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福建省连江一中2014-2015学年高二上学期期中考试适应性考试(一)数学试题含答案


连江一中 2014—2015 学年第一学期期中考试适应性练习(一)
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求) 1、设 M ? 2a(a ? 2), N ? (a ? 1)(a ? 3), 则有( ) A. M ? N B. M ? N (等号定能取到) C. M ? N D. M ? N (等号定能取到) 2、在等差数列

{an } 中, a3 ? a9 ? 27 ? a6 , Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和,则 S11 ? ( A. 18 B. 99 C. 198 3、若 a, b, c 为实数,则下列命题正确的是( )
2 2 A.若 a ? b ,则 ac ? bc

)

D. 297

B.若 a ? b ? 0 , 则

1 1 ? a b

C.若 a ? b ? 0 , 则

b a ? a b

2 2 D.若 a ? b ? 0 ,则 a ? ab ? b

4、知点(3,1)和(-4,6)在直线 3x-2y+a=0 两侧,则 a 的取值范围是( A.a<-7 或 a>24 B.a=7 或 a=24 C.-7<a<24 D.-24<a<7



5、已知 ?ABC 满足 sin C ? 2 cos B sin A ,则 ?ABC 的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形 6、记等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,若 S3=2,S6=18,则 A. ?3 B. 5 C. ? 31 7、符合下列条件的三角形有且只有一个的是( )

S10 等于( S5
D.33



A. a=1,b=2 ,c=3 B. a=1,b= 2 ,∠A=30° C. a=1,b=2,∠A=100° D. b=c=1, ∠B=45 8、北京 2008 年第 29 届奥运会开幕式上举行升旗仪式,在坡度 15°的看台上,同一列上的第 一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°,第一排和最后一排的距离为 10 6 米(如图所 示) ,则旗杆的高度为( ) A. 10 米 B. 30 米 C. 10 3 米 D. 10 6 米

?x ? 0 ?y ? 0 ? 9、若不等式组 ? 表示的平面区域是一个 ? y ? 2x ? 4 ? ?y ? x ? s 三角形,则 s 的取值范围是 ( ) A.0< s ≤2 或 s ≥4 B.0< s ≤2 C.2≤ s ≤4

D. s ≥4 10、某人为了观看 2010 年南非足球世界杯,从 2006 年起,每年的 5 月 1 日到银行存入 a 元的 定期储蓄,若年利率为 p 且保持不变,并约定每年到期,存款的本息均自动转为新的一年的定期, 到 2010 年的 5 月 1 日将所有存款及利息全部取出,则可取出钱(元)的总数为( ) 4 5 A. a(1+p) B.a(1+p) C.

a [(1 ? p) 4 ? (1 ? p)] p

D.

a [(1 ? p) 5 ? (1 ? p)] p

11、等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ,若

Sn a 2n ? ,则 n =( Tn 3n ? 1 bn



-1-

A.

2 3

B.

2n ? 1 3n ? 1

C.

2n ? 1 3n ? 1

D.

2n ? 1 3n ? 4

12、已知各项均不为零的数列 {an } ,定义向量 cn ? (an , an?1 ) , bn ? (n, n ? 1) , n ? N * . 下列命题中为真命题的是 ( )

A.若 ?n ? N * 总有 cn / / bn 成立,则数列 {an } 是等差数列 B.若 ?n ? N * 总有 cn / / bn 成立,则数列 {an } 是等比数列 C.若 ?n ? N * 总有 cn ? bn 成立,则数列 {an } 是等差数列 D.若 ?n ? N * 总有 cn ? bn 成立,则数列 {an } 是等比数列 二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分) 13、一艘船以 20n mile/h 的速度向正北方向航行,船在 A 处看见灯塔 B 在船的东北方向,1 0 小时后船在 C 处看见灯塔 B 在船的北偏东 75 的方向上,这时船与灯塔的距离 BC 为 ______n mile 14、已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? ?n 2 ? 1,则通项 an ? _________________. 15、设 x ? 0, y ? 0 , 且

1 4 ? ? 1 ,则 x ? y 的最小值为_______. x y
2 2

16、关于 x 的不等式 ax ? 4 x ? 1 ? ?2 x ? a 恒成立,则实数 a 的取值范围是 三.解答题: (共 6 题,要求写出解答过程或者推理步骤)



17、(本题满分 12 分)已知△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=2, cosB= (1)若 b=4,求 sinA 的值; (2) 若△ABC 的面积 S△ABC=4,求 b,c 的值.

3 . 5

2 18、(本题满分 12 分)已知不等式 mx ? nx ?

