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成才之路·北师大版数学必修1-2.4.2


第二章

§4

第 2 课时

一、选择题 1.二次函数 y=-2(x+1)2+8 的最值情况是( A.最小值是 8,无最大值 B.最大值是-2,无最小值 C.最大值是 8,无最小值 D.最小值是-2,无最大值 [答案] C [解析] 因为二次函数开口向下,所以当 x=-1 时,函数有最大值 8,无最小值. 2.二次函

数 f(x)=ax2+bx+c 的顶点为(4,0),且过点(0,2),则 abc=( A.-6 1 C.- 4 [答案] C [解析] ∵f(x)图像过点(0,2),∴c=2. 8a-b2 b 又顶点为(4,0),∴- =4, =0. 2a 4a 1 1 解得:b=-1,a= ,∴abc=- . 8 4 3.函数 y=ax2+bx+3 在(-∞,-1]上是增加的,在[-1,+∞)上是减少的,则( A.b>0 且 a<0 C.b=2a>0 [答案] B b [解析] 由题意知 a<0,且- =-1, 2a ∴b=2a<0. 4.函数 f(x)=x2+2x+1,x∈[-2,2],则函数( A.有最小值 0,最大值 9 C.有最小值 2,最大值 9 [答案] A [解析] 由于 f(x)=x2+2x+1=(x+1)2, ) B.b=2a<0 D.a,b 的符号不定 ) B.11 1 D. 4 ) )

B.有最小值 2,最大值 5 D.有最小值 1,最大值 5

图像的对称轴是 x=-1, 所以 f(x)在 x=-1 处取得最小值且 f(-1)=0.又 f(-2)=1, f(2) =9. 因此函数的最大值等于 9. 5.某生产厂家生产总成本 y(万元)与产量 x(件)之间的解析式为 y=x2-85x,若每件产 品售价 25 万元,则该厂所获利润最大时生产的产品件数为( A.35 C.55 [答案] C [解析] 生产 x 台时,所获利润 f(x)=25x-y=-x2+110x=-(x-55)2+3 025. 所以当 x=55 时,f(x)取最大值,即该厂所获利润最大时生产的产品件数是 55. 6.二次函数 f(x)满足 f(2+x)=f(2-x),又 f(x)在[0,2]上是增函数,且 f(a)≥f(0),那么实 数 a 的取值范围是( A.[0,+∞) C.[0,4] [答案] C 2+x+2-x [解析] 此函数图像的对称轴为 x= =2,在[0,2]上递增,如图所示,正确答 2 案为 C. ) B.(-∞,-0] D.(-∞,0]∪[4,+∞) B.45 D.65 )

二、填空题 7.已知函数 f(x)=4x2-kx-8 在[2,10]上具有单调性,则实数 k 的取值范围是________. [答案] k≤16 或 k≥80 k [解析] 函数 f(x)的对称轴为 x= , 8 k k ∴ ≤2 或 ≥10, 8 8 ∴k≤16 或 k≥80. 8.已知抛物线 y=ax2 与直线 y=kx+1 交于两点,其中一点的坐标为(1,4),则另一交点 的坐标为________. 1 1 [答案] (- , ) 4 4
?y=4x2, ? [解析] 把(1,4)的坐标代入 y=ax2 与 y=kx+1 中得 a=4,k=3.所以由? , ? ?y=3x+1

?x=1, ? 解得? 或 ?y=4, ?

?x=-4, ? 1 ?y=4.

1

三、解答题 9.已知二次函数 f(x)=ax2+2x+c(a≠0)的图像与 y 轴交于点(0,1),且满足 f(-2+x)= f(-2-x)(x∈R). (1)求该二次函数的解析式; (2)已知函数在(t-1,+∞)上是增加的,求实数 t 的取值范围. [解析] (1)由函数 f(x)的图像与 y 轴交于点(0,1),知 c=1. ∵f(-2+x)=f(-2-x), 2 1 ∴函数 f(x)的对称轴 x=- =- =-2. 2a a 1 1 ∴a= .∴f(x)= x2+2x+1. 2 2 (2)∵函数 f(x)在(t-1,+∞)上是增加的, ∴t-1≥-2.∴t≥-1.

