠ ADM﹣∠ ADN=120°﹣ ∠MDN=120°-60°=60°, ∴∠MDP=∠MDN=60°, ∵在△ MND 和△ MPD 中, , ∴△MND≌△MPD(SAS) , ∴MN=MP,

∵BM=MP+BP, ∴ MN+AN=BM; (3)如图,过点 M 作 MH∥AC 交 AB 于 G,交 DN 于 H,

∵△ABC 是等边三角形, ∴△BMG 是等边三角形, ∴BM=MG=BG, 根据(1)△ MND≌△QND 可得∠QND=∠MND, 根据 MH∥AC 可得∠QND=∠MHN, ∴∠MND=∠MHN, ∴MN=MH, ∴GH=MH﹣MG=MN﹣BM=AN, 即 AN=GH, ∵在△ ANE 和△ GHE 中, , ∴△ANE≌△GHE(AAS) , ∴AB=AC=5,

∴AE=EG=1, ∵AC=5, ∴BM=BG=3.

∴BG=AB﹣AE ﹣EG=5﹣1﹣1=3, 【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质, 根据等边三角形的性质, 旋转变换的性质作辅助线构造全等三角形是解题的关键, (3) 作平行线并求出 AN=GH 是解 题的关键,也是本题的难点. 【题 4 分析】 证明: (1)① 正方形 ADEF 中,AD=AF, ∵∠BAC=∠DAF=90°, ∴∠BAD=∠CAF, 又∵AB=AC, ∴△DAB≌△FAC, ∴CF=BD,∠B=∠ACF, ∴∠ACB+∠ACF=90°,即 CF⊥BD. ②当点 D 在 BC 的延长线上时①的结论仍成立. 由正方形 ADEF 得 AD=AF,∠DAF=90 度. ∵∠BAC=90°, ∴∠DAF=∠BAC, ∴∠DAB=∠FAC, 又∵AB=AC, ∴△DAB≌△FAC,∴CF=BD,∠ ACF=∠ABD. ∵∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠ABC=45°, ∴∠ACF=45°, ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90 度. 即 CF⊥BD. (2)当∠ACB=45°时,CF⊥BD(如图) . 理由:过点 A 作 AG⊥AC 交 CB 的延长线于点 G, 则∠GAC=90°, ∵∠ACB=45°,∠AGC=90°﹣∠ACB, ∴∠AGC=90°﹣45°=45°, ∴∠ACB=∠AGC=45°, ∴AC=AG, ∵∠DAG=∠FAC(同角的余角相等) ,AD=AF, ∴△GAD≌△CAF, ∴∠ACF=∠AGC=45°, ∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,即 CF⊥BC. 【题 5 分析】 【解答】 (1)解:如图 2,延长 AC 至 E,使 CE=BM,连接 DE, ∵BD=CD,且∠BDC=120°, ∴∠DBC=∠DCB=30°, 又∵△ABC 是等边三角形, ∴∠MBD=∠NCD=90°, 在△ MBD 与△ ECD 中,



∴△MBD≌△ECD(SAS) .

∴DM=DE,∠BDM=∠CDE. ∴∠EDN=∠BDC﹣∠MDN=60°. 在△ MDN 与△ EDN 中, , ∴△MDN≌△EDN(SAS) ,

∴MN=NE=NC+BM, ∵△AMN 的周长 Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NC+BM)=( AM+BM)+( AN+NC) =AB+AC=2AB, 等边△ ABC 的周长 L=3AB=9,即 AB=3,则 Q=6; (2)解:如图,BM、NC、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN. 此时 = ; (3)猜想: (2)中的结论仍然成立, 证明:如图,延长 AC 至 E,使 CE=BM,连接 DE, ∵BD=CD,且∠BDC=120°, ∴∠DBC=∠DCB=30°, 又∵△ABC 是等边三角形, ∴∠MBD=∠NCD=90°, 在△ MBD 与△ ECD 中, , ∴△MBD≌△ECD(SAS) . ∴DM=DE,∠BDM=∠CDE. ∴∠EDN=∠BDC﹣∠MDN=60°. 在△ MDN 与△ EDN 中, , ∴△MDN≌△EDN(SAS) , ∴MN=NE=NC+BM, ∵△AMN 的周长 Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NC+BM)=( AM+BM)+( AN+NC) =AB+AC=2AB, 等边△ ABC 的周长 L=3AB, ∴ = .

【点评】 此题考查了三角形全等的判定及性质, 题目中线段的转换都是根据全等三角形来实 现的, 当题中没有明显的全等三角形时, 我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求 条件相关的全等三角形,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.


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