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(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)3.2

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讲案 3.2 等差数列 课前自主研习 温故而知新 可以为师矣 知 识 导 读 1.等差数列的判定与证明方法 (1) 定 义 法 : ______________________________. (2) 等 差 中 项 法 : __________________________. (3) 通 项 公 式 法 : __________________________. (4) 前

n 项 和 公 式 法 : ______________________. 2.等差数列的通项公式 (1) 原 型 结 构 式 : an = ____________________. (2) 变 形 结 构 式 : an = am + ________________(n>m). 3.等差数列的前 n 项和公式 (1)原型结构式:Sn =__________= ____________. (2) 二 次 函 数 型 结 构 式 : Sn = ________________.

4.等差数列的常用性质 (1)等差数列{an}中, n、 q∈N*, m、 p、 若 m+n=p+q, am+an=__________. 则 若 m + n = 2p , 则 am + an = ____________________. (2)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 当 n 为奇数时,Sn=n· ________;S 奇-S S奇 =________;当 n 为偶 偶=________; S偶 n 数 时 , Sn = 2 ________ ; S 偶 - S 奇 = S奇 __________; =________. S偶 (3)若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, Sm-Sn Sm+n 则 ______ (m , n∈N* , 且 m-n m+n m≠n);若 m+n=p+q(m、n、p、q∈N* Sm-Sn 且 m≠n , p≠q) , 则 m-n Sp-Sq __________ . p-q (4)若等差数列{an}中,公差为 d,依

次 k 项 和 Sk , S2k - Sk , S3k - S2k 成 __________ 数 列 , 新 公 差 d′ = __________. (5)若 Sn、Sn′分别为两个等差数列 an {an} 、 {bn} 的 前 n 项 和 , 则 b = n __________. 5.等差数列中解题经验与技巧 (1)等差数列{an}中, a1>0, 若 d<0, 则 Sn 有最________值,可由不等式组 __________来确定;若 a1<0,d>0,则 Sn 有 最 __________ 值 , 可 由 不 等 式 组 __________来确定. (2)三个数成等差数列可设三数为 __________,四个数成等差数列可设四 数为____________________. 导读校对:1.(1)an-an-1=d(常数), n≥2, n∈N* (2)2an=an-1+an+1, n≥2, n∈N* (3)an = a1 + (n - 1)d , n∈N* n?n-1? (4)Sn=a1n+ 2 d,n∈N* 2.(1)a1+ n?a1+an? (n - 1)d (2)(n - m)d 3.(1) 2

n?n-1? na1 + 2 d aq 2ap n d 2·
2

(2)A·2 +B· n n a n?1
2

4.(1)ap + (a n +
2

(2)a n?1

n+1 n-1 =

an
2

an )
2 +1

an
2

(3)=

(4)等差
?an≥0, ? ? ?an+1≤0 ?

?1

k2 d 小

S2n-1 (5) S′2n-1
?an≤0, ? ? ?an+1≥0 ?

5.(1) 大

(2)a-d,a,a+d

a-

3d,a-d,a+d,a+3d 基 础 热 身 1.各项均不为零的等差数列{an}中, 若 a2-an-1-an+1=0(n∈N*,n≥2),则 n S2009 等于( ) A.0 B.2 C.2009 D.4018 解 析 : 各 项 均不为零的等差数列 {an},由于 a2 -an -1 -an + 1 =0(n∈N* , n n≥2), a2-2an=0, n=2, 2009=4018. 则 n a S

答案:D 2.已知等差数列的公差为 d,a1= -24,从第 10 项开始为正数,则 d 的取 值范围是( ) 8 8 8 A. 3 B. d> d<3 C.3≤d<3 D.3 <d≤3 ?a9≤0 ? 解 析 : 由 题 设 ? 即 ?a10>0 ?
?-24+8d≤0 ? ? ?-24+9d>0 ?

8 解得:3<d≤3. 答案:D 3.设数列{an}、{bn}都是等差数列, 且 a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么 由 an+bn 所组成的数列的第 37 项的值是 ( ) A.0 B.37 C.100 D.-37 解析:设{an}的公差为 d1,{bn}的公 差为 d2,则 an=a1+(n-1)d1,bn=b1+ (n-1)d2,

∴an + bn = (a1 + b1) + (n - 1)(d1 + d2), ∴{an+bn}也是等差数列. 又 a1+b1=100,a2+b2=100, ∴{an+bn}是常数数列,故 a37+b37 =100. 答案:C 4.(2010· 全国卷Ⅱ)在等差数列{an} 中,若 a3+a4+a5=12,则 a1+a2+?+ a7=( ) A.14 B.21 C.28 D.35 解析: 3+a4+a5=12, ∵a ∴3a4=12, a4=4,∴a1+a2+?+a7=(a1+a7)+(a2 +a6)+(a3+a5)+a4=7a4=28. 答案:C 5.等差数列{an}中,Sn 是其前 n 项 S2007 S2005 和, 1=2008, a 则 2007-2005=-2, S2008 的值为( ) A.-2006 B.2006 C.-2008 D.2008 解析:等差数列{an}中,Sn 是其前 n

