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重庆市万州第三中学2013-2014学年高二上学期第一次月考数学


重庆市万州第三中学高二上学期第一次月考

数学
试卷共 4 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米

黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。

第Ⅰ卷

选择题(共 50 分)

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 。 1.用一个平面去截一个几何体,得到的截面是四边形,这个几何体可能是( ) A.圆锥 B.圆柱 C.球体 D.以上都有可能 2.已知 m, n 为异面直线, m ? 平面? , n ? 平面? , ? ? ? ? l , 则l ( A.与 m, n 都相交 C.与 m, n 都不相交 B. 至多与 m, n 中的一条相交 D. 与 m, n 中至少一条相交 ) D. 2? )

3.已知一个圆柱底面直径和母线长均为 4,则该圆柱的体积为 ( A. 16? B. 8? C. 4?

4.一个三角形用斜二测画法所作的直观图是一个边长为 2 的正三角形,则原三角形的面积为 ( ) A. 6 B.

3

C. 2 6

D. 2 3

5.在空间四边形 ABCD 中, AD=BC=2,E、F 分别是 AB、CD 的中点,且 EF= AD 和 BC 所成的角等于( )

3 ,则异面直线

A.45?

B.60?

C.90?

D.120?

6.长方体中同一顶点的三条棱棱长分别是 1, 2, 6 ,这个长方体的顶点在同一个球面上,则这 个球的体积为( A. 972? ) B. 36? C.

9 ? 2

D. 3? )

7.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( A. 9? B. 10? C. 11? D. 12?

2 3 2 2 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 8.有一根高为 3? ,底面半径为 1 的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕 2 圈,并使铁丝的两 个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为( A. 2 13? B. 5? C. 13? ) D. 2? )

9.一个四面体所有棱长都是 2,四个顶点在同一球面上,则此球表面积为( A. 3? B. 4? C. 3 3? D. 6?

10.正方体 A1B1C1D1﹣ABCD 中,E 是 A1A 的中点、F 是 C1C 的中点,与直线 A1D1,EF,DC 都 相交的空间直线有多少条?( ) A.无数条 1B条 C. 2 条 D. 3 条 .

第Ⅱ卷

非选择题(共 100 分)

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填写在答题卡相应位置上) 。 11.与正方体各面都相切的球,它的表面积与正方体的表面积之比为 12.圆台的上下底面半径和高的比为 1:4:4,母线长为 10,则其表面积为 13.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=900,AA1=2,AC=BC=1,则异面直线 A1B 与 AC 所成 角的余弦值为 14. 已知异面直线 a、b 所成的角为 60 0 , 为空间一点, P 则在空间中过 P 点且与直线 a、b 所 成的角为 60 0 的直线有且仅有 条.

15.如图是正四面体的平面展开图,G、H、M、N 分别为 DE、BE、EF、EC 的中点, 在这个正四面体中, ①GH 与 EF 平行;②BD 与 MN 为异面直线; ③GH 与 MN 成 60° 角;④DE 与 MN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 。 16.(本小题满分 13 分) 如图 ABCD 是直角梯形, 以上底边 CD 为轴将梯形旋转一周, 得到一个 旋转体,求它的表面积和体积.

17. (本小题满分 13 分) 已知半径为 10 的球的两个平行截面的周长分别为 12π 和 16π,求这 两个截面间的距离.

18.(本小题满分 13 分)已知 AB、CD 是夹在平行平面 ?、? 间的异面线段,A,C∈ ? ,B,D ∈ ? ,且 AC=6,BD=8,AB=CD=10,AB 和 CD 成 60°角。求异面直线 AC 和 BD 所成的角.(提示:夹在两个平行平面间的平行线段相等)

19. (本小题满分 12 分) 已知正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6 ,其内有一个球和该三棱 锥的四个面都相切,求: (1)棱锥的体积; (2)球的半径 R.

20.(本小题满分 12 分) .如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 为正方形 ABCD 的 中心,H 为直线 B1D 与平面 ACD1 的交点.求证:D1、H、O 三点共线.

21. (本小题满分 12 分)已知平面 ? // ? , AB、CD 为异面线段, AB ? ?,CD ? ? 且 平面 且平面 ? 与 AC、 AB ? a,CD ? b ,AB 与 CD 所成的角为 ? , ? ∥面? , BC、 BD、AD 分别相交于点 M、N、P、Q . (提示:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行) (1) 若 a=b ,求截面四边形 MNPQ 的周长; (2) 求截面四边形 MNPQ 的面积的最大值.
A B M N P C D

?

