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2016届高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第8讲 函数与方程


第 8 讲 函数与方程
最新考纲 1.结合二次函数的图象, 了解函数的零点与方程根的联系, 判断一元二次方 程根的存在性及根的个数;2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.

知 识 梳 理 1.函数的零点 (1)函数的零点的概念 对于函数 y=f(x),把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点. (2)函数的零点

与方程的根的关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. (3)零点存在性定理 如果函数 y=f(x)满足: ①在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线; ②f(a)·f(b) <0;则函数 y=f(x)在(a,b)上存在零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就 是方程 f(x)=0 的根. 2.二分法 (1)定义:对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断 地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零 点近似值的方法叫做二分法. (2)给定精确度 ε ,用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下: ①确定区间[a,b],验证 f(a)·f(b)<0,给定精确度 ε ; ②求区间(a,b)的中点 c; ③计算 f(c); (ⅰ)若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; (ⅱ)若 f(a)·f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); (ⅲ)若 f(c)·f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)). ④判断是否达到精确度 ε :即若|a-b|<ε ,则得到零点近似值 a(或 b);否则重复② ③④. 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩 PPT 展示

(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点.(×) (2)函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则 f(a)·f(b)<0.(×) (3)二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)在 b -4ac<0 时没有零点.(√) (4)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.(×)
2 2

1

6 2.(2014·北京卷)已知函数 f(x)= -log2x.在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是

x

(

) A.(0,1) C.(2,4) B.(1,2) D.(4,+∞)

解析 由题意知,函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数,又 f(1)=6-log21=6>0,f(2) 6 3 1 =3-log22=2>0,f(4)= -log24= -2=- <0,由零点存在性定理,可知函数 f(x)在 4 2 2 区间(2,4)上必存在零点,故选 C. 答案 C 3. (2014·湖北七市(州)联考)已知函数 f(x)与 g(x)的图象在 R 上连续不断, 由下表知 方程 f(x)=g(x)有实数解的区间是( ) 0 3.011 3.451 1 5.432 4.890 2 5.980 5.241 3 7.651 6.892 B.(0,1) D.(2,3)

X f(x) g(x)
A.(-1,0) C.(1,2)

-1 -0.677 -0.530

解析 记 h(x)=f(x)-g(x),依题意,注意到 h(0)<0,h(1)>0,因此函数 h(x)的零 点属于(0,1),即方程 f(x)=g(x)有实数解的区间是(0,1),故选 B. 答案 B 4. (人教 A 必修 1P92A1 改编)下列函数图象与 x 轴均有交点, 其中不能用二分法求图中 函数零点的是( )

答案 A
? ?x -2,x≤0, 5.(2014·福建卷)函数 f(x)=? ?2x-6+ln x,x>0 ?
2 2

的零点个数是________.

解析 当 x≤0 时,由 x -2=0 得 x=- 2(正根舍去);当 x>0 时,f(x)=2x-6+ln

x 在(0,+∞)上为增函数,且 f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,所以 f(x)在(0,+∞)
上有且只有一个零点,综上可知 f(x)的零点个数为 2. 答案 2

2

考点一 函数零点的判断与求解 【例 1】 (1)(2014·唐山一模)设 f(x)=e +x-4, 则函数 f(x)的零点位于区间( A.(-1,0) C.(1,2) B.(0,1) D.(2,3)
2

x

)

(2)(2014·湖北卷)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x -3x.则函 数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为( A.{1,3} C.{2- 7,1,3}
x x

) B.{-3,-1,1,3} D.{-2- 7,1,3}

解析 (1)∵f(x)=e +x-4,∴f′(x)=e +1>0,∴函数 f(x)在 R 上单调递增,对 于 A 项,f(-1)=e +(-1)-4=-5+e <0,f(0)=-3<0, f(-1)f(0)>0,A 不正确; 同理可验证 B,D 不正确,对于 C 项,∵f(1)=e+1-4=e-3<0,f(2)=e +2-4= e -2>0,f(1)f(2)<0.故 f(x)的零点位于区间(1,2). (2)当 x≥0 时,f(x)=x -3x,令 g(x)=x -3x-x+3=0,得 x1=3,x2=1. 当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=(-x) -3(-x), ∴-f(x)=x +3x,∴f(x)=-x -3x. 令 g(x)=-x -3x-x+3=0, 得 x3=-2- 7,x4=-2+ 7>0(舍), ∴函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合是{-2- 7,1,3},故选 D. 答案 (1)C (2)D 规律方法 (1)确定函数的零点所在的区间时,通常利用零点存在性定理,转化为确定 区间两端点对应的函数值的符号是否相反.(2)根据函数的零点与相应方程根的关系可知, 求函数的零点与求相应方程的根是等价的. 对于求方程 f(x)=g(x)的根, 可以构造函数 F(x) =f(x)-g(x),函数 F(x)的零点即方程 f(x)=g(x)的根.
? ?2 -1,x≤1, 【训练 1】 (2015·莱芜一模)已知函数 f(x)=? ?1+log2x,x>1, ?
x
2 2 2 2 2 2 2 2 -1 -1

