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对一道习题的探究


对一道习题的探究
吉卫红
(凯里学院数学系 09 级数本师范(1)班 凯里 556000)

摘要:不等式是中学数学的一个重要内容,也是学习的难点,在掌握相关内容和练习的 同时,还要感知教材,理解教材,一切从教材出发。笔者就是从教材出发,通过对高中二年 级数学教材第 30 页第 8 题的探究,得到此类分式不等式的证明方法,并对其进行了两方面

的推广。 关键词:分式不等式;均值不等式;推广

高中二年级上册数学教材第 30 页习题第 8 题[1]:
1 1 1 ? ? ?0. a ?b b?c c ?a 1 1 1 ? ? 对此题的证明,我们通常转化为证 ,因 a ? b ? c , a ?b b?c a ?c 1 1 1 1 1 1 ? 0 ,故有 ? ? ? 故 a ? c ? a ? b ? 0 ,所以 ,而 , b?c a ?b a ?c a ?b b?c a ?c

已知 a ? b ? c ,求证:

从而结论成立 . 下面我们对此题作进一步探究 . 从转证形式上看, a ? b ? 0 ,
b ? c ? 0 ,a ? c ? 0,(a ? b) ? (b ? c) ? a ? c , 即前两个分数的分母之和等于第

三个分数的分母,现令 a ? b , b ? c 为任意两个正数 x,y,是否有:
1 1 1 ? ? ① 成立? x y x? y

现证①式, ? ?

1 x

1 y

1 x? y 1 ? ? ? ( x ? y )2 ? xy ? x 2 ? y 2 ? ? xy x? y xy x? y

与均值不等式 x2 ? y 2 ? 2xy 比较知, x2 ? y 2 ? ? xy 弱于 x2 ? y 2 ? 2xy ,故① 式恒成立. 于是,我们得到下面定理.
1

定理 1

若 x, y ? R? ,则 ? ?

1 x

1 y

1 . x? y

不等式①中,用

m 1 换 ,我们来考查 m 为何值时,不等式 x? y x? y

1 1 m ②恒成立. ? ? x y x? y



?

x? y m ? ? ( x ? y)2 ? mxy ? x 2 ? y 2 ? (m ? 2) xy与x 2 ? y 2 ? 2 xy x? y x? y

进行对比,当且仅当 m ? 2 ? 2 ,即 m ? 4 时,原不等式才恒成立,于是 对于 m ? 4 时的情况不再讨论了,现只对 m ? 4 时的情况进行探究,即 不等式为: ? ?
1 x 1 y 4 ③. x? y

把不等式③看为

12 12 (1 ? 1)2 ,现将③中的数字 1 换为一般实数 ? ? x y x? y

a ,则不等式③变为:
a 2 a 2 (a ? a) 2 4a 2 ④ ? ? ? x y x? y x? y

此式显然成立,且当 a =0 时,等号成立.现将④中换成一般形式, 即为:
a 2 b2 (a ? b)2 ⑤ ? ? x y x? y

欲证结论⑤成立,因⑤
a 2 y ? b 2 x ( a ? b) 2 ? ? ? (a 2 y ? b2 x)( x ? y) ? (a ? b)2 xy ? a 2 xy ? a 2 y 2 ? b 2 x 2 ? b 2 xy xy x? y

?(a2 ? b2 ? 2ab) xy ? 0 ? (ax ? by)2 ? 0 ,此式显然成立.

于是,我们又得到下面定理.

2

定理 2 若 x,y ? R ? , a , b ? R ,则 a

2

x

?

b2 (a ? b)2 . ? y x? y

下面,再对不等式⑤进行探究,对其进行三项或更多项的变形, 得到如下结论:

定理 3

若 x,y,z ? R ? ,m ,b ,c ? R ,则

2 a 2 b2 c (a ? b ? c2) . ? ? ? x y z x ? y ?z

定理 4 若 xi ? R, yi ? R? , 则
2 x2 ( x ? x ? ? ? xn )2 x12 x2 ? ??? n ? 1 2 y1 y2 yn y1 ? y2 ? ? ? yn

以上两个定理的证明方法类似,这里只证定理 2,用构造法证明. 证明:因对任意实数 m,有
( a a2 ? m x )2 ? m2 x ? ? 2ma ? 0 x x

①? ②? ③?

