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黑龙江省哈尔滨市第三中学2015届高三第三次模拟考试数学(理)试题及答案(扫描版)


哈尔滨三中 2015 年第三次模拟考试 数学试卷(理工类)答案及评分标准
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 13. 1 三、解答题: 17. (Ⅰ) an ? 2n ? 1, ………………………… 2分 14. y ? x ? 1 15. 1 C 2 D 3 B 4 A 5 B 6 C 7 B 8 D 9 C 10 C 11 D 12 A

>
? 6

16. 6

b1 ? 1, b4 ? 8 ,? q ? 2 ,

… ………………………

4分

? bn ? 2n?1 .
(Ⅱ) cn ? (2n ?1)2n?1 ,

…………………………

6分

Sn ? 1?1? 3? 2 ? 5 ? 22 ? 2Sn ?

? (2n ?1)2n?1

? 1 n 1 ? 2 ? ?3 22 ? ? 5 3? 2 ? n( ?2 ? n3 )? 2 n ? ( 2

1) 2

上述两式作差得

?Sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ?

? 2 ? 2n?1 ? (2n ?1)2n

? 2(1 ? 2n ?1 ) ? n ? Sn ? 1 ? 2 ? ? ? (2n ? 1)2 1 ? 2 ? ?

Sn ? 3 ? 2n (3 ? 2n) …………………………
18. (I) K ?
2

12 分

110(40 ? 30 ? 20 ? 20) 2 60 ? 50 ? 60 ? 50
……………………… 4 分 6分 7分

K 2 ? 7.822 K 2 ? 7.822 ? 6.635
(II) X 的可能取值为 0,1,2,3

? 有 99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关.…………………………
…………………

1 1 P( X ? 0) ? ( )3 ? 3 27

2 1 2 1 2 P ( X ? 1) ? C3 ( )( ) ? 3 3 9 1 2 4 P( X ? 2) ? C32 ( )( ) 2 ? 3 3 9 2 3 8 P( X ? 3) ? ( ) ? 3 27
X 0 1 2 3

P

1 27

2 9

4 9

8 27
………………………… 10 分 ………………………… 12 分

E( X ) ? 2
19. (Ⅰ)

平面 ABCD ? 平面 ABE , AD ? 平面 ABCD , AD ? AB , 且平面 ABCD ? 平面 ABE ? AB ,? AD ? 平面 ABE , BE ? 平面 ABE ,

? AD ? BE


BE ? AF , AD ? 平面 ADF , AF ? 平面 ADF , AD ? AF ? A , ………………… 4 分 ? BE ? 平面 ADF
(Ⅱ)存在, F 为中点 方法 1:以 AB 中点 O 为原点,设 DC 中点为 O? ,以 OE , OB, OO? 分别为 x, y , z 轴 建立空间直角坐标系,平面 DCE 的法向量 m ? (1, 0,1) , …………… …………… …………… 7分 10 分 12 分

BF ? ? (? ? 1) ,平面 DCF 的法向量 n ? (1,0, ? ) , BE 1 3 10 , ? ? 或 ? ? 2 (舍) cos ? ? 2 10


方法 2: 过 F 作 FM ? AB 交 AB 于 M ,过 M 作 MN ? DC 交 DC 于 N ,连接 FN ??F N M为二面角 F ? DC ? B 的平面角,

?t a n ?F N M?

