nbhkdz.com冰点文库

广东省六校2014届高三上学期第一次联考数学文试题


广东省六校 2014 届高三第一次联考试题 文 科 数 学
本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟. 参考公式:球的体积公式是 V ?

4 ? R3 ,其中 R 是球的半径. 3 1 棱锥的体积公式: V ? Sh .其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高. 3

一、选择题(本大题共 1

0 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. )
2 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? ? x | ?2 ≤ x ≤ 3? , B ? x | x ? 3 x ? 4 ? 0 ,那么 A ? (CU B) ? (

A. ? x | ?2 ≤ x ? 4? 2.函数 y ? 2 sin(

B. ? x | x ≤ 3或x ≥ 4? )

?

C. ? x | ?2 ≤ x ? ?1?

?



D. ? x | ?1 ≤ x ≤ 3?

?
2

? 2 x) 是(

B.最小正周期为 ? 的奇函数 ? ? C.最小正周期为 的偶函数 D.最小正周期为 的奇函数 2 2 3.已知命题 p : ? x ? 1 , x 2 ? 1 ? 0 ,那么 ?p 是( ) A. ? x ? 1 , x 2 ? 1 ? 0 C. ? x ? 1 , x 2 ? 1 ? 0 B. ? x ? 1 , x 2 ? 1 ? 0 D. ? x ? 1 , x 2 ? 1 ? 0 第 5 题图 )

A.最小正周期为 ? 的偶函数

4.已知 i 是虚数单位,则复数 z ? i 3 ? (?1 ? 2i) 的虚部为( ) A. ?2 B. 2 C. ?1 D. 1 5.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的体积是( A. 4? B.

14? D. 5? 3 ?y≥ x ? 6.设变量 x,y 满足约束条件: ? x ? 2 y ≤ 2 ,则 z ? x ? 3 y ? 2 的最小值为( ? x ≥ ?2 ? A. ?2 B. ?4 C. ?6 D. ?8 2 7.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n ? 2n ,则 a2 ? a18 =( )
C.

13? 3



A.36 B.35 C.34 D.33 8.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a 2 ? b2 ? 2bc , sin C ? 3sin B ,则 A ? ( A.



? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

9.若右边的程序框图输出的 S 是 126,则条件①可为( ) A. n ? 5 B. n ? 6 C. n ? 7 D. n ? 8

x2 y 2 ? =1 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P 是椭圆上任意一点, 4 3 ??? ??? ? ? 则 PF 1 ? PF 2 的取值范围是( )
10.椭圆 A. (0, 4] B. (0,3] C. [3, 4) D. [3, 4] 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题 是选做题,考生只需选做其中一题,两题全答的,只以第一小题计分. ) 11.设平面向量 a ? ? 3,5 ? , b ? ? ?2,1? ,则 a ? 2b ? _________. 第 9 题图

?

?

?

?

12.若直线 l 与幂函数 y ? x n 的图象相切于点 A (2,8) ,则直线 l 的方程为__________________.

C

4 4 ( x ? 0) 3 3 14. (坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线 C1 : ? ? 2sin ? 与 C2 : ? ? 2cos ? 的交点分别为 A、B ,则线段 AB 的垂直平分线的极坐标方程为________________. 15. (几何证明选讲)如右图,从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC , A 已知 AD ? 2 3 , AC ? 6 ,圆 O 的半径为 3 ,则圆心 O 到直线 AC 的距离为_________.
13.已知函数 f ( x) ? ? ,则 f ( ) ? f (? ) ? _________.

? cos ? x ? f ( x ? 1) ? 1

( x ≤ 0)

B

O

D

三、解答题(本部分共计 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 1) 0) sin 16. (本小题满分 12 分) 已知平面直角坐标系上的三点 A(0, ,B(?2, ,C (cos ?, ? )( ? ? (0, ? ) ) ,

???? ??? ? O 为坐标原点,向量 BA 与向量 OC 共线. ?? ? (1)求 tan ? 的值; (2)求 sin ? 2? ? ? 的值. 4? ?