?
Q

?

重庆市万州第三中学高二上学期第一次月考数学答案
一、BDACB 二、11: CDBDA 12:

? 6

168?

13:

6 6

14:

3

15: ②③④

三、16.解:由题意知,该几何体是一个底面半径为 3,高为 AB=6 的圆柱,挖去一个同底, 但高为 3 的圆锥。所以,

1 V =V圆柱 -V圆锥 =? r 2 ? AB ? ? r 2 ? ? AB ? CD ? 3 1 ? ? 32 ? 6 ? ? 32 ? ? 6 ? 3? ? 45? 3
S表 =S圆柱表 -S上底 +S圆锥侧 = ? 2? r ? AB ? 2? r 2 ? ? ? r 2 ? ? r ? AD ? ? 2? ? 3 ? 6 ? 2? ? 32 ? ? ? ? 32 ? ? ? 3 ? 3 2 ? 45 ? 9 2 ?

?

?

C1 O 17. 解: 图 1 图2 C2

A1

A2

①当截面位于球心同侧时,如图 1 所示为球的轴截面,球的半径 R=10,由球的截面性质知,

AC1 / / A2C2且C1,C2 分别是两截面圆的圆心,则 OC1 ? AC1 , OC2 ? A2C2 ,因为圆 C1 的 1 1
周长是 16π,由 2π A1C1 =12π,得 A1C1 =6,同理,2π A2C2 =16π,得 A2C2 =8

在Rt?OA1C1中,R 2 ? OC12 ? A1C12 ? OC1 ? 8 在Rt?OA 2C 2中,R 2 ? OC 2 2 ? A 2C2 2 ? OC 2 ? 6
所以,两截面圆的距离 C1C2 =8-6=2 ②当截面位于球心异侧时,如图 2 所示的轴截面,则 C1C2 =8+6=14 所以,两个截面间的距离为 2 或 14. 18.解:过 C 作 CE∥AB 交 ? 于 E,连接 BE、DE……2 分 ∵CE∥AB ∴∠ECD 即为 AB 和 CD 成的角,则∠ECD=60°……6 分 又∵ ? // ? 且 CE∥AB

∴CE=AB,则四边形 ABEC 为平行四边形 ∴AC∥BE ∴∠DBE(或其补角)即为 AB 和 CD 成的角……10 分 易证:△CDE 为正三角形,则 DE=10 ∵AC=BE=6,BD=8 ∴∠DBE=90°即为所求。……12 分 1 3 19.解:(1)底面正三角形中心到一边的距离为 × ×2 6= 2, 3 2 则正棱锥侧面的斜高为 12+? 2?2= 3. 1 ∴S 侧=3× ×2 6× 3=9 2. 2 1 3 ∴S 表=S 侧+S 底=9 2+ × ×(2 6)2 2 2 =9 2+6 3.

1 1 3 V= Sh ? ? ? 2 6 3 3 4
(2)

?

?

2

?1 ? 2 3

法一,因为PH=1,取BC的中点E,连接HE、PE,则HE= 2,侧面的高PE = 3, 过O作OG⊥PE于点G,则△POG∽△PEH,且OG ? OH ? R, ? 1-R R ? , R ? 6 ? 2. ? 3 2 法二(等体积法)
设正三棱锥 P—ABC 的内切球球心为 O, 连接 OP、OA、OB、OC,而 O 点到三棱 锥的四个面的距离都为球的半径 r. ∴VP—ABC=VO—PAB+VO—PBC+VO—PAC+VO—ABC 1 1 = S 侧· S△ABC· r+ r 3 3 1 = S 表· r=(3 2+2 3)r. 3 又 VP—ABC=2 3, ∴(3 2+2 3)r=2 3, 2 3?3 2-2 3? 2 3 得 r= = 18-12 3 2+2 3 = 6-2. ∴S 内切球=4π( 6-2)2=(40-16 6)π 20. 证明 连接 BD,B1D1, 则 BD∩AC=O,

∵BB1 綊 DD1, ∴四边形 BB1D1D 为平行四边形, 又 H∈B1D, B1D?平面 BB1D1D, 则 H∈平面 BB1D1D, ∵平面 ACD1∩平面 BB1D1D=OD1, ∴H∈OD1. 即 D1、H、O 三点共线. 21.解:
A B M N P C D

?

?

Q

?


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