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【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 第五章 数列 计时双基练33 数列的综合应用 文 北师大版


计时双基练三十三

数列的综合应用
2

A 组 基础必做 1.已知各项均不为 0 的等差数列{an},满足 2a3-a7+2a11=0,数列{bn}是等比数列, 且 b7=a7,则 b6b8=( A.2 C.8 ) B.4 D.16
2

解析 因为数列{an}为等差数列,所以 a3+a11=2a7

,所以已知等式可化为 4a7-a7=0, 解得 a7=4 或 a7=0(舍去),又数列{bn}为等比数列,所以 b6b8=b7=a7=16。 答案 D 2.(2015·云南省师范大学附属中学高三适应性考试)在各项均为正数的等比数列{an} 1 a5+a6 中,a2, a3,a1 成等差数列,则 的值为( 2 a3+a4 A. 1- 5 2 3+ 5 2 ) B. 5+1 2 3- 5 2
2 2

C.

D.

1 1 解析 设{an}的公比为 q,因为 a2, a3,a1 成等差数列,所以 a1+a2=2× a3=a3,即 2 2

a1 + a1q = a1q2 ,所以 q2 -q- 1 =0 ,解得 q =
?a3+a4?q 3+ 5 2 =q = ,故选 C。 a3+a4 2 答案 C
2

1+ 5 1- 5 a5+a6 或 q= <0( 舍去 ),所以 = 2 2 a3+a4

3.在直角坐标系中,O 是坐标原点,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是第一象限的两个点,若 1,

x1,x2,4 依次成等差数列,而 1,y1,y2,8 依次成等比数列,则△OP1P2 的面积是(
A.1 C.3 B.2 D.4

)

解析 根据等差、 等比数列的性质, 可知 x1=2, x2=3, y1=2, y2=4。 ∴P1(2,2), P2(3,4)。 ∴S△OP1P2=1。 答案 A 4.已知{an}为等差数列,{bn}为等比数列,其公比 q≠1 且 bi>0(i=1,2,?),若 a1=

b1,a11=b11,则(
A.a6>b6 C.a6<b6

) B.a6=b6 D.a6<b6 或 a6>b6

解析 ∵数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,a1=b1,a11=b11,∴a1+a11=b1+
1

b11,又 bi>0(i=1,2,?)
∴2a6=b1+b11≥2 b1b11=2b6, 又 q≠1,且 bi>0(i=1,2,?),∴b1≠b11,∴a6>b6。 答案 A 2 5.已知数列{an}满足 a1= ,且对任意的正整数 m,n,都有 am+n=am·an,若数列{an} 3 的前 n 项和为 Sn,则 Sn 等于( )

?2?n-1 A.2-? ? ?3?
2 C.2- n+1 3 解析 令 m=1,得 an+1=a1·an,即
n

?2?n B.2-? ? ?3?
2 D.2- n 3
n+1

an+1 2 2 =a1= ,可知数列{an}是首项为 a1= ,公比为 an 3 3

2 ? ?2?n? ×?1-? ? ? 2 a1?1-q ? 3 ? ?3? ? q= 的等比数列,于是 Sn= = 3 1-q 2 1- 3
n n+1 2 ? ?2?n? =2×?1-? ? ?=2- n 。 3 ? ?3? ?

答案 D 6.(2015·河南适应性模拟练习)已知正项等比数列{an}满足:a9=a8+2a7,若存在两项

am,an,使得 aman=16a2 1,则 + 的最小值为( m n
A. C. 3 2 25 6
2

1 4

) B. 5 3

D.不存在
2

解析 因为 a9=a8+2a7, 所以 a7q =a7q+2a7, 解得 q=2 或-1(舍去), 因为 aman=16a1, 所以 a12
2

m+n-2

1 4 1 n 4m 1 ?1 4? 1 2 = 16a 1 , m + n - 2 = 4 ,所 以 + = (m + n) ? + ? = 1 + 4 + + ≥ m n m n 6 6 m n 6 ? ?