则函数 f(x)的零

点为(

) B.-2,0 D.0
x

1 A. ,0 2 C. 1 2

解析 当 x≤1 时,由 f(x)=2 -1=0,解得 x=0;当 x>1 时,由 f(x)=1+log2x=0, 1 解得 x= ,又因为 x>1,所以此时方程无解.综上,函数 f(x)的零点只有 0. 2 答案 D 考点二 根据函数零点的存在情况,求参数的值
3

e 2 【例 2】 已知函数 f(x)=-x +2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0).

2

x

(1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. 解 e 2 (1)法一 ∵g(x)=x+ ≥2 e =2e,
2

x

等号成立的条件是 x=e, 故 g(x)的值域是[2e,+∞),因而只需 m≥2e,则 y=g(x)-m 就有零点. e 法二 作出 g(x)=x+ (x>0)的大致图象如图 1.
2

x

图1 可知若使 y=g(x)-m 有零点,则只需 m≥2e. (2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根, 即 y=g(x)与 y=f(x)的图象有两个不同的交点, e 2 在同一坐标系中,作出 g(x)=x+ (x>0)与 f(x)=-x +2ex+m-1 的大致图象如图
2

x

2.

图2 ∵f(x)=-x +2ex+m-1= -(x-e) +m-1+e . ∴其图象的对称轴为 x=e,开口向下, 最大值为 m-1+e . 故当 m-1+e >2e,即 m>-e +2e+1 时,y=g(x)与 y=f(x)有两个交点,即 g(x)-
2 2 2 2 2 2

f(x)=0 有两个相异实根.
∴m 的取值范围是(-e +2e+1,+∞). 规律方法 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围, 若方程可解, 通过解方程 即可得出参数的范围,若方程不易解或不可解,则将问题转化为构造两个函数,利用两个函 数图象的关系求解,这样会使得问题变得直观、简单,这也体现了数形结合思想的应用.
2

4

2 x 【训练 2】 (1)函数 f(x)=2 - -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围

x

是(

) A.(1,3) C.(0,3) |2 -1|,x<2, ? ? (2)(2014·太原模拟)已知函数 f(x)=? 3 ,x≥2, ? ?x-1
x

B.(1,2) D.(0,2)

若方程 f(x)-a=0 有三

个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是( A.(1,3) C.(0,2)

) B.(0,3) D.(0,1)

2 2 x x 解析 (1)因为函数 f(x)=2 - -a 在区间(1,2)上单调递增,又函数 f(x)=2 - -a

x

x

的一个零点在区间(1,2)内,则有 f(1)·f(2)<0,所以(-a)(4-1-a)<0,即 a(a-3)< 0.所以 0<a<3. (2)画出函数 f(x)的图象如图所示,

观察图象可知,若方程 f(x)-a=0 有三个不同的实数根,则函数 y=f(x)的图象与直 线 y=a 有 3 个不同的交点,此时需满足 0<a<1,故选 D. 答案 (1)C (2)D 考点三 与二次函数有关的零点问题 【例 3】 是否存在这样的实数 a,使函数 f(x)=x +(3a-2)x+a-1 在区间[-1,3]上 恒有一个零点,且只有一个零点?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由.
2

? 8?2 8 2 2 解 令 f(x)=0,则 Δ =(3a-2) -4(a-1)=9a -16a+8=9?a- ? + >0 恒成立, ? 9? 9
即 f(x)=0 有两个不相等的实数根, ∴若实数 a 满足条件,则只需 f(-1)·f(3)≤0 即可.

f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0, ∴a≤-
1 或 a≥1. 5 检验:(1)当 f(-1)=0 时,a=1,所以 f(x)=x +x. 令 f(x)=0,即 x +x=0,得 x=0 或 x=-1. 方程在[-1,3]上有两个实数根,不合题意,故 a≠1.
2 2

5

1 (2)当 f(3)=0 时,a=- , 5 13 6 2 此时 f(x)=x - x- . 5 5 13 6 2 令 f(x)=0,即 x - x- =0, 5 5 2 解得 x=- 或 x=3. 5 方程在[-1,3]上有两个实数根, 1 不合题意,故 a≠- . 5 1? ? 综上所述,a 的取值范围是?-∞,- ?∪(1,+∞). 5? ? 规律方法 解决与二次函数有关的零点问题: (1)可利用一元二次方程的求根公式; (2) 可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系;(3)利用二次函数的图象列不等式组. 【训练 3】 已知 f(x)=x +(a -1)x+(a-2)的一个零点比 1 大,一个零点比 1 小,求 实数 a 的取值范围. 解 法一 设方程 x +(a -1)x+(a-2)=0 的两根分别为 x1, x2(x1<x2), 则(x1-1)(x2
2 2 2 2

-1)<0, ∴x1x2-(x1+x2)+1<0, 由根与系数的关系, 得(a-2)+(a -1)+1<0, 即 a +a-2<0,∴-2<a<1. 法二 函数图象大致如图,则有 f(1)<0,
2 2

即 1+(a -1)+a-2<0,∴-2<a<1. 故实数 a 的取值范围是(-2,1).

