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2014年人教A版选修2-3教案 2.2.2 事件的独立性


2.2.2 事件的独立性
教学目标:
知识与技能:理解两个事件相互独立的概念。 过程与方法:能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 情感、态度与价值观:通过对实例的分析,会进行简单的应用。

教学重点:独立事件同时发生的概率 授课类型:新授课 课时安排:2 课时 教 教学过程:
一、复习引入:
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教学难点:有关独立事件发生的概率计算
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具:多媒体、实物投影仪

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1 事件的定义:随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件;
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必然事件:在一定条件下必然发生的事件; 不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件
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2.随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率

m 总是接近 n

某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P ( A) . 3.概率的确定方法: 通过进行大量的重复试验, 用这个事件发生的频率近似地作为它的概率; 4 .概率的性质:必然事件的概率为 1 ,不可能事件的概率为 0 ,随机事件的概率为

0 ? P (A ) ? 1 ,必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形
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5 基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果(事件 A )称为一个基本事件

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6.等可能性事件:如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可能性都 相等,那么每个基本事件的概率都是

1 ,这种事件叫等可能性事件 n m n

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7.等可能性事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果都是等可 能的,如果事件 A 包含 m 个结果,那么事件 A 的概率 P ( A) ? 8.等可能性事件的概率公式及一般求解方法
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9.事件的和的意义:对于事件 A 和事件 B 是可以进行加法运算的
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10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件. P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 一般地: 如果事件 A1 , A2 , 彼此互斥
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那么就说事件 A1 , A2 , , An 中的任何两个都是互斥的,

, An

11.对立事件:必然有一个发生的互斥事件. P( A ? A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? P( A)

12.互斥事件的概率的求法:如果事件 A1 , A2 ,

, An 彼此互斥,那么
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P( A1 ? A2 ?
探究:

? An ) = P( A1 ) ? P( A2 ) ?

? P( An )

(1)甲、乙两人各掷一枚硬币,都是正面朝上的概率是多少? 事件 A :甲掷一枚硬币,正面朝上;事件 B :乙掷一枚硬币,正面朝上 分别摸出 1 个球,它们都是白球的概率是多少? 事件 A :从甲坛子里摸出 1 个球,得到白球;事件 B :从乙坛子里摸出 1 个球,得到白 球
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(2)甲坛子里有 3 个白球,2 个黑球,乙坛子里有 2 个白球,2 个黑球,从这两个坛子里

问题(1)、(2)中事件 A 、 B 是否互斥?(不互斥)可以同时发生吗?(可以) 问题(1)、(2)中事件 A (或 B )是否发生对事件 B (或 A )发生的概率有无影响?(无 影响)
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思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件 A 为 “第一名同 学没有抽到中奖奖券”, 事件 B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件 A 的发生会影响事 件 B 发生的概率吗? 显然,有放回地抽取奖券时,最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张,因此第 一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响,即事件 A 的发生不会影响事件 B 发生的概率.于是 P(B| A)=P(B), P(AB)=P( A ) P ( B |A)=P(A)P(B). 二、讲解新课: 1.相互独立事件的定义: 设 A, B 为两个事件,如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件 A 与事件 B 相互独立 (mutually independent ) . 事件 A (或 B )是否发生对事件 B (或 A )发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做 相互独立事件
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若 A 与 B 是相互独立事件,则 A 与 B , A 与 B , A 与 B 也相互独立 2.相互独立事件同时发生的概率: P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

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问题 2 中, “从这两个坛子里分别摸出 1 个球, 它们都是白球” 是一个事件,它的发生, 就是事件 A , B 同时发生,记作 A ? B .(简称积事件) 从甲坛子里摸出 1 个球,有 5 种等可能的结果;从乙坛子里摸出 1 个球,有 4 种等可能 的结果 于是从这两个坛子里分别摸出 1 个球, 共有 5 ? 4 种等可能的结果 同时摸出白球的结
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果 有 3? 2 种 所 以 从 这 两 个 坛 子 里 分 别 摸 出 1 个 球 , 它 们 都 是 白 球 的 概 率
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P( A ? B) ?

3? 2 3 ? . 5 ? 4 10 3 ,从乙坛子里摸出 1 5

另一方面,从甲坛子里摸出 1 个球,得到白球的概率 P( A) ? 个球,得到白球的概率 P( B) ?

2 .显然 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 4
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这就是说,两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积 一般地, 如果事件 A1 , A2 , 率的积, 即

, An 相互独立,那么这 n 个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概

P( A1 ? A2 ?

? An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ?

? P( An ) .

