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【数学】3.3.1《几何概型》课件(人教B版必修3)


3.3.1 几何概型

我们知道古典概型只有在满足“有限性” 和“等可能性”两个性质的前提下才能适 用,那么对于试验结果有无穷多个的情形 该怎样处理呢? 例1.在转盘上有8个面积相 等的扇形,转动转盘,求 转盘停止转动时指针落在 阴影部分的概率。

我们知道古典概型只有在满足“有限性” 和“等可能性”两个性质的前提下才能适 用,那么对于

试验结果有无穷多个的情形 该怎样处理呢? 例1.在转盘上有8个面积相 等的扇形,转动转盘,求 转盘停止转动时指针落在 阴影部分的概率。

例2. 在500ml的水中有一只草履虫,现从 中随机取出2ml水样放到显微镜下观察, 求发现草履虫的概率。 以上两个试验的可能结果个数无限,所 以它们都不是古典概型。
先看例1,由经验得知“指针落在阴影部 分的概率”可以用阴影部分的面积与总面 1 积之比来衡量,即P(A)=
2

同样地,例2中由于取水样的随机性,
所求事件A:“在取出的2ml的水样中有

草履虫”的概率等于水样的体积与总体
2 积之比? 0.004 500

总之,这两个试验的共同点是: 如果把事件A理解为区域Ω的某一个子 区域A,A的概率只与子区域A的几何度量 (长度、面积或体积)成正比,而与A的 位置和形状无关,则称满足以上条件的试 验为几何概型 .

Ω

A

在几何概型中,事件A的概率定义为:
?A P( A) ? ??

其中μΩ表示区域Ω的几何度量,μA表示子 区域A的几何度量 .

几何概型具有两个特点:
一是无限性:在一次试验中,基本事件的

个数必须是无数个;
二是等可能性:在试验中,每一个基本事 件发生的可能性是均等的。

例3.随机事件A:“从正整数中任取两个数, 其和为偶数”是否为几何概型。 解:尽管这里事件满足几何概型的两个特 点:有无限多个基本事件,且每个基本事

件的出现是等可能的,但它不满足几何概
型的基本特征——能进行几何度量。所以

事件A不是几何概型。

例4. 一海豚在水池中自由游弋,水池为长 30 m,宽20 m的长方形,求此刻海豚嘴尖 离岸边不超过2 m的概率.
解:对于几何概型,关键 是要构造出随机事件对应 的几何图形,利用图形的 20m 几何度量来求随机事件的 概率. 如图,区域Ω是长30 m、宽20 m的长方形.
30m

2m

图中阴影部分表示事件A:“海豚嘴尖 离岸边不超过2 m”,问题可以理解为求 海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率. 由于区域Ω的面积为30×20=600(m2), 阴影A的面积为30×20-26×16=184(m2).
? A 184 23 ? ? ∴P(A)= ≈0.31. ?? 600 75

例5.平面上画了一些彼此相距2a的平行线, 把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面 上,求硬币不与任一条平行线相碰的概 率. M 解:记事件A:“硬币不 与任一条平行线相碰”. r O 为了确定硬币的位置,由 2a 硬币中心O向靠得最近的 平行线引垂线OM,垂足 为 M,

参看图,这样线段OM长度(记作|OM|) 硬币不与平行线相碰, 所以P(A)=
(r , a]的长度 a ? r ? [0, a]的长度 a

的取值范围是[0,a],只有当r<|OM|≤a时,

例6.某人午觉醒来,发现表停了,他打 开收音机,想听电台报时,求他等待的 时间不多于10分钟的概率. 解:设A={等待的时间不多于10分钟},我 们所关心的事件A恰好是打开收音机的时 刻位于[50,60]时间段内,因此由几何概 型的求概率的公式得
60 ? 50 1 ? P(A)= 60 6

例7. 假设你家订了一份报纸,送报人在 早上6:30至7:30之间把报纸送到你家, 你父亲离开家去工作的时间在早上7:00 至8:00之间,问你父亲在离开家前能得 到报纸(称为事件A)的概率是多少? 解:这里涉及到两个变量,把送报人的时 间设为x变量,父亲上班的时间设为y变量, 于是得到数对(x,y),表示某一天两个变 量之间的关系。

总的情况是Ω={(x,y)| 6.5≤x≤7.5, 7≤y≤8}. 事件A满足的条件是 A={(x,y)| y≤x, x∈Ω, y∈Ω}. 在直角坐标系中画出图形。

总的情况是Ω={(x,y)| 6.5≤x≤7.5, 7≤y≤8}. 事件A满足的条件是 A={(x,y)| y≥x, x∈Ω, y∈Ω}. 在直角坐标系中画出图形。

Ω表示的是矩形面积1,
A表示的是阴影部分面积
7 所以P(A)= 8

y 8 7.5 7 6.5 x 6.5 7 7.5 8 y≥x

例8. 如图,在直角坐标系内,射线OT落 在60°角的终边上,任作一条射线OA, 求射线OA落在XOT内的概率. 解:以O为起点作射线OA 是随机的,因而射线OA落 在任何位置都是等可能的。 落在∠XOT内的概率只与 ∠XOA的大小有关,符合 几何概型的条件。

记事件A={射线OA落在∠XOT内}. 因为∠XOT=60°, 所以P(A)=
60 1 ? 360 6

1、在线段[0,3]上任取一点,则此点坐标小于1 的概率是:( A ) A:1/3 B:1/2 C:2/3 D:2/9 2、在直角坐标系内,射线OT落在60°的终边上, 任作一条射线OA,则射线OA落在∠XOT内的概率 角度 是( D ) A:1/3 B:1/4 C:1/5 D:1/6 3、如果在一个1万平方公里的海域里有表面积 达40平方公里的大陆架贮藏着石油,假如在这海 领域里随意选定一点钻探,问钻到石油的概率是 ( C ) 面积 A:1/40 B:1/25 C:1/250 D:1/500
处理学案出错较多的问题

当堂达标

长度

1、某人一觉醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台 整点报时,则他等待的时间不长于10分钟的概率是 . 2、在长为10cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为 2 cm 边作正方形,则正方形的面积介于36 与81cm2 之间的 概率是 . A 0.5 B 0.4 C 0.3 D 0.2 3、在面积为9的△ABC中内任投一点P,那么△PBC的面 积小于3的概率是 。 4、桌面上有一些相距4cm的平行线,把一枚半径为1cm 的硬币任意掷在这个平面上,则硬币不与任一条平行线 相交的概率是( ) A 1/4 B 1/2 C1/3 D 3/4 5、设A为圆周上一点,在圆周上等可能取点,与A连结, 则弦长不超过半径的概率为( )。 A 1/8 B 1/4 C 1/3 D 1/2

(会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某 地会面,先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间 内的各时刻到达是等可能的,且二人互不影响。求二人能 会面的概率。

解: 以 X , Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻, 于是 0 ? X ? 5, 0 ? Y ? 5. y
即 点 M 落在图中的阴影部 分.所有的点构成一个正 方形,即有无穷多个结果. 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的,所以落在正 方形内各点是等可能的.
5 4 3 2 1

.M(X,Y)

0

1

2 3 4

5 x

二人会面的条件是: | X

? Y |? 1,
y
5 4 3 2 1

记“两人会面”为事件A

y=x+1
y=x -1

阴影部分的面积 P(A)? 正方形的面积 1 2 25 ? 2 ? ? 4 9 2 ? ? 25 25.

0

1

2 3 4

5 x


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