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【数学】1.7.1 定积分在几何中的应用 课件(人教A版选修2-2)


第一章 导数及其应用 1.7.1 定积分在几何中的应用

一、复习引入

1、定积分的几何意义:
b a

当 f(x)?0 时,积分? f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、

x?a、x?b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y
b

y ? f (x )
c

y

f (x)dx ??? S f (x)dx? ? ? a a c ?a f (x)dx ? ?a f (x)dx? ?c f (x)dx。
b c
b

Oa

b x b

f(

O a

b x 当f(x)?0时,由y?f (x)、x?a、x?b 与 x 轴

y ? f (x )

所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方,

2.微积分基本定理: 如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,

且F?(x)=f(x),那么:

?

b

a

f ( x)d x ? F (b) - F (a)

二、新课讲解
1.几种典型的平面图形面积的计算: 类型1:求由一条曲线y=f(x)和直线 x=a,x=b(a<b)及x轴所围成平面图形的面积S
y

y ? f ( x)

y

y ? f ( x)
c
(3)

o

a
(1)

b
b
c

x

oa
(2)

b

x

(1) S ? ? f ( x)dx
a
a

(3) S ?| ? f ( x)dx | ? ? f ( x)dx ? -? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
c a c

b

(2) S ? -? f ( x)dx
c

b

a

b

类型2:由两条曲线y=f(x)和y=g(x),直线 x=a,x=b(a<b)所围成平面图形的面积S
y ? f ( x)
y ? g ( x)

y

y ? f ( x)

o

a
y ? g ( x)

b x
(2)

(1)
b b b

(1) S ? ? f ( x)dx - ? g ( x)dx ? ? [ f ( x) - g ( x)]dx
(2) S ? ? f ( x)dx? | ? g ( x)dx |? ? [ f ( x) - g ( x)]dx
a a a

a b

a b

a b

例题讲解
例 1. 计算由两条抛物线 y ? x 和 y ? x 围成图形的面积.
2 2

分析:首先画出草图.从图中可以看出,所求 图形的面积可以转化为两个曲边梯形面积的 差,进而可以用定积分求面积s.为了确定出 被积函数和积分的上、下限,我们需要求 出两条曲线的交点的横坐标.

解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
? ?x ? 0 ?x ? 1 ?y ? x 解方程组? ?? 或? 2 ? ?y ? 0 ?y ?1 ?y ? x

y yy ?? x x
2

B

C

即两曲线的交点为(0,0),(1,1)

y ? x2

o D

S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
2 x 1 1 S = ( x - x )dx ? ( x - ) |0 ? . 0 3 3 3

y? x
A

x 2

??

1

?

0 1

xdx - ? x dx
2 0
2

1

O
3

3 2

2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:
(1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标,确定图形范围(积分的上限,下限)

(3) 写出平面图形的定积分表达式;
(4)运用微积分基本定理计算定积分,求出面积。

例2.计算由曲线 y ? 2 x 直线y=x-4以及x轴围成图形 的面积. 解: 作出y=x-4, y ? 2x 的图 象如图所示:
? y ? 2x 解方程组: ?

得:直线y=x-4与 y ? 2 x 交点为 (8,4)直线y=x-4与x轴的交点为 (4,0) 因此,所求图形的面积为一 个曲边梯形与一三角形面积 之差: 8 8 40 本题还有其他解法吗? S ? ? 2 x dx - ? ( x - 4)dx ? 0 4 3

?y ? x - 4

另解1:将所求平面图形的面 积分割成左右两个部分。
S ? S1 ? S2 ? ?
4

y ? 2x

S S
1 2

4

0

2 xdx ? [?
8

8

4

2 xdx - ? ( x - 4)dx]
4
8

8

2 2 3 2 2 3 1 40 2 2 ? x ? x - ( x - 4) ? 3 3 2 3 0 4 4

y ? x-4

另解2:将所求平面图形的面积 看成位于y轴右边的一个梯形与 一个曲边梯形的面积之差,因此 取y为积分变量, 还需要把函数y=x-4变形为 y2 x=y+4,函数 y ? 2 x 变形为 x ?

S ? ? ( y ? 4)dy - ?
0

4

4

0

y 40 dy ? 2 3

2

2

A

思考:将曲线沿x轴旋转, 与直线相交于一点,求曲 线与直线围成的面积。

S1 S1
B

S2

解法1:
S ? 2S1 ? S2 ? 2?
2 0 2 8 0 8 2

2 xdx ? ? ( 2 x - x ? 4)dx

? ? 2 2 xdx ? ? ( 2 x - x ? 4)dx
2

3 4 2 3 2 2 1 2 16 64 26 8 2 2 2 ? x |0 ?( x - x ? 4 x) |2 ? ? ? 18 3 3 2 3 3 3

思考:将取y为积分变量, 把函数y=x-4变形为x=y+4, 2 y 函数 x ? 变形为 y ? 2x 2
A

解法2:

y S ? ? [( y ? 4) - ]dy -2 2
4

2

B

y ? 2

2

y ? 4y 6 -2 -2

4

4

3

4

? 18

-2

课堂小结

1.思想方法: 数形结合及转化. 2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:
(1)作出示意图;(弄清相对位置关系)
(2)求交点坐标,确定图形范围(积分的上限,下限) (3)写出平面图形的定积分表达式;

(4)运用微积分基本定理计算定积分,求出面积。

课堂练习
练习1. 求抛物线y=x2-1,直线x=2,y=0所围

成的图形的面积。
解:如图:由x2-1=0得到抛物线

与x轴的交点坐标是(-1,0),
(1,0).所求面积如图阴影所示: 所以:

y

S ? ? ( x - 1)dx -? ( x - 1)dx
2 2 1 -1

2

1

x x 8 ? ( - x) - ( - x) ? 3 3 3 1 -1

3

2

3

1

练习2. 求抛物线y=x +2与直线y=3x和x=0 所围成的图形的面积。
解:
y
2 2

2

S ? ? ( x ? 2 - 3x)dx ? ? (3x - x 2 - 2)dx
0 1

1

x 3x 3x x ? ( ? 2x ) ?( - - 2 x) 3 2 0 2 3 1 5 1 ? ? ?1 6 6

3

2

1

3

3

2

x


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