FM FM ? ; MN 3
…………… 10 分

同理,设二 面角 B ? DC ? E 的平面角为 ? ,? tan ? ? 1 ;

?二面角 F ? DC ? E 的平面角为 ? ??FNM , tan(? ??FNM )= 1 3 ? FM ? 3 ………………………… 2 20. (Ⅰ) F ? 0,1? , y ? kx ? 1 ,

12 分

? y ? kx ? 1 2 , x ? 4kx ? 4 ? 0 , ? 2 ?x ? 4 y
x12 x2 2 ? ?1 , x1 x2 ? ?4 , y1 y2 ? 4 4

? ? O A ? O B? 1 x2 x ? 1 y 2 y?3?
(Ⅱ)圆 O : x ? y ? 1,
2 2

……………

4分

直线 l 与圆 O 相切时,

m k ?1
2

? 1 , m2 ? k 2 ? 1 ? 1, ……………

6分

? m 2 ?y ? k x , x ? 4kx ? 4m ? 0 , ? ? 16k 2 ? 16m ? 0 得 m ? k 2 ? m2 ? 1 得 ? 2 ?x ? 4 y
m2 ? m ? 1 ? 0 得 m ?

1? 5 1? 5 或m ? 2 2

x1 ? x2 ? 4k

, x1 x2 ? ?4m , y1 y2 ?

x12 x2 2 ? ? m2 , 4 4

? ? O A ? O B? 1 x2 x ? 1 y 2 y? 2 m 4?
综合以上, 3 ? m ? 4 ,
2 AB? 1 ? k 1

?3 ,?? 0, 0 ? m ? 1 或 3 ? m ? 4 , ?m
……………
1

9分

x ? 2x ? 1 ? 2k ?
4

x ??2 x 4 ?
2

1

x2 x 4 ?

4

2 , m m ?3 m ?

S?

1 A B? d ? 2 2

m ? 3m ? 2m ,

……………

10 分

3 ? m ? 4 时, S ? ? m? ? 0 , S ? m? 在 ? 3, 4 ? 单调递增,

S ?3? ? S ? S ? 4? ,即 6 11 ? S ? 8 19 .
21. (Ⅰ)由 f ?( x) ? 又 f (1) ?

……………

12 分

a ?1 b a ?1 b ? 1 ? 得 f ?(1) ? ? 1 ? ? 0,? b ? ?a ……2 分 2 x 1 1 x

1? a ? 1 ? b ln 1 ? c ? 2a ? 2,? c ? 3a …………3 分 1 1? a ? x ? a ln x ? 3a (Ⅱ)由上知 f ( x) ? x
得 f ?( x) ?

a ?1 ? a x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)(x ? a ? 1) ? 1 ? ? ? x x2 x2 x2

讨论得当 a ? 2 时 f ( x) 在 (0,??) 上为增函数, 当 a ? 2 时 f ( x) 在 (0,1), (a ? 1,??) 上为增函数,在 (1, a ? 1) 上为减函数 当 1 ? a ? 2 时 f ( x) 在 (0, a ? 1), (1,??) 上为增函数,在 (a ? 1,1) 上为减函数 当 a ? 1 时 f ( x) 在 (1,??) 上为增函数,在 (0,1) 上为减函数…………8 分 (III)①当 a ? 2 时,由(Ⅱ)知 f ( x) 在 (1, a ? 1) 上为减函数,不 符合 ②当 1 ? a ? 2 时,由(Ⅱ)知 f ( x) 在 (1, ??) 单调递增,则 g ( x) ? e ? ? f ( x) ?

? ?

51 ? ?在 4?

?1, a? 单调递增成立;
同时需要当 x ? 1 时 (2 x3 ? 3ax 2 ? 6ax ? 5a 2 ? 6a) ? e x ? e ? ? f ( x) ?

? ?

51 ? ? 4?

即 (2 ? 3a ? 6a ? 5a ? 6a) ? e ? e ? ?1 ? a ? 1 ? 3a ?
2
2 得 20a ? 4a ? 51 ? 0 ,解得 ?

? ?