3.对于事件 A 与 B 及它们的和事件与积事件有下面的关系:

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( A ? B)
三、讲解范例:

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例 1.某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券.奖券上有 一个兑奖号码, 可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动. 如果两次兑奖活动的中奖概率 都是 0 . 05 ,求两次抽奖中以下事件的概率: (1)都抽到某一指定号码; (2)恰有一次抽到某一指定号码; (3)至少有一次抽到某一指定号码. 解: (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件 A, “第二次抽奖抽到某一指定号 码”为事件 B ,则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件 AB.由于两次抽奖结果互 不影响,因此 A 与 B 相互独立.于是由独立性可得,两次抽奖都抽到某一指定号码的概率 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025. (2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A B )U( A B)表示.由于事 件 A B 与 A B 互斥,根据概率加法公式和相互独立事件的定义,所求的概率为 P (A B )十 P( A B)=P(A)P( B )+ P( A )P(B ) = 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095. ( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用(AB ) U ( A B )U( A B)表 示.由于事件 AB , A B 和 A B 两两互斥,根据概率加法公式和相互独立事件的定义,所求 的概率为 P ( AB ) + P(A B )+ P( A B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5. 例 2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击 1 次,甲射中的概率为 0.8 ,乙射中的概率 为 0.9 ,求:

(1) 2 人都射中目标的概率; (2) 2 人中恰有 1 人射中目标的概率; (3) 2 人至少有 1 人射中目标的概率; (4) 2 人至多有 1 人射中目标的概率? 解:记“甲射击 1 次,击中目标”为事件 A ,“乙射击 1 次,击中目标”为事件 B ,则

A 与 B , A 与 B , A 与 B , A 与 B 为相互独立事件,
(1) 2 人都射中的概率为:

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 0.8 ? 0.9 ? 0.72 ,
∴ 2 人都射中目标的概率是 0.72 . (2)“ 2 人各射击 1 次,恰有 1 人射中目标”包括两种情况:一种是甲击中、乙未击中 (事件 A ? B 发生),另一种是甲未击中、乙击中(事件 A ? B 发生) 根据题意,事件 A ? B
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与 A ? B 互斥,根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,所求的概率 为:

P( A ? B) ? P( A ? B) ? P( A) ? P(B) ? P( A) ? P(B)
? 0.8 ? (1 ? 0.9) ? (1 ? 0.8) ? 0.9 ? 0.08 ? 0.18 ? 0.26
∴ 2 人中恰有 1 人射中目标的概率是 0.26 . (3)(法 1):2 人至少有 1 人射中包括“2 人都中”和“2 人有 1 人不中”2 种情况, 其概率为 P ? P( A ? B) ? [ P( A ? B) ? P( A ? B)] ? 0.72 ? 0.26 ? 0.98 . (法 2):“2 人至少有一个击中”与“2 人都未击中”为对立事件, 2 个都未击中目标的概率是 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? (1 ? 0.8)(1 ? 0.9) ? 0.02 , ∴“两人至少有 1 人击中目标”的概率为 P ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? 0.02 ? 0.98 . (4)(法 1):“至多有 1 人击中目标”包括“有 1 人击中”和“2 人都未击中”, 故所求概率为:

P ? P( A ? B) ? P( A ? B) ? P( A ? B) ? P( A) ? P(B) ? P( A) ? P(B) ? P( A) ? P(B)
? 0.02 ? 0.08 ? 0.18 ? 0.28 .
(法 2):“至多有 1 人击中目标”的对立事件是“2 人都击中目标”, 故所求概率为 P ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? P( A) ? P( B) ? 1 ? 0.72 ? 0.28 例 3.在一段线路中并联着 3 个自动控制的常开开关,
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JA JB JC

只要其中有 1 个开关能够闭合,线路就能正常工作 假定在某段时间内每个开关能够闭合的
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概率都是 0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率

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解:分别记这段时间内开关 J A , J B , J C 能够闭合为事件 A , B , C . 由题意,这段时间内 3 个开关是否能够闭合相互之间没有影响 根据相互独立事件的概
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率乘法公式,这段时间内 3 个开关都不能闭合的概率是

P( A ? B ? C) ? P( A) ? P(B) ? P(C)

? ?1 ? P( A)??1 ? P(B)??1 ? P(C)? ? (1 ? 0.7)(1 ? 0.7)(1 ? 0.7) ? 0.027
∴这段时间内至少有 1 个开关能够闭合,,从而使线路能正常工作的概率是

1 ? P( A ? B ? C) ? 1 ? 0.027 ? 0.973 .
答:在这段时间内线路正常工作的概率是 0.973 . 变式题 1:如图添加第四个开关 J D 与其它三个开关串联,在某段时间内此开关能够闭 合的概率也是 0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率 ( ?1 ? P( A ? B ? C ) ? ? P( D) ? 0.973 ? 0.7 ? 0.6811 )
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?

?