2

[思想方法] 1.判定函数零点的常用方法有: (1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程 f(x)=0. 2.研究方程 f(x)=g(x)的解,实质就是研究 G(x)=f(x)-g(x)的零点. 3.转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题;已知方程有

6

解求参数范围问题可转化为函数值域问题. [易错防范] 1.函数 f(x)的零点是一个实数,是方程 f(x)=0 的根,也是函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标. 2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件;判断零点个数 还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2014·青岛统一检测)函数 f(x)=2 +x -2 在区间(0,2)内的零点个数是( A.0 C.2
x
3

x

3

)

B.1 D.3
x
3

解析 因为函数 y=2 ,y=x 在 R 上均为增函数,故函数 f(x)=2 +x -2 在 R 上为增 函数,又 f(0)<0,f(2)>0,故函数 f(x)=2 +x -2 在区间(0,2)内只有一个零点,故选 B. 答案 B 1 2.(2015·西安五校联考)函数 y=ln(x+1)与 y= 的图象交点的横坐标所在区间为
x
3

x

(

) A.(0,1) C.(2,3) B.(1,2) D.(3,4)

1 1 解析 函数 y=ln(x+1)与 y= 的图象交点的横坐标, 即为函数 f(x)=ln(x+1)- 的

x

x

1 零点,∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=ln 2-1<0,f(2)=ln 3- >0,∴f(x) 2 的零点所在区间为(1,2). 答案 B 3.(2015·长沙模拟)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-

c)(x-a)的两个零点分别位于区间(
A.(a,b)和(b,c)内

) B.(-∞,a)和(a,

b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内 +∞)内 D.(-∞,a)和(c,

7

解析

依题意,注意到 f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)·(b-a)<0,f(c)=

(c-b)(c-a)>0, 因此由零点的存在性定理知函数 f(x)的零点位于区间(a, b)和(b, c)内, 故选 A. 答案 A 4.(2014·昆明三中、玉溪一中统考)若函数 f(x)=3ax+1-2a 在区间(-1,1)内存在 一个零点,则 a 的取值范围是( ) B . ( -∞,- 1) ∪

?1 ? A.? ,+∞? ?5 ? ?1,+∞? ?5 ? ? ?
1? ? C.?-1, ? 5? ?

D.(-∞,-1)

解析 当 a=0 时,f(x)=1 与 x 轴无交点,不合题意,所以 a≠0;函数 f(x)=3ax+1 -2a 在区间(-1,1)内是单调函数,所以 f(-1)·f(1)<0,即(5a-1)(a+1)>0,解得 a 1 <-1 或 a> . 5 答案 B 5.已知函数 f(x)=x+2 ,g(x)=x+ln x,h(x)=x- x-1 的零点分别为 x1,x2,x3, 则 x1,x2,x3 的大小关系是( A.x2<x1<x3 C.x1<x3<x2
x x

) B.x1<x2<x3 D.x3<x2<x1

解析 依据零点的意义,转化为函数 y=x 分别和 y=-2 ,y=-ln x,y= x+1 的 交点的横坐标大小问题,作出草图,易得 x1<0<x2<1<x3. 答案 B 二、填空题 6.(2015·淄博期末)函数 f(x)=x-ln(x+1)-1 的零点个数是________. 解析 函数 f(x)=x-ln(x+1)-1 的零点个数,即为函数 y=ln(x+1)与 y=x-1 图 象的交点个数. 在同一坐标系内分别作出函数 y=ln(x+1)与 y=x-1 的图象,如图,

由图可知函数 f(x)=x-ln(x+1)-1 的零点个数是 2. 答案 2
8

7.函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则 n=________. 解析 求函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点,可以大致估算两个相邻自然数的函数值,如

f(2)=-1+ln 2,由于 ln 2<ln e=1,所以 f(2)<0,f(3)=2+ln 3,由于 ln 3>1,
所以 f(3)>0,所以函数 f(x)的零点位于区间(2,3)内,故 n=2. 答案 2
? ?2 -1,x>0, 8.已知函数 f(x)=? 2 ?-x -2x,x≤0, ?
x

若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,则实数

m 的取值范围是________.