1 1 ? 0 的解为 {x | x ? ? 或 x ? 2} m 2

(1) 求 m, n 的值; (2)解关于 x 的不等式: (2a ? 1 ? x)( x ? m) ? 0 ,其中 a 是实数。

-2-

19、 (本题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足: S n ? 1 ? an (n ? N * ) ,其中 S n 为数列 {an } 的前

n 项和.(1)试求 {an } 的通项公式; n (2)若数列 {bn } 满足: bn ? (n ? N * ) ,试求 {bn } 的前 n 项和 Tn . an

20、(本题满分 12 分) 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱 1 吨需耗一级子棉 2 吨、二级子棉 1 吨;生产乙种棉纱需耗一级子棉 1 吨、二级子棉 2 吨,每 1 吨甲种棉纱的利 润是 600 元,每 1 吨乙种棉纱的利润是 900 元,工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一 级子棉不超过 300 吨、二级子棉不超过 250 吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨),能 使利润总额最大?

21、 (本题满分 12 分)某企业 2012 年初用 72 万元购进一台设备,并立即投入生产使用,计 划第一年维修、保养费用 12 万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加 4 万元,该设备使用后,每年的总收入为 50 万元,设使用 n 年后该设备的盈利额为 f ( n) 万元。 (1)写出 f ( n) 的表达式; (2)求从第几年开始,该设备开始盈利; (3)使用若干年后,对 该设备的处理方案有两种:方案一:年平均盈利额达到最大值时,以 48 万元价格处理该设备; 方案二:当盈利额达到最大值时,以 16 万元价格处理该设备。问用哪种方案处理较为合理? 请说明理由.

-3-

22、 (本题满分 14 分) 若数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列, 公差为 d ,Sn 为其前 n 项和,
2 且满足 an ? S2n?1 , n ? N* .数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和. an ? an ?1

(1)求 a1 、 d 和 Tn ; (2)若对任意的 n ? N* ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,求实数 ? 的取值范围; (3) 是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) , 使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在, 求出所有 m, n 的 值;若不存在,请说明理由.

连江一中 2014—2015 学年第一学期期中考试适应性练习(一)参考答案
一、选择题: 1-12: A B D C A; 二、填空题: 13、 20 2 三.解答题: 14、 an ? { D D B A D; B A 15、9 16、 (??, ?3]

0 n ?1 ?2n ? 1 n ? 2

3 >0,且 0<B<π , 5 4 2 ∴sinB= 1 ? cos B ? . 5 a b ? 由正弦定理得 , sinA sinB 4 2? asinB 5 ?2. sinA ? ? b 4 5 1 1 4 (2) ∵S△ABC= acsinB=4, ∴ ? 2 ? c ? ? 4 , ∴c=5. 2 2 5
17、(1) ∵cosB= 由余弦定理得 b =a +c -2accosB,
-42 2 2

∴ b ? a + c ? 2accosB ?
2 2

22 + 52 ? 2 ? 2 ? 5 ?

3 ? 17 5

? ?m ? 0 ? n ? 1 18、解:(1)依题意 ? ? ? 2 ? ? m ? 2 1 ? 1 ? ?2 ? ? 2 ? m ? 2

得 m ? ?1, n ?

3 2

(2)原不等式为 (2a ? 1 ? x)( x ? 1) ? 0 即 [ x ? (2a ? 1)]( x ? 1) ? 0 (1)当 2 a ? 1 ? 1 即 a ? 1 时,原不等式的解集为{x| 2a ? 1 ? x ? 1 }; (2)当 2 a ? 1 ? 1 即 a ? 1 时,原不等式的解集为 ? ; (3)当 2 a ? 1 ? 1 即 a ? 1 时,原不等式的解集为{x| 1 ? x ? 2a ? 1 }; 综上所述: (1)当 a ? 1 时,原不等式的解集为{x| 2a ? 1 ? x ? 1 }; (2)当 a ? 1 时,原不等 式的解集为 ? ; (3)当 a ? 1 时,原不等式的解集为{x| 1 ? x ? 2a ? 1 }; 19、解: (Ⅰ)? S n ? 1 ? an ②-①得 an?1 ? ?an?1 ? an ①

? S n?1 ? 1 ? an?1



? a n ?1 ?
1 2

又 n ? 1 时, a1 ? 1 ? a1 ? a1 ? (Ⅱ) bn ?

1 a n , (n ? N * ) 2 1 1 1 ? a n ? ? ( ) n ?1 ? ( ) n , (n ? N * ) 2 2 2

n ? n ? 2 n , (n ? N * ) an


?Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n

? 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? n ? 2n?1 ④
? Tn ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? n ? 2 n ?1
③-④得

?