Sn 项和,则数列{ n }也为等差数列,又 a1 S2007 S2005 Sn =2008,2007-2005=-2,则{ n }是以 2008 为首项,-1 为公差的等差数列, S2008 S 2008=2008+(2008-1)×(-1)=1, 2008 的值为 2008. 答案:D 思维互动启迪 博学而笃志 切问而近思 疑难精讲 1.等差数列的五个基本量:a1,an, n,d,Sn ,一般可以“知三求二”,通 过列方程(组)求关键量 a1,d,其余问题 可解. 2.已知三个数成等差数列,可设这 三个数为 a,a+d,a+2d;也可设为 a -d,a,a+d;若四个数成等差数列, 可设为 a-3d,a-d,a+d,a+3d. 3.等差数列中几个重要结论 (1){an}是等差数列,若 ap=q,aq=

p, ap+q=p+q(其中 p, 则 q∈N*, p≠q); 且 (2){an}是等差数列,若 Sp=q,Sq= p,则 Sp+q=-(p+q)(其中 p,q∈N*,且 p≠q); (3){an}是等差数列,Sn 是其前 n 项 和,若 Sp=Sq,则: ①a1>0 时,Sn 有最大值,且 p、q p+q 奇偶性相同时, 2 为最大值(仅一解); S p、q 奇偶性不同时,S p ? q ?1 =S p ? q ?1 都是
2 2

最大值(两解)(其中 p,q∈N*,且 p≠q); ②a1<0 时,Sn 有最小值,且 p、q 奇偶性相同时,S p?q 为最小值(一解);p、
2

q 奇偶性不同时,S p ? q ?1 =S p ? q ?1 都是最小
2 2

值(两解)(其中 p,q∈N*,且 p≠q). 互动探究 题型 1.等差数列中基本量的计算 例1 在等差数列{an}中, (1)已知 a15=33,a45=153,求 a61;

(2)已知 S8=48,S12=168,求 a1 和 d; (3)已知 a6=10,S5=5,求 a8 和 S8; (4)已知 a16=3,求 S31. 【解析】 (1)解法一: 设首项为 a1, 公 差 为 d , 依 题 设 条 件 , 得 ?33=a1+14d, ? ? 解方程组得 a1=-23, ?153=a1+44d. ? d=4. ∴a61=-23+(61-1)×4=217. an-am 解法二:由 d= ,得 d= n-m a45-a15 153-33 = 30 =4,由 an=am+(n- 45-15 m)d,得 a61 =a45 +16d=153+16×4= 217. 1 (2)∵Sn=na1+2n(n-1)d, ?8a1+28d=48, ? ∴? ?12a1+66d=168. ? 解方程组得 a1=-8,d=4.

(3)∵a6 = 10 , S5 = 5 , ?a1+5d=10, ? ∴? ?5a1+10d=5. ? 解方程组得 a1=-5,d=3. ∴a8 =a6 +2d=10+2×3=16,S8 8?a1+a8? = =44. 2 a1+a31 (4)S31 = ×31 = a16×31 = 2 3×31=93. 题型 2 等差数列的判定与证明 1 例 2.已知数列{an},n∈N+,n=8(an a S +2)2, (1)求证{an}是等差数列. 1 (2)若 bn=2an-30,求数列{bn}的前 n 项和的最小值. 1 【解析】 (1)an+1=Sn+1-Sn=8(an+ 1 2 2 1+2) - (an+2) 8

∴8an+1=(an+1+2)2-(an+2)2 ∴(an+1-2)2-(an+2)2=0 ∴(an+1+an)(an+1-an-4)=0 ∵an∈N+ ∴an+1+an≠0 ∴an+1-an-4=0,即 an+1-an=4 ∴数列{an}是等差数列. 1 (2)由(1)知:a1=S1=8(a1+2)2. 解得 a1=2 1 ∴an=4n-2,则 bn=2an-30=2n -31. ?2n-31<0 ? 29 31 解? 得 2 ≤n< 2 ?2?n+1?-31≥0 ? ∵n∈N+,∴n=15 ∴{an}前 15 项为负值,∴S15 最小 可知 b1=-29 d=2 15?-29+2n-31? ∴S15 = = 2 15×?-60+30? =-225. 2

题型 3 等差数列性质的应用 例 3.(1)一个等差数列的前 12 项和为 354,前 12 项中偶数项之和与奇数项之 和的比为 32∶27,求公差 d; (2)在等差数列{an}中, 已知 S9=18, an-4=30(n>9),Sn=240,求 n. 【 解 析 】 (1) 由 题 意 可 得 ?S奇+S偶=354, ? ? ?S偶∶S奇=32∶27, ?
?S偶=192, ? ?? ?S奇=162. ?