51? ? 4?
………10 分
x

17 3 ?a? 10 2
2

同时也需要 g ( x) ? (2 x ? 3ax ? 6ax ? 5a ? 6a) ? e 在区间 ?? a,1? 上也为增函数
3 2

由 g?( x) ? (6 x2 ? 6ax ? 6a ? 2 x3 ? 3ax2 ? 6ax ? 5a2 ? 6a) ? ex

? (2 x3 ? (3a ? 6) x2 ? 12ax ? 5a2 ) ? ex
记 h( x) ? 2x 3 ? (3a ? 6) x 2 ? 12ax ? 5a 2

h?( x) ? 6x 2 ? 6(a ? 2) x ? 12a ? 6( x ? a)(x ? 2)
同时当 1 ? a ?

3 时, 2

x ? ? a ? x ? ?2 ? h?( x) ? 0

又 h(?a) ? ?2a3 ? (3a ? 6)a2 ?12a2 ? 5a2 ? a3 ? a2 ? a2 (a ?1) ? 0 ,所以此种情况 1 ? a ? ? g ?( x )? 0

3 2

………… 11 分

③当 0 ? a ? 1 时, 需要 g ( x) ? (2 x 3 ? 3ax2 ? 6ax ? 5a 2 ? 6a) ? e x 在区间 ? ?a, a? 为增 函数,讨论同上 g?( x) ? (6 x2 ? 6ax ? 6a ? 2 x3 ? 3ax2 ? 6ax ? 5a2 ? 6a) ? ex

? (2 x3 ? (3a ? 6) x2 ? 12ax ? 5a2 ) ? e x
记 h( x) ? 2x 3 ? (3a ? 6) x 2 ? 12ax ? 5a 2

h?( x) ? 6x 2 ? 6(a ? 2) x ? 12a ? 6( x ? a)(x ? 2)
同时当 0 ? a ? 1 时

x ? ? a ? x ? ?2 ? h?( x) ? 0

而 h(?a) ? ?2a3 ? (3a ? 6)a2 ?12a2 ? 5a2 ? a2 (a ?1) ? 0 只有 a ? 1 时,才能使 g ( x) 在 ? ?a, a? 上为增函数. 综上: 1 ? a ?

3 2
AB 是直径,? AC ? BD ,

……………

12 分

22. (Ⅰ) 解析: (Ⅰ) 证明:

BC ? DC ,? ?ABC ≌
…………… 5分

?ADC ,? ?ADB ? ?ABD
(Ⅱ)解:

DE 切⊙O 于点 E,? ED2 ? DC ? DB ? DC ? ? DC ? BC ? ? 2DC 2 ,

ED = 4 2 ,? DC ? 4 ,在 Rt ?ADC 中, AC ?

AD2 ? DC2 ? 25 ?16 ? 3 .
……………
2

10 分

2 2 2 2 23.(Ⅰ)由 ? ? 6 cos ? 得 ? ? 6? cos ? ,? x ? y ? 6 x ,即 ? x ? 3 ? ? y ? 9

…………… 4 分

? 曲线 C 表示以 ? 3,0 ? 为圆心, 3 为半径的圆.

……………

5分

1 ? x ? 2 ? t, ? 2 ? 2 2 2 (Ⅱ) ? 代入? x ? y ? 6 x 得 t ? t ? 8 ? 0, ?y ? 3 t ? ? 2

t1 ? t2 ? 0

? P A ? P B ? 1 t ? 2 t ? 1 t ?2 t ? ?

1

t? ?2 t 4 ?
2

1

2 t ?2 t1 ? 4 ? ( 8 ?) ? ; 3?3

…………… 10 分 24. (Ⅰ) f ( x ) = 3x ? 2 +| 3x- ……………4 分 1 ? ?3x ? 2?-(3x- 1) | = 3, 当且仅当 ?

2 1 ? x ? 时,等号成立,故 m ? 3 . 3 3

……………5 分

p4 q4 (Ⅱ)证明:( 2 ? 2 )· (a 2 ? b2 ) a b p2 q2 ? ( ? a ? ? b )2, a b p4 q4 即( 2 ? 2 ) ?3 ? ( p 2 ? q 2 )2 ? 9 , a b


p4 q4 ?3 ? a 2 b2

………………………10 分


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