解析

? ?2 -1,x>0, 画出 f(x)=? 2 ?-x -2x,x≤0 ?

x

的图象,如图.

由函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,结合图象得:0<m<1,即 m∈(0,1). 答案 (0,1) 三、解答题 9.若关于 x 的方程 2 +2 a+a+1=0 有实根,求实数 a 的取值范围. 解 法一 (换元法)
x
2 2x

x

设 t=2 (t>0),则原方程可变为 t +at+a+1=0,(*) 原方程有实根,即方程(*)有正根. 令 f(t)=t +at+a+1. ①若方程(*)有两个正实根 t1,t2, Δ =a -4?a+1?≥0, ? ? 则?t1+t2=-a>0, ? ?t1·t2=a+1>0,
2 2

解得-1<a≤2-2 2;

②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根, 不合题意, 舍去), 则 f(0)=a+1<0, 解得 a<-1; ③当 a=-1 时,t=1,x=0 符合题意. 综上,a 的取值范围是(-∞,2-2 2]. 法二 (分离变量法) 2 +1 x 由方程,解得 a=- x ,设 t=2 (t>0), 2 +1
2x

9

则 a=-

2 2 ? t2+1 ? ? -1? =-?t+ =2-??t+1?+ , ? t+1? t+1 ? t+1 ? ? ? 2

其中 t+1>1,由基本不等式,得(t+1)+ 故 a≤2-2 2. 综上,a 的取值范围是(-∞,2-2 2].

t+1

≥2 2,当且仅当 t= 2-1 时取等号,

10.已知关于 x 的二次方程 x +2mx+2m+1=0 有两根,其中一根在区间(-1,0)内, 另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围. 解 由条件,抛物线 f(x)=x +2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)
2

2

内,如图所示,

? ?f?-1?=2>0, 得? f?1?=4m+2<0, ? ?f?2?=6m+5>0

f?0?=2m+1<0,

? ?m∈R, ?? 1 m<- , 2 ?m>-5. ? 6
m<- ,
1 2 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

5 1 即- <m<- . 6 2

1? ? 5 故 m 的取值范围是?- ,- ?. 2? ? 6

11.(2014·合肥检测)若函数 f(x)=ax -x-1 有且仅有一个零点,则实数 a 的取值为 ( ) A.0 1 C.0 或- 4 1 B.- 4 D.2

2

解析 当 a=0 时,函数 f(x)=-x-1 为一次函数,则-1 是函数的零点,即函数仅有 一个零点; 当 a≠0 时,函数 f(x)=ax -x-1 为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二次方程
2

ax2-x-1=0 有两个相等实根.∴Δ =1+4a=0,解得 a=- .
10

1 4

1 综上,当 a=0 或 a=- 时,函数仅有一个零点. 4 答案 C 12.(2014·洛阳统一考试)已知方程|x -a|-x+2=0(a>0)有两个不等的实数根,则 实数 a 的取值范围是( A.(0,4) C.(0,2)
2 2

) B.(4,+∞) D.(2,+∞)
2

解析 依题意,知方程|x -a|=x-2 有两个不等的实数根,即函数 y=|x -a|的图象 与函数 y=x-2 的图象有两个不同交点.如图,则 a>2,即 a>4,选 B.

答案 B 13.(2014·江苏卷)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时,f(x) 1 2 =|x -2x+ |.若函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的 2 取值范围是________. 解析 函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有互不相同的 10 个零点,即函数 y=f(x),x ∈[-3,4]与 y=a 的图象有 10 个不同交点, 在坐标系中作出函数 f(x)在一个周期内的图象 1 如图,可知当 0<a< 时满足题意. 2

? 1? 答案 ?0, ? 2 ? ?
14.已知二次函数 f(x)的最小值为-4,且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|- 1≤x≤3,x∈R}. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 g(x)= 解

f?x? -4ln x 的零点个数. x

(1)∵f(x)是二次函数, 且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|-1≤x≤3, x∈R},
2

∴f(x)=a(x+1)(x-3)=ax -2ax-3a,且 a>0.

11

∴f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1. 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=x -2x-3. (2)∵g(x)=
2

x2-2x-3 3 -4ln x=x- -4ln x-2(x>0), x x x x x

3 4 ?x-1??x-3? ∴g′(x)=1+ 2- = . 2 令 g′(x)=0,得 x1=1,x2=3. 当 x 变化时,g′(x),g(x)的取值变化情况如下:

x g′(x) g(x)

(0,1) + ?

1 0 极大值

(1,3) - ?

3 0 极小值

(3,+∞) + ?

当 0<x≤3 时,g(x)≤g(1)=-4<0. 又因为 g(x)在(3,+∞)单调递增,因而 g(x)在(3,+∞)上只有 1 个零点.故 g(x)在 (0,+∞)只有 1 个零点.

12


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