又 S 偶-S 奇=6d=30.∴d=5. 9 (2)由 S9=2(a1+a9)=9a5=18,∴a5 =2. n n n 又 Sn=2(a1+an)=2(a5+an-4)=2(2 +30)=240,∴n=15. 题型 4.等差数列中的范围与最值问 题

例 4.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差 d 的取值范围; (2)指出 S1,S2,?,S12 中哪一个最 大,并说明原因. 【解析】 (1)设数列首项为 a1,公 差为 d,由题意 1 ? ?S12=12a1+2×12×?12-1?d>0, ? ?S13=13a1+1×13×?13-1?d<0. 2 ? 将 a1=a3-2d=12-2d 代入, ?24+7d>0, ? 24 ? 得 ∴- 7 <d<-3. ?3+d<0, ? n?n-1? (2)解法一:Sn=na1+ 2 d=(12 ? n?n-1?d d 2 ?5 -2d)n+ =2n -?2d-12?n, 2 ? ? 24 其中- 7 <d<-3. 由二次函数知识,可求得 n=6. 解法二:因 an=a1+(n-1)d=12+

(n-3)d, 由
?an≥0, ? ? ?an+1≤0, ?



?12+?n-3?d≥0, ? ? ?12+?n-2?d≤0. ?

-12 -12 所以 d +2≤n≤ d +3. 24 11 ∵- 7 <d<-3,∴ 2 <n<7,∴n =6. 解法三:由 S13=13a7<0,S12=6(a6 +a7)>0, ∴a7<0,a6>0,∴前 6 项和最大. 错解辨析 例 5.已知数列{an}的通项公式是 an =4n-25,求数列{|an|}的前 n 项和. 【错解一】 ∵an=4n-25,∴an+1 =4(n+1)-25 ∴an+1-an=4,1=4×1-25=-21 a 所以,数列{an}是以-21 为首项, 以 4 为公差的等差数列.从而可得数列

{|an|}是以 21 为首项,以-4 为公差的等 n?n-1? 差数列,其前 n 项和 Sn=21n+ 2 ×(-4)=-2n2+23n 【错解二】 an=4n-25; n+1=4(n a +1)-25;an + 1 -an =4;a1 =4×1-25 =-21. 所以数列{an}是以-21 为首项, 4 以 为公差的递增等差数列. ?an=4n-25<0 ① ? 令? ?an+1=4?n+1?-25≥0 ② ? 1 1 由①得 n<64,由②得 n≥54,所以 n=6. 即数列{an}的前 6 项为负值, 从第 7 项起以后各项均为非负值. 所以数列{|an|}的前 6 项是首项为 21, 公差为-4 的等差数列, 从第 7 项起 以后各项构成公差为 4 的等差数列. |a7|=a7=4×7-25=3 所以数列{|an|}的前 n 项和为

n?n-1? ? ?n≤6? ?21n+ 2 ?-4? ? ?3n+n?n-1?×4 ?n≥7? 2 ?
?-2n2+23n ?n≤6? ? =? 2 ?2n +n ?n≥7? ?

【错因】 错解一中把数列{an}各项 的符号都看成了负数,事实上是不可能 的,因为首项为负,而公差为正. 错解二对数列前 n 项和 Sn 的含义认 识不深刻,得出数列{|an|}前 n 项和的表 达式,当 n≥7 时的情况,忽略了数列的 前 6 项,因而导致错误. 【正解】 an=4n-25 an+1=4(n+1)-25 an+1-an=4 a1=4×1-25=-21. 所以数列{an}是以-21 为首项, 4 以 为公差的递增等差数列. ?an=4n-25<0 ① ? 令? ?an+1=4?n+1?-25≥0 ② ?

1 1 由①得 n<64;由②得 n≥54 n=6

所以

即数列{|an|}的前 6 项是以 21 为首 项, 公差为-4 的等差数列, 从第 7 项起 以后各项构成公差为 4 的等差数列, 而|a7|=a7=4×7-25=3 设{an}和{|an|}的前 n 项和分别为 Sn、 Tn 则 Tn=
错误!

?-2n+23n ?n≤6? ? =? 2 ?2n -23n+132 ?n≥7? ?


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