17. (本小题满分 12 分)某小组共有 A、B、C、D、E 五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标 2 (单位:千克/米 )如下表所示: A B C D E 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 身高 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 体重指标 1.80 的同学中任选 2 人,求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率; (1)从该小组身高低于 (2)从该小组同学中任选 2 人,求选到的 2 人身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率.

18. (本小题满分 14 分)如图,在底面为平行四边形的四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, D1 D ? 底面 ABCD , AD ? 1 , CD ? 2 , ?DCB ? 60? . D C (1)求证:平面 A1 BCD1 ? 平面 BDD1 B1 ; (2)若 D1D ? BD ,求四棱锥 D ? A1 BCD1 的体积. A
1 1

B
1

1

D A 第 18 题 图 B

C

? a 19. 本小题满分 14 分) {a n } 是各项都为正数的等比数列, bn ?是等差数列, a1 ? b1 ? 1 , 3 ? b5 ? 13 , ( 设 且
(1)求数列 {a n } ,?bn ?的通项公式; (2)设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,求数列 {S n ? bn } 的前 n 项和 Tn .

a5 ? b3 ? 21.

20. (本小题满分 14 分)已知抛物线 C1 : y ? 8 x 与双曲线 C2 :
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 有公共焦点 F2 , a 2 b2

点 A 是曲线 C1 , C2 在第一象限的交点,且 AF2 ? 5 . (1)求双曲线 C2 的方程;

3 x 相切,圆 N : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 .过点 P(1, 3) 作互相垂直且分别与圆 M 、圆 N 相交的直线 l1 和 l 2 ,设 l1 被圆 M 截得的弦长为 s ,l 2 被圆 N 截 s 得的弦长为 t ,问: 是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由. t
(2)以双曲线 C2 的另一焦点 F1 为圆心的圆 M 与直线 y ?

21. (本小题满分 14 分)已知 P ? x, y ? 为函数 y ? 1 ? ln x 图象上一点,O 为坐标原点,记直线 OP 的斜率

k ? f ? x? .

1? ? ? m ? 0 ? 上存在极值,求实数 m 的取值范围; 3? t (2)当 x ? 1时,不等式 f ? x ? ? 恒成立,求实数 t 的取值范围; x ?1
(1)若函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ? (3)求证:

? ?

? ln[i ? (i ? 1)] ? n ? 2 ? n ? N ? .
n * i ?1

广东省六校 2014 届高三第一次联考文科数学参考答案
一.选择题(10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 A 3 A 4 D 5 B 6 C 7 C 8 B 9 B 10 D

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. 5 2 12. 12 x ? y ? 16 ? 0 13. 1 14. ? sin(? ?

?
4

)?

2 (与其等价的极坐标方程皆可) 2
??? ? ????

15. 5

三.解答题(本部分共计 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 12 分) 解: (1)法 1:由题意得: BA ? (2,1) , OC ? (cos ? ,sin ? ) , …………………2 分

1 . …………………5 分 2 ??? ? ???? 法 2:由题意得: BA ? (2,1) , OC ? (cos ? ,sin ? ) , …………………2 分 ??? ???? ? ??? ? ???? ?2 ? ? cos ? 1 ∵ BA // OC ,∴ BA ? ? OC ,∴ ? ,∴ tan ? ? .…………………5 分 2 ? 1 ? ? sin ? 1 ? (2)∵ tan ? ? ? 0 , ? ?[0, ? ) ,∴ ? ? (0, ) ,…………………6 分 ks5u 2 2 ? sin ? 1 ? ? 5 2 5 由 ? cos ? 2 ,解得 sin ? ? , cos ? ? , …………………8 分 5 5 ?sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ?
∵ BA // OC ,∴ 2sin ? ? cos? ? 0 ,∴ tan ? ?

??? ???? ?