变式题 2:如图两个开关串联再与第三个开关并联,在某段时间内每个开关能够闭合的 概率都是 0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率
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方法一: P( A ? B ? C) ? P( A ? B ? C) ? P( A ? B ? C) ? P( A ? B ? C) ? P( A ? B ? C )

? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C )
? 0.847
方法二:分析要使这段时间内线路正常工作只要排除 J C 开且 J A 与 J B 至少有 1 个开的情况
JC
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JA

JB

1 ? P(C ) ?1 ? P( A ? B)? ? 1 ? 0.3 ? (1 ? 0.72 ) ? 0.847
例 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为 0.2. (1)假定有 5 门这种高炮控制某个区域,求敌机进入这个区域后未被击中的概率; (2)要使敌机一旦进入这个区域后有 0.9 以上的概率被击中,需至少布置几门高炮? 分析:因为敌机被击中的就是至少有 1 门高炮击中敌机,故敌机被击中的概率即为至少 有 1 门高炮击中敌机的概率
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解:(1)设敌机被第 k 门高炮击中的事件为 AK (k=1,2,3,4,5),那么 5 门高炮都未击 中敌机的事件为 A 1 ? A2 ? A 3?A 4?A 5 .

∵事件 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 相互独立, ∴敌机未被击中的概率为

P( A1 ? A2 ? A3 ? A4 ? A5 ) = P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? P( A4 ) ? P( A5 )
4 ? (1 ? 0.2)5 ? ( ) 5 5
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∴敌机未被击中的概率为 ( ) . (2)至少需要布置 n 门高炮才能有 0.9 以上的概率被击中,仿(1)可得:

4 5

5

4 n 5 4 n 4 n 1 ∴令 1 ? ( ) ? 0.9 ,∴ ( ) ? 5 5 10
敌机被击中的概率为 1- ( ) 两边取常用对数,得 n ?

1 ? 10.3 1 ? 3lg 2

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∵ n ? N ,∴ n ? 11

?

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∴至少需要布置 11 门高炮才能有 0.9 以上的概率击中敌机

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点评:上面例 1 和例 2 的解法,都是解应用题的逆向思考方法 采用这种方法在解决带
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有词语“至多”、“至少”的问题时的运用,常常能使问题的解答变得简便 四、课堂练习: 1.在一段时间内,甲去某地的概率是

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1 1 ,乙去此地的概率是 ,假定两人的行动相互之 4 5

间没有影响,那么在这段时间内至少有 1 人去此地的概率是( )

( A)

3 20

(B)

1 5

(C )

2 5

( D)

9 20

2.从甲口袋内摸出 1 个白球的概率是 袋内各摸出 1 个球,那么

1 1 ,从乙口袋内摸出 1 个白球的概率是 ,从两个口 3 2


5 等于( 6

( A) 2 个球都是白球的概率 (C ) 2 个球不都是白球的概率

( B ) 2 个球都不是白球的概率 ( D) 2 个球中恰好有 1 个是白球的概率

3.电灯泡使用时间在 1000 小时以上概率为 0.2,则 3 个灯泡在使用 1000 小时后坏了 1 个 的概率是( )

( A) 0.128

( B ) 0.096

(C ) 0.104

( D) 0.384

4.某道路的 A 、 B 、 C 三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为 25 秒、35 秒、45 秒,某辆车在这条路上行驶时,三处都不停车的概率是 ( )

( A)

35 192

(B)

25 192

(C )

35 576

( D)

65 192


5.(1)将一个硬币连掷 5 次,5 次都出现正面的概率是

(2)甲、乙两个气象台同时作天气预报,如果它们预报准确的概率分别是 0.8 与 0.7,那 么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是 6.棉籽的发芽率为 0.9,发育为壮苗的概率为 0.6, (1)每穴播两粒,此穴缺苗的概率为 (2)每穴播三粒,此穴有苗的概率为 ;此穴无壮苗的概率为 ;此穴有壮苗的概率为 . . .

7.一个工人负责看管 4 台机床,如果在 1 小时内这些机床不需要人去照顾的概率第 1 台是 0.79,第 2 台是 0.79,第 3 台是 0.80,第 4 台是 0.81,且各台机床是否需要照顾相互之间 没有影响,计算在这个小时内这 4 台机床都不需要人去照顾的概率. 8.制造一种零件,甲机床的废品率是 0.04,乙机床的废品率是 0.05.从它们制造的产品中 各任抽 1 件,其中恰有 1 件废品的概率是多少? 9.甲袋中有 8 个白球,4 个红球;乙袋中有 6 个白球,6 个红球,从每袋中任取一个球,问 取得的球是同色的概率是多少? 答案:1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1)

1 32

(2) 0.56

6.(1) 0.01 , 0.16
2 2

(2) 0.999 , 0.936

7. P= 0.79 ? 0.81 ? 0.404 8. P= 0.04 ? 0.95 ? 0.96 ? 0.05 ? 0.086 9. 提示: P ?

8 6 4 6 1 ? ? ? ? 12 12 12 12 2

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五、小结 :两个事件相互独立,是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概 率没有影响 一般地,两个事件不可能即互斥又相互独立,因为互斥事件是不可能同时发生
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的,而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的 相互独立事件同时发生的概率等于每
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个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的 六、课后作业: 七、板书设计(略) 八、教学反思: 1. 理解两个事件相互独立的概念。 2. 能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 3. 通过对实例的分析,会进行简单的应用。
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