(

b b2 ? m y )2 ? m2 y ? ? 2mb ? 0 y y
c b2 ? m z)2 ? m2 z ? ? 2mc ? 0 z z

(

①?+②?+③?,得
a 2 b2 c m ( x ? y ? z ) ? 2m(a ? b ? c) ? ( ? ? ) ? 0 x y z
2
2

把上式看作关于 m 的一元二次不等式,且 x ? y ? z ? 0 ,则依据题 意有 ? ? 0 ,即
? ? 4(a ? b ? c)2 ? 4( x ? y ? z )( ? a 2 b 2 c 2 (a ? b ? c ) 2 ? ? ? x y z x? y?z a 2 b2 c 2 ? ? )?0 x y z 故结论成立.

另一方面, 我们对

1 1 1 ? ? 再作进一步的探究,对此不等 a ?b b?c a ?c
3

式,把它看作

12 12 (1 ? 1)2 4 ,这样我们再来推广,变 ? ? ? a ? b b ? c (a ? b) ? (b ? c) a ? c

换上式中分母,如:
b, 已知 a , c ? R ? ,求证:

1 1 1 (1 ? 1 ? 1)2 9 ⑥ ? ? ? ? a ? b b ? c a ? c 2(a ? b ? c) 2(a ? b ? c)

现证⑥式 证明:因 a , b , c ? R ? ,故有
1 1 1 1 1 1 ? ? ? 33 ? ? a?b b?c a?c a ?b b?c a ?c

(a ? b)(b ? c)(a ? c) ? 33 (a ? b)(b ? c)(a ? c)

将上面两式相乘得
( 1 1 1 1 1 1 9 ? ? )[(a ? b) ? (b ? c) ? (a ? c)] ? 9 ? ? ? ? a?b b?c a?c a ? b b ? c a ? c 2(a ? b ? c)

于是,我们得到如下结论:

定理 5 若 a , b , c ? R ? ,则
1 1 1 1 1 1 36 12 ? ? ? ? ? ? ? a ? b b ? c c ? d a ? c a ? d b ? d 3(a ? b ? c ? d ) a ? b ? c ? d

证明:因 a,b,c,d ? R ? ,故有
1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? a?b b?c c?d a?c a?d b?d

? 66

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? a?b b?c c?d a?c a?d b?d

(a ? b) ? (b ? c) ? (c ? d ) ? (a ? c) ? (a ? d ) ? (b ? d )

? 6 6 (a ? b)(b ? c)(c ? d )(a ? c)(a ? d )(b ? d )

将上面两式相乘得
( 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? )[(a ? b) ? (b ? c) ? (c ? d ) ? (a ? c) a?b b?c c?d a ?c a ?d b?d
4

?(a ? d ) ? (b ? d )] ? 36
? 1 1 1 1 1 1 36 12 ? ? ? ? ? ? ? a ? b b ? c c ? d a ? c a ? d b ? d 3(a ? b ? c ? d ) a ? b ? c ? d

故原不等式成立. 把此不等式推广到 n 个,即已知: ai ? R? (i, j ? 1, 2?n) ,则

1?i ? j ? n

?

n

1 ? ai ? a j

2 2 (cn )

1?i ? j ? n

?

n

?

2 2 (cn )

(ai ? a j )

(n ? 1)? ai
i ?1

n

证明:因 ai ? R? (i, j ? 1, 2?n) ,则有

1?i ? j ? n
n

?
?

n

n 1 1 2 2 cn ? cn ? ai ? a j 1?i ? j ? n ai ? a j
n

1?i ? j ? n

2 c2 n (ai ? a j ) ? cn

1?i ? j ? n

?