? ?1+4+2 ?
答案 A

1 4 3 n 4m? 3 × ?= ,当且仅当 n=2m=4 时,取等号。所以 + 的最小值为 ,故选 A。 m n 2 m n? 2

7.已知数列{an}的通项公式为 an=

1 ,前 n 项和为 Sn,若对任意的正整数 n,不等式 n+1

m S2n-Sn> 恒成立,则常数 m 所能获得的最大整数为________。
16

2

解析 要使 S2n-Sn> 恒成立,只需(S2n-Sn)min> 。 16 16 ∵ (S2(n + 1) - Sn + 1) - (S2n - Sn) = (S2n + 2 - S2n) - (Sn + 1 - Sn) = a2n + 1 + a2n + 2 - an + 1 = 1 1 1 1 1 1 1 - > + - = - >0, 2n+3 n+2 2n+2 2n+4 n+2 2n+2 2n+4 1 ∴S2n-Sn≥S2-S1= , 3 ∴ 16 < ? m< ,m 所能取得的最大整数为 5。 16 3 3 1 + 2n+2

m

m

m 1

答案 5 8.(2015·福建卷)若 a,b 是函数 f(x)=x -px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且
2

a,b,-2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的值
等于________。 解析 由题意,得?
?a+b=p>0, ? ? ?ab=q>0,

∴?

?a>0, ? ? ?b>0。

不妨设 a<b,则-2,a,b 成等差数列,

a,-2,b 成等比数列,
?-2+b=2a, ? 即? ?ab=4, ?

解得?

?a=1, ? ?b=4。 ?

∴?

? ?p=5, ?q=4。 ?

∴p+q=9。

答案 9 9.(2016·潍坊模拟)某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门通过“可 持续指数”来进行积累考核。 已知该生产线连续生产 n 年的产量 f(n)=

n?n+1??n+2?
3

吨, 每年生产量 an 的倒数记作该年的“可持续指数”, 如果累计“可持续指数”不小于 80%, 则生产必须停止,则该产品可持续生产________年。 1×2×3 解析 第一年的产量 a1= =2 吨,以后第 n(n=2,3,4,?)年的产量 an=f(n) 3 -f(n-1)= = +

n?n+1??n+2? ?n-1?n?n+1?
3 - 3

=n(n+1), 所以 an=n(n+1)。 由于

1

an

1 1 1 1 1 1 1 , 于是 n 年的“可持续指数”之和 Sn= + +?+ = + + +? n?n+1? a1 a2 an 1×2 2×3 3×4 1

n?n+1?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 =1- + - + - +?+ - =1- 。该产品停产即 1- ≥ ,解 2 2 3 3 4 n n+1 n+1 n+1 5

得 n≥4。这说明第 4 年必须停产,该产品可持续生产 3 年。
3

答案 3 10. (2015·温州十校联考)已知二次函数 f(x)=ax +bx 的图像过点(-4n,0), 且 f′(0) =2n,n∈N ,数列{an}满足
* 2

1

an+1

?1? =f′? ?,且 a1=4。 a ? n?

(1)求数列{an}的通项公式; (2)记 bn= anan+1,求数列{bn}的前 n 项和 Tn。 解 (1)f′(x)=2ax+b,由题意知 b=2n,16n a-4nb=0,
2

1 1 2 * ∴a= ,b=2n,则 f(x)= x +2nx,x∈N , 2 2 数列{an}满足 ∴ 1 1

an+1

?1? =f′? ?,又 f′(x)=x+2n, ?an?
an+1 an

an+1 an

1 1 1 = +2n,∴ - =2n,

1 1 2 由叠加法可得 - =2+4+6+?+2(n-1)=n -n, an 4 4 化简可得 an= 2(n≥2), ?2n-1? 当 n=1 时,a1=4 也符合,∴an= (2)bn= anan+1= =2? 4 * 2(n∈N )。 ?2n-1?

4 ?2n-1??2n+1?

? 1 - 1 ?, ? ?2n-1 2n+1?