一、选择题 1.(2013· 浙江高考)已知 a,b,c∈R,函数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1),则( A.a>0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 [答案] A [解析] 由题意得 f(0)=c,f(4)=16a+4b+c=c, 即 16a+4b=0,4a+b=0,f(1)=a+b+c, 因为 f(4)>f(1),所以 a+b<0,a>0,故选 A. 2. 已知函数 f(x)=4x2-mx+5 在区间[-2, +∞)上是增函数, 则 f(1)的取值范围是( A.f(1)≥25 C.f(1)≤25 [答案] A m m [解析] f(x)=4x2-mx+5 在[ ,+∞)上是增加的,故[-2,+∞)?[ ,+∞), 8 8 m 即-2≥ ,∴m≤-16.∴f(1)=9-m≥25. 8 二、填空题 3.设函数 f(x)=4x2-(a+1)x+5 在[-1,+∞)上是增加的,在(-∞,-1]上是减少的, B.f(1)=25 D.f(1)>25 ) B.a<0,4a+b=0 D.a<0,2a+b=0 )

则 f(-1)=________. [答案] 1 a +1 [解析] ∵ =-1,∴a=-9. 8 ∴f(-1)=4×(-1)2+8×(-1)+5=1. 4.已知二次函数 y=-x2+2x+m 的部分图像如图所示,则关于 x 的一元二次方程-x2 +2x+m=0 的根为________.

[答案] 3 或-1 [解析] 由图像知 f(3)=0, ∴m=3. 由-x2+2x+3=0 得 x2-2x-3=0,∴x=3 或-1.

三、解答题 5.已知函数 f(x)=x2+2ax-3. (1)如果 f(a+1)-f(a)=9,求 a 的值; (2)问 a 为何值时,函数的最小值是-4? [解析] (1)∵f(a+1)-f(a)=(a+1)2+2a(a+1)-3-(a2+2a2-3)=4a+1=9,∴a=2. 4×1×?-3?-4a2 (2)∵由 =-4, 4 得 a2=1,∴a=± 1. 6.已知二次函数 f(x)的最小值为 1,且 f(0)=f(2)=3. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数 a 的取值范围; (3)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图像恒在 y=2x+2m+1 的图像上方,试确定实数 m 的取 值范围. [解析] (1)由 f(0)=f(2)知二次函数 f(x)的图像关于 x=1 对称,f(x)的最小值为 1, 故可设 f(x)=a(x-1)2+1, 因为 f(0)=3,得 a=2,故 f(x)=2x2-4x+3. 1 (2)要使函数不单调,则 2a<1<a+1,则 0<a< . 2 (3)由已知,即 2x2-4x+3>2x+2m+1,

化简得 x2-3x+1-m>0. 设 g(x)=x2-3x+1-m,则只要 g(x)min>0, 因为 x∈[-1,1]时,g(x)是减少的, 所以 g(x)min=g(1)=-1-m, 因此有-1-m>0,得 m<-1. 7.设 f(x)=x2+ax+3-a,且 f(x)在闭区间[-2,2]上恒取非负数,求 a 的取值范围. a a2 x+ ?2+3-a- , [解析] f(x)=? f(x)≥0 在 x∈[-2,2]恒成立的充分条件是 f(x)在 x∈[- ? 2? 4 2,2]上的最小值非负. a (1)当- <-2, 即 a>4 时, f(x)在[-2,2]上是增函数, 最小值为 f(-2)=7-3a, 由 7-3a≥0, 2 7 得 a≤ ,这与 a>4 矛盾,此时 a 不存在. 3 a a a2 - ?=3-a- ,3 (2)当-2≤- ≤2,即-4≤a≤4 时,f(x)在[-2,2]上的最小值为 f? ? 2? 2 4 a2 -a- ≥0?a2+4a-12≤0,∴-6≤a≤2. 4 结合-4≤a≤4,可知此时-4≤a≤2. a (3)当- >2,即 a<-4 时,f(x)在[-2,2]上是减函数,最小值为 f(2)=7+a,由 7+a≥0, 2 得 a≥-7. ∵a<-4,∴-7≤a<-4. 由(1)(2)(3)可知,a 的取值范围是[-7,2].


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