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双曲线(第1课时)


淮北实验高中 2012-2013 学年导学案
课题:双曲线及其标准方程
编码:数学选修 2-1 编制人:马广东 审核人:李德锋 小组: 姓名:

【学习目标】
1.了解双曲线的定义、焦点、焦距等基本概念. 2.了解双曲线的标准方程,能根据已知条件求出双曲线的基本量.

1.认真阅读课本第 78---80 页,

独立完 成导学案。 2.观察实验中不变 的量,试着用数学 符号表示。 3.你能类比椭圆的 定义,给出双曲线 定义吗? 4.双曲线定义中的 关键词有哪些? 5.若 2a ? F1 F2 时, 轨迹是什么?

【学法指导】 类比学习法 【新知探究】
1.问题引入 如果把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”, 那么动点的轨迹会怎样? 如图,取一条拉链,拉开一部分,再拉开的两边各取一点 分别固在点 F1 , F2 ,把笔尖放在拉链开口的咬合处 M,随着 拉链逐渐拉开或闭拢,笔尖 M 就画出一条曲线。那么在这 个过程中,动点 M 满足什么条件呢? __________________________________________________________________________ 如果交换两个点的位置便可以得到另一条曲线,那么此时动点 M 又满足什么条件呢? __________________________________________________________________________ 2.双曲线的定义:__________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 双曲线上任意一点满足的关系式:________________________________________; 3.双曲线的标准方程 (1)焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴

若 2a ? F1 F2 时, 轨 迹 是什么?

___________________________ _____________________________ (2)双曲线的标准方程和椭圆标准方程有何不同?

6.自己试着用推导 椭圆标准方程的方 法独立推导双曲线 的标准方程。 7.你能否根据双曲 线的标准方程判断 焦点的位置?

(3)双曲线中 a , b, c 有何关系?

【题型探究】
(一)双曲线标准方程的应用 【例 1】 (1)双曲线 5x2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 ( 6,0) 求实数 k 的值;

8.务必注意椭圆与 双曲线中 a,b,c 的关系是不同的。

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(2) 已知方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 m 的取值范围 ; 2 ? m m ?1

例 1 利用双曲线的 标准方程的特点, 列出参数满足的条 件。 例 2 分类讨论。

【例 2】 讨论方程

x2 y2 ? ? 1 表示何种圆锥曲线?它们有何共同特征? 25 ? k 9 ? k

(二)求双曲线标准方程 【例 3】 求适合下列条件的双曲线的标准方程式: (1)焦点在 x 轴上, a ? 4 , b ? 3 ; (2)焦点为 (0, ?6), (0, 6) ,且经过点 (2, ?5) ; (3) a ? 2 5 ,经过点 (2,?5) ,焦点在 y 轴; (4)过点 P (3,

15 16 ), Q (? ,5) 两点; 4 3

例 3 用待定系数法 求双曲线标准方程 的步骤: ①定位置 ②设方程 ③求参数 ④得方程

【例 4】 (1)点 A, B 的坐标分别是 ( ?5, 0) , (5, 0) ,直线 AM , BM 相交于点 M , 4 且它们斜率之积是 ,求点 M 的轨迹方程式,并说明点 M 轨迹的形状。 9 (2)已知点 M (?2,0), N (2,0) ,动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |? 2 2 , 求动点 P 的轨迹方程。

例4 (1) 用直接法求轨 迹方程的步骤: ①建系设点 ②列条件等式 ③等式坐标化 ④化简得方程 (2) 用定义法求轨 迹方程。

(三)双曲线定义的应用 【例 5】 x2 y 2 (1)已知双曲线 ? ? 1 的左支上一点 P 到左焦点的距离为 10 , 16 9 求点 P 到右焦点的距离? x2 y 2 (2)已知双曲线的方程 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,点 A, B 在双曲线的右支上, a b 且线段 A, B 经过双曲线的右焦点 F 2 , AB ? m , F1 为另一焦点,求 ?ABF 周长。 1

例 5 P 为双曲线上 一点则

PF1 ? PF2 ? 2a

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