Tn=b1+b2+?+bn
= a1a2+ a2a3+?+ anan+1 1 ? 1 1 4n ? 1? ?1 1? ? =2?1- ?+? - ?+?+ - =2?1- ?=2n+1。 3 3 5 2 n + 1 2 n - 1 2 n + 1 ? ? ? ? ? ? 11. (2015—2016 学年度上学期衡水中学高三年级四调考试)已知等差数列{an}的公差为 -1,前 n 项和为 Sn,且 a2+a7+a12=-6。 (1)求数列{an}的通项公式 an 与前 n 项和 Sn; (2)将数列{an}的前四项抽取其中一项后, 剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前三 项,记数列{anbn}的前 n 项和为 Tn,若存在 m∈N ,使得对任意 n∈N ,总有 Sn<Tm+λ 成立, 求实数 λ 的取值范围。 解 (1)∵{an}为等差数列,且 a2+a7+a12=-6,
* *

∴3a7=-6,即 a7=-2, 又∵公差 d=-1, ∴an=a7+(n-7)d=-2-n+7=5-n,n∈N ,
4
*

n?a1+an? n?4+5-n? 9n n2 * Sn= = = - ,n∈N .
2 2 2 2 (2)由(1)知数列{an}的前 4 项为 4,3,2,1, ∴等比数列{bn}的前 3 项为 4,2,1,

?1?n-1 ?1?n-1 ∴bn=4×? ? ,∴anbn=4(5-n)? ? , ?2? ?2? ?1?0 ?1?1 ?1?n-2 ?1?n-1 ∴Tn=44×? ? +3×? ? +?+(6-n)×? ? +(5-n)×? ? ,① 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ?2?
1 ?1?1 ?1?2 ?1?n-1 ?1?n ∴ Tn=44×? ? +3×? ? +?+(6-n)×? ? +(5-n)×? ? ,② 2 ?2? ?2? ?2? ?2? 1 ?1? ?1?2 ?1?n-1 ?1?n ①-②得 Tn=44-? ?+? ? +?+? ? -4(5-n)×? ? 2 ?2? ?2? ?2? ?2?

?1?n-1 21-? ? ?2? ?1?n =16- -4(5-n)×? ? 1 ?2? 1- 2 ?1?n-1 =12+(2n-6)×? ? 。 ?2? ?1?n-1 * ∴Tn=24+(4n-12)×? ? ,n∈N 。 ?2?
4n-12 4?n-1?-12 20-4n ∴Tn-Tn-1= n-1 - = n-1 , n-2 2 2 2 ∴T1<T2<T3<T4=T5,且 T5>T6>?>Tn, 49 * ∴n∈N 时,(Tn)max=T4=T5= 。 2 9n n 又∵Sn= - , 2 2 ∴n∈N 时,(Sn)max=S4=S5=10, 49 * * ∵存在 m∈N ,使得对任意 n∈N ,总有 Sn<Tm+λ 成立,∴(Sn)max<(Tm)max+λ ,∴10< 2 +λ ,
* 2

? 29 ? ∴实数 λ 的取值范围为?- ,+∞?。 ? 2 ?
B 组 培优演练 1 1.记数列{2n}的前 n 项和为 an,数列{ }的前 n 项和为 Sn,数列{bn}的通项公式为 bn

an

=n-8,则 bnSn 的最小值为( A.-3 C.3

) B.-4 D.4
5

1 1 1 n n?n-8? 解析 根据已知 an=n(n+1),所以 = - ,所以 Sn= ,所以 bnSn= an n n+ 1 n+1 n+1 =n+1+ -4。 答案 B 2.已知数列{an},{bn}满足 a1=1,且 an,an+1 是函数 f(x)=x -bnx+2 的两个零点, 则 b10 等于( A.24 C.48 解析 依题意有 anan+1=2 , 所以 an+1an+2=2
n n+1
2

9

n+1

-10≥-4,当且仅当 n+1=

9

n+1

,即 n=2 时取等号,所以 bnSn 的最小值为

n

) B.32 D.64 , 两式相除, 得

an+2 =2, 所以 a1, a3, a5, ? an
4 5

成等比数列,a2,a4,a6,?成等比数列。而 a1=1,a2=2,所以 a10=2·2 =32,a11=1·2 =32。 又因为 an+an+1=bn,所以 b10=a10+a11=64。 答案 D