5 2 5 4 ? ? ;…………………9 分 5 5 5 4 1 3 cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? ? ? ;…………………10 分 5 5 5 ? ? ? 4 2 3 2 2 ∴ sin(2? ? ) ? sin 2? cos ? cos 2? sin ? ? . …………………12 分 ? ? ? 4 4 4 5 2 5 2 10
∴ sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ? 17. (本小题满分 12 分) 解: (1)从身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件有: (A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共 6 个. 由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.…………………………4 分 选到的 2 人身高都在 1.78 以下的事件有:(A,B),(A,C),(B,C),共 3 个. 因此选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率为 P ? 1

3 1 ? .…………………………6 分 6 2

(2)从该小组同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D), (A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共 10 个. 由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.…………………………10 分 选到的 2 人身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有: (C,D),(C,E),(D,E),共 3 个. 因此选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为 P2 ? 18.(本题满分 14 分) 解: (1)证明: 在 ?ABD 中,由余弦定理得: BD ?

3 .…12 分 10

AD 2 ? AB 2 ? 2 AD ? AB cos ?DCB ? 3 , 所以 AD2 ? BD 2 ? AB 2 ,所以 ?ADB ? 90? ,即 AD ? BD ,……………………………………3 分 又四边形 ABCD 为平行四边形,所以 BC ? BD ,
第 1 页(共 5 页)

又 D1 D ? 底面 ABCD , BC ? 底面 ABCD ,所以 D1 D ? BC ,……………4 分 又 D1 D ? BD ? D ,所以 BC ? 平面 BDD1 B1 , ………………………………5 分 又 BC ? 平面 A1 BCD1 ,所以平面 A1 BCD1 ? 平面 BDD1 B1 .………………6 分 (2)法一:连结 BD1 ,∵ DD1 ? BD ? 3 ,∴ BD1 ? 6 ∵ BC ? 平面 BDD1 B1 ,所以 BC ? BD1 ,……………………………8 分 A1 M D A
解法一图

D1 B1

C1

1 ? BC ? BD1 ? 6 ,…………10 分 2 6 取 BD1 的中点 M ,连结 DM ,则 DM ? BD1 ,且 DM ? , 2 又平面 A1 BCD1 ? 平面 BDD1 ,平面 A1 BCD1 ? 平面 BDD1 ? BD1 ,
所以四边形 A1 BCD1 的面积 S A1BCD1 ? 2 ? 所以 DM ? 平面 A1 BCD1 ,……………………………………13 分 所以四棱锥 D ? A1 BCD1 的体积:

C B

D1 A1 B1

C1

1 V ? ? S A1BCD1 ? DM ? 1 . ……………………………………14 分 3 法二: 四棱锥 D ? A1 BCD1 的体积V ? VD ? A1BD1 ? VD ? BCD1 ,…………8 分
而三棱锥 D ? A1 BD1 与三棱锥 D ? BCD1 底面积和高均相等,…………10 分 所以V ? VD ? A1BD1 ? VD ? BCD1 ? 2VD ? BCD1 ? 2VD1 ? BCD A

D B
解法二图

C

1 ? 2 ? ? S BCD ? DD1 ? 1 …14 分 3

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)设数列 {a n } 的公比为 q(q ? 0), 数列 ?bn ?的公差为 d ,

?1 ? 2d ? q 4 ? 21 ? 依题意得: ? ,………………………………………………2 分 2 ?1 ? 4d ? q ? 13 ?
消去 d 得 2q ? q ? 28 ? 0 ? (q ? 4)(2q ? 7) ? 0 ,………………………3 分
4 2 2 2

∵q ? 0 ∴ an ? 2

∴ q ? 2 ,由 q ? 2 可解得 d ? 2 ……………………………………4 分
n ?1

, bn ? 2n ? 1. ………………………………………………5 分
n

(2)由(1)得 S n ? 2 ? 1 ,所以有:

Tn ? S1b1 ? S2b2 ? L ? Snbn ? (21 ? 1)b1 ? (22 ? 1)b2 ? L ? (2n ? 1)bn
? 21 ? b1 ? 22 ? b2 ? L ? 2n ? bn ? (b1 ? b2 ? L ? bn ) ………………………………7 分
令 S ? 2 ? b1 ? 2 ? b2 ? L ? 2 ? bn ①
1 2 n