(ai ? a j )

两式相乘得
(
n 1 2 2 )( (ai ? a j )) ? (cn ) ? ? 1?i ? j ? n ai ? a j 1?i ? j ? n n

?

1 ? ? 1?i ? j ? n ai ? a j

n

2 2 (cn )

(n ? 1)? ai
i ?1

n

故不等式成立. 于是,我们得到一个推广的结论

定理 6 若 ai ? R? , a j ? R? ,(i, j ? 1,2?n) ,则
1 ? ? 1?i ? j ? n ai ? a j
n 2 2 (cn )

(n ? 1)? ai
i ?1

n

试想一下,分母变为 3 个的情况又如何呢?请看下面的问题: 问题 1、若 ai , a j , ak ? R? , i, j, k ?1,2,3,4 , 则
5

1 ? ? 1?i ? j ? k ? 4 ai ? a j ? ak

n

42
1?i ? j ? k ? 4

?

n

?

16 3? ai
i ?1 n

(ai ? a j ? ak )

问题 2、若 ai , a j , ak ? R? , i, j, k ?N ? , 则
3 2 (cn ) 1 ? ? n 2 1?i ? j ? k ? n ai ? a j ? ak cn ?1 ? ai n i ?1

由于证明方法类似,这里证明问题 2 即可 证明 2 因 ai , a j , ak ? R? ,有
n 1 1 3 3 cn ? cn ? 1?i ? j ? k ? n ai ? a j ? ak 1?i ? j ? k ? n ai ? a j ? ak

?
n

n

1?i ? j ? k ? n

?

3 c3 n (ai ? a j ? ak ) ? cn

1?i ? j ? k ? n

?

n

(ai ? a j ? ak )

将两式相乘,得
n 1 3 2 ? ? (ai ? a j ? ak ) ? (cn ) 1?i ? j ? k ? n ai ? a j ? ak 1?i ? j ?k ?n

?

n

1 ? ? ? 1?i ? j ? k ? n ai ? a j ? ak

n

3 2 (cn )

1?i ? j ? k ? n

?

n

=

3 2 ( cn ) 2 cn ?1 ? ai i ?1 n

(ai ? a j ? ak )

故原不等式成立,把其作为一个结论.

定理 7
n

若 ai , a j , ak ? R? , i, j, k ? N ? , 则

3 2 (cn ) 1 ? ? n 2 1?i ? j ? k ? n ai ? a j ? ak cn ?1 ? ai i ?1

下面看这些定理的应用: 例 1[2] 设 x, y, z ? R ? 且 x ? y ? z ? 1 ,求 ? ? 的最小值. 解:因 x, y, z ? R ? ,且 x ? y ? z ? 1 ,则 ? ? ?
6

1 x

1 y

1 z

1 1 1 ( 1 1 ?1 )? x y z x ? y z ?

2

9 ? ?9 x y? z ?

故 ? ? 的最小值为 9. 例 2[3] 已知 xi ? R? ,(i ? 1,2?n) ,试证:
2 2 xn x12 x2 ? ? ? ? ? x1 ? x2 ? ? ? xn x2 x3 x1

1 x

1 y

1 z

证明:因 xi ? R? ,(i ? 1, 2?n) ,则
2 x2 ( x ? x ? ? ? xn )2 x12 x2 ? ??? n ? 1 2 x2 x3 x1 x2 ? x3 ? ? ? x1

= x1 ? x2 ? ? ? xn 故原不等式得证. 例 3 若 x, y, z ? 0 ,且 x ? y ? z ? 1 ,则 证:因 x, y, z ? R ? ,且 x ? y ? z ? 1 ,则
1 1 1 (1 ? 1 ? 1)2 9 9 ? ? ? ? ? x ? y y ? z z ? x 2( x ? y ? z ) 2( x ? y ? z ) 2
1 1 1 9 ? ? ? x? y y?z z?x 2

故原不等式成立. 例4 参考文献:

7


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