3.(2016·河北省高三年级三市第二次联考)数列{logkan}是首项为 4,公差为 2 的等差 数列,其中 k>0,且 k≠1。设 cn=anlg an,若{cn}中的每一项恒小于它后面的项,则实数 k 的取值范围为________。 解析 由题意得 logkan=2n+2,则 an=k
2n+2

an+1 k2?n+1?+2 2 ,∴ = 2n+2 =k ,即数列{an}是以 an k

k4 为首项,k2 为公比的等比数列,cn=anlg an=(2n+2)·k2n+2lg k,要使 cn<cn+1 对一切 n
∈N 恒成立,即(n+1)lg k<(n+2)·k ·lg k 对一切 n∈N 恒成立。当 k>1 时,lg k>0,n +1<(n+2)k 对一切 n∈N 恒成立;当 0<k<1 时,lg k<0,n+1>(n+2)k 对一切 n∈N 恒成 立, 只需 k <?
2 2 * 2 * * 2 *

n+1 1 n+1 ?n+1? , ?n+1? ∴当 n=1 时, 取得最小值, 即? ?min ∵n+2=1-n+2单调递增, ? n + 2 n + 2 ? ? ?n+2?

min

2 6 6? ? 2 2 = ,∴k < ,且 0<k<1,∴0<k< 。综上,k∈?0, ?∪(1,+∞)。 3 3 3 3? ? 答案 ?0,

? ?

6? ?∪(1,+∞) 3?

4.(2015·山东青岛练习)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=0,a1+a2+a3+?+an+

n=an+1,n∈N*。
(1)求证:数列{an+1}是等比数列; (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn, b1=1, 点(Tn+1, Tn)在直线

x y 1 b1 - = 上, 若不等式 n+1 n 2 a1+1

6



bn 9 * +?+ ≥m- 对于 n∈N 恒成立,求实数 m 的最大值。 a2+1 an+1 2+2an
解 (1) 证明:由 a1 + a2 + a3 +?+ an + n = an + 1 ,得 a1 + a2 + a3 +?+ an - 1 + n - 1 =

b2

an(n≥2),两式相减得 an+1=2an+1(n≥2),
所以 an+1+1=2(an+1)(n≥2), 因为 a1=0,所以 a1+1=1,a2=2a1+1=1,a2+1=2(a1+1), 所以{an+1}是以 1 为首项,公比为 2 的等比数列。 (2)由(1)得 an=2
n-1

-1,因为点(Tn+1,Tn)在直线

y 1 Tn+1 Tn 1 - = 上,所以 - = , n+1 n 2 n+ 1 n 2

x

?Tn? T1 1 故? ?是以 =1 为首项, 为公差的等差数列, 1 2 ?n?

Tn 1 n?n+1? 则 =1+ (n-1),所以 Tn= 。 n 2 2
当 n≥2 时,bn=Tn-Tn-1=

n?n+1? n?n-1?
2 - 2

=n,

因为 b1=1 满足该式,所以 bn=n。 因为不等式

b1 b2 bn 9 + +?+ ≥m- , a1+1 a2+1 an+1 2+2an

2 3 n 9 所以 1+ + 2+?+ n-1≥m- n。 2 2 2 2 2 3 n 令 Rn=1+ + 2+?+ n-1, 2 2 2 1 1 2 3 n 则 Rn= + 2+ 3+?+ n, 2 2 2 2 2

? ?1?n? 1×?1-? ? ? 1 1 1 1 1 n n+2 ? ? 2? ? n ? ? 两式相减得?1- ?Rn=1+ + 2+ 3+?+ n-1- n= - n=2- n , 2 2 2 2 2 1 2 2 ? 2? 1- 2
所以 Rn=4-

n+2
2
n-1



9 n+2 9 由 Rn≥m- n恒成立,所以 4- n-1 ≥m- n恒成立, 2 2 2 2n-5 即 4- n ≥m 恒成立, 2

? 2n-3? ? 2n-5? 2n-7 又?4- n+1 ?-?4- n ?= n+1 , 2 ? ? 2 ? 2 ?
? 2n-5? 故当 n≤3 时,?4- n ?单调递减; 2 ? ?

7

2×3-5 31 当 n=3 时,4- = ; 3 2 8
? 2n-5? 当 n≥4 时,?4- n ?单调递增; 2 ? ?

2×4-5 61 当 n=4 时,4- = ; 4 2 16 2n-5 61 61 则 4- n 的最小值为 ,所以实数 m 的最大值是 。 2 16 16

8


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