2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 1? 2
n?1

整理得: Tn ? (n ? 1)2

? 2, n ? N *
y

20、解:设生产甲、乙两种棉纱分别为 x 吨、y 吨,利润总额为 z 元,

2x+y=300

-550 50 x+2y=250 x

?2 x ? y ? 300 ? x ? 2 y ? 250 那么 ? ? ?x ? 0 ? ?y ? 0
z=600x+900y. 作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域(如图)。 设直线 l :600x+900y=z,即 l : y ? ?

2 z 2 z x? ,这是斜率为 ? ,在 y 轴上截距为 的一族 3 900 3 900

平行移直线,由图知当 l 过 M 点时,目标函数 Z 取得最大值. 解方程组 ?

; 350 200 ?2 x ? y ? 300  得 M 的坐标为 x= ≈117,y= ≈67. 3 3 ? x ? 2 y ? 250

答:应生产甲种棉纱 117 吨,乙种棉纱 67 吨,能使利润总额达到最大.

21、解: (1)由题意得:

n(n ? 1) 4] ? ?2n 2 ? 40n ? 72( n ? N ? ) . 2 2 2 (2)由 f (n) ? 0 得: ?2n ? 40n ? 72 ? 0 即 n ? 20n ? 36 ? 0 ,解得 2 ? n ? 8 , f (n) ? 50n ? 72 ? [12n ?
由 n ? N 知,从第三年开始盈利 (3)方案①:年平均纯利润
?

f (n) 36 =40-2(n+ )≤16,当且仅当 n=6 时等号成立. n n

故方案①共获利 6×16+48=144(万元),此时 n=6. 方案②:f(n)=-2(n-10) +128.当 n=10 时,f(n)max=128. 故方案②共获利 128+16=144(万元). 比较两种方案,获利都是 144 万元,但由于第①种方案只需 6 年,而第②种方案需 10 年,故 选择第①种方案更合算.
2 22、解: (1) (法一)在 an ? S2n?1 中,令 n ? 1 , n ? 2 ,
2

2 ? ?a1 ? S1 , 得? 2 ? ?a 2 ? S 3 ,

即?

2 ? ?a1 ? a1 , 解得 a1 ? 1 , d ? 2 ,? an ? 2n ? 1 . 2 ? ( a ? d ) ? 3 a ? 3 d , 1 ? 1

bn ?
?Tn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
? 1 1 n ? )? . 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 (1 ? ? ? ? 2 3 3 5

-6-

(法二)? ?an ? 是等差数列, ?

a1 ? a 2 n ?1 ? an 2

? S 2 n ?1 ?


a1 ? a 2 n ?1 2 2 (2n ? 1) ? (2n ? 1)an .由 an ? S2n?1 ,得 an ? (2n ? 1)an , 2

an ? 0 ,? an ? 2n ? 1 ,则 a1 ? 1, d ? 2 .( Tn 求法同法一)

(2)①当 n 为偶数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,即需不等式

??

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 17 恒成立. n n 8 2n ? ? 8 ,等号在 n ? 2 时取得.? 此时 ? 需满足 ? ? 25 . n

②当 n 为奇数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立, 即需不等式 ? ?

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 15 恒成立. n n 8 8 2n ? 是随 n 的增大而增大, ? n ? 1 时 2n ? 取得最小值 ?6 . n n 1 m n , Tm ? , Tn ? , 3 2m ? 1 2n ? 1

? 此时 ? 需满足 ? ? ?21 .综合①、②可得 ? 的取值范围是 ? ? ?21 .
(3) T1 ?

若 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则 (

m2 n m 2 1 n ) ? ( ) ,即 ? . 2 2m ? 1 3 2n ? 1 4m ? 4m ? 1 6n ? 3
可得

(法一)由

m2 n ? , 2 4m ? 4m ? 1 6n ? 3

3 ?2m2 ? 4m ? 1 ? ? 0, n m2

2 即 ?2m ? 4m ? 1 ? 0 ,? 1 ?

6 6 . ? m ? 1? 2 2

又 m ? N ,且 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 . 因此,当且仅当 m ? 2 , n ? 12 时,数列 ? Tn ?中的 T1 , Tm , Tn 成等比数列.

(法二)因为

m2 1 n 1 1 ? ,即 2m2 ? 4m ? 1 ? 0 , ? ? ,故 2 4m ? 4m ? 1 6 6n ? 3 6 ? 3 6 n

? 1?

6 6 , (以下同上) . ? m ? 1? 2 2

-7-


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