则 2S ? 2 ? b1 ? 2 ? b2 ? L ? 2
2 3

n ?1

? bn ②

①-②得: ? S ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 L ? 2 ? 2 ? (2n ? 1) ? 2
1 2 3 n

n ?1

, …………………10 分

?S ? 2(1 ? 22 ? 23 ? L ? 2n ) ? (2n ? 1)2n?1 ? 2[1 ? 22 (2n?1 ? 1)] ? (2n ? 1) ? 2n?1
∴ S ? (2n ? 3) ? 2n ?1 ? 6, …………………………………………………………12 分

n(1 ? 2n ? 1) ? n2 ,………………………………………13 分 2 n ?1 2 ∴ Tn ? (2n ? 3) ? 2 ? 6 ? n . ……………………………………………………14 分
又 b1 ? b2 ? L ? bn ? 20. (本小题满分 14 分) 解: (1)∵抛物线 C1 : y ? 8 x 的焦点为 F2 (2, 0) ,
2

∴双曲线 C2 的焦点为 F1 (?2, 0) 、 F2 (2, 0) ,………………………………………1 分
2 设 A( x0 , y0 ) 在抛物线 C1 : y ? 8 x 上,且 AF2 ? 5 ,

2 由抛物线的定义得, x0 ? 2 ? 5 ,∴ x0 ? 3 ,∴ y0 ? 8 ? 3 ,∴ y0 ? ?2 6 ,……3 分

第 2 页(共 5 页)

∴ | AF1 |?

(3 ? 2) 2 ? (?2 6) 2 ? 7 ,………………………………………………4 分

又∵点 A 在双曲线 C2 上,由双曲线定义得:

2a ?| 7 ? 5 |? 2 ,∴ a ? 1 , ∴双曲线 C2 的方程为: x 2 ?
(2)

y2 ? 1 .……………6 分 3

s 为定值.下面给出说明. t 设圆 M 的方程为: ( x ? 2) 2 ? y 2 ? r 2 , ∵圆 M 与直线 y ? 3 x 相切,
∴圆 M 的半径为 r ?

2 3 1? ( 3 )
2

? 3 ,故圆 M : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 .…………7 分

显然当直线 l1 的斜率不存在时不符合题意,……………………………………………8 分 设 l1 的方程为 y ? 3 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? 3 ? k ? 0 ,

1 ( x ? 1) ,即 x ? ky ? 3k ? 1 ? 0 , k | 3k ? 3 | ∴点 F1 到直线 l1 的距离为 d1 ? , 1? k 2 | 3k ? 1| 点 F2 到直线 l 2 的距离为 d 2 ? ,………………………………………………10 分 1? k 2
设 l 2 的方程为 y ? 3 ? ?

? 3k ? 3 ? 6 3k ? 6k 2 ∴直线 l1 被圆 M 截得的弦长 s ? 2 3 ? ? ,……………11 分 ?2 ? 1? k 2 ? ? 1? k 2 ? ? ? 3k ? 1 ? 2 3k ? 2k 2 直线 l 2 被圆 N 截得的弦长 t ? 2 1 ? ? ,…………………12 分 ? ?2 ? 1? k 2 ? 1? k 2 ? ?

2

2

s ? t

s 6 3k ? 6k 2 6( 3k ? k 2 ) ? ? 3 , 故 为定值 3 .……………………14 分 t 2 3k ? 2k 2 2( 3k ? k 2 )

21.(本题满分 14 分) 解: (1)由题意 k ? f ? x ? ?

1 ? ln x , x ? 0 …………………………………1 分 x 1 ? ln x ?? ln x 所以 f ? ? x ? ? ? ? ? ? ? 2 …………………………………………2 分 x ? x ? 当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 .

所以 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减, 故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极大值.…………………………………………3 分 因为函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ?

? ?

1? ? (其中 m ? 0 )上存在极值, 3?

?0 ? m ? 1 2 ? ?2 ? 1? 所以 ? ,得 ? m ? 1 .即实数 m 的取值范围是 ? , .……………4 分 1 3 ?3 ? ?m ? 3 ? 1 ? t ? x ? 1??1 ? ln x ? ,令 g x ? ? x ? 1??1 ? ln x ? , (2)由 f ? x ? ? 得t ? ? ? x ?1 x x
第 3 页(共 5 页)

x ? ln x .………………………………………………………………6 分 x2 1 1? x 令 h ? x ? ? x ? ln x ,则 h? ? x ? ? 1 ? = , x x +? 因为 x ? 1, 所以 h? ? x ? ? 0 ,故 h ? x ? 在 ?1, ? 上单调递增.……………………7 分
则 g? ? x ? ? 所以 h ? x ? ? h ?1? ? 1 ? 0 ,从而 g ? ? x ? ? 0

g ? x ? 在 ?1, ? 上单调递增, g ? x ? ? g ?1? ? 2 +?
所以实数 t 的取值范围是 ? ??, 2 ? . (3)由(2) 知 f ? x ? ? …………………………………………9 分

2 恒成立, x ?1 1 ? ln x 2 x ?1 2 2 ……………………11 分 ? ? ln x ? ? 1? ? 1? 即 x x ?1 x ?1 x ?1 x 2 令 x ? n ? n ? 1? , 则 ln[n ? n ? 1?] ? 1 ? ,……………………………12 分 n ? n ? 1?
所以 ln ?1 ? 2 ? ? 1 ?

2 2 2 , ln ? 2 ? 3? ? 1 ? ,……, ln n ? n ? 1? ? 1 ? . n ? n ? 1? 1? 2 2?3

将以上 n 个式子相加得:

? ln[i(i? 1)] ? n ? 2 ?1? 2 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? n ? 1? ?
i ?1

n

? 1

1

1

? ?

? 1 ? ? ? n ? 2 ?1 ? ? ? n ? 2, ? n ?1 ?



? ln[i(i? 1)] ? n ? 2 ? n ? N ? .……………………………………………14 分
n * i ?1

(解答题的其他解法可酌情给分)

第 4 页(共 5 页)


广东省六校2014届高三上学期第一次联考数学文试题

暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 广东省六校2014届高三上学期第一次联考数学文试题_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 180份文档 2014...

广东省六校2014届高三上学期第一次联考数学文试题 Word版含答案

广东省六校 2014 届高三第一次联考试题 文科数学 命题:邓军民 审校:田立新、黄晓英 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟. 参考公式:球...

广东省六校2014届高三上学期第一次联考数学理试题

广东省六校2014届高三上学期第一次联考数学试题_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 广东省六校2014届高三上学期第一次联考数学试题_...

广东省六校2014届高三上学期第一次联考数学文试题

广东省六校 2014 届高三第一次联考试题 文科数学 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟. 参考公式:球的体积公式是 V ? 4 ? R3 ,其...

广东省六校2014届高三上学期第一次联考数学文试题

广东省六校 2014 届高三第一次联考试题 文科数学 命题:邓军民 审校:田立新、黄晓英 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟. 参考公式:球...

广东省六校2014届高三第一次联考数学试卷及答案(理科)

广东省六校2014届高三第一次联考数学试卷及答案(理科...高三第一次教学质量检测试题(理科数学)评分参考一、...习文教育广东省六校2014... 9页 免费 广东省六校...

广东2014届高三六校第一次联考文科数学试题

广东2014届高三六校第一次联考文科数学试题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2014 届高三六校第一次联考文科数学试题命题学校:珠海一中 本试题共 4 页,20 小题...

广东省六校2014届高三上学期第一次联考数学理试题

广东省六校2014届高三上学期第一次联考数学试题 隐藏>> 2014 届高三六校第一次联考理科数学 试题命题学校:深圳实验学校 第一部分 选择题(共 40 分) 一、选择...

习文教育广东省六校2014届高三第一次联考数学试卷及答案(文科)

君子藏器于身 待时而动 广东省六校 2014 届高三第一次联考试题 文科数学 命题:邓军民 审校:田立新、黄晓英 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时...

广东省六校2014届高三第一次联考试题(文科)

广东省六校2014届高三第一次联考试题(文科)_数学_高中教育_教育专区。广东省六校2014届高三第一次联考试题 文科数学 本试卷共4页,21小题, 满分150分.考试用时12...