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2015-2016学年河北省廊坊市高三(上)期末数学试卷(理科)【详细解析】


2015-2016 学年河北省廊坊市高三(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合 A={1,2,3},B={2,3,4},全集 U=A∪B,则集合?U(A∩B)中元素的个 数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.复数 等于( )

A.﹣2+2i B.1+i C.﹣1+i D.2﹣

2i 3.已知点 A(1,0) ,B(6,2)和向量 =(2,λ) ,若 ∥ A. B.﹣ C. D.﹣ )

,则实数 λ 的值为(



4.已知 α 的终边过点 P(2,﹣1) ,则 cosα 的值为( A.﹣ B.﹣ C. ) D.

5.如图程序的功能是(

A.计算 1+3+5+…+2016 B.计算 1×3×5×…×2016 C.求方程 1×3×5×…×i=2016 中的 i 值 D.求满足 1×3×5×…×i>2016 中的最小整数 i 6.下列说法正确的个数是( ) ①若 f(x)= +a 为奇函数,则 a= ;

②“在△ABC 中,若 sinA>sinB,则 A>B”的逆命题是假命题; ③“三个数 a,b,c 成等比数列”是“b= ”的既不充分也不必要条件; 3 2 ④命题“? x∈R,x ﹣x +1≤0”的否定是“? x0∈R,x03﹣x02+1>0”. A.0 B.1 C.2 D.3

7.已知 O 为坐标原点,A,B 两点的坐标均满足不等式组

,设



的夹

角为 θ,则 sinθ 的最大值为( A. B. C.

) D.
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8.若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是(



A.28

B.32

C.

D.24

9.如图所示,y=f(x)是可导函数,直线 l:y=kx+3 是曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线,令 h(x)=xf(x) ,h′(x)是 h(x)的导函数,则 h′(1)的值是( )

A.2

B.1

C.﹣1 D.

10.用一个边长为 2 的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,现 将半径为 的球体放置于蛋巢上,则球体球心与蛋巢底面的距离为( )

A.

B.

C.

D.

11.过双曲线



=1(a>0,b>0)的一个焦点 F 向其一条渐近线作垂线 l,垂足为 A, =3 ,则双曲线的离心率为( )

l 与另一条渐近线交于 B 点,若 A. B.2 C. D.

12.已知函数 f(x)= 值范围是( )

,设 a>b≥0,若 f(a)=f(b) ,则 b?f(a)的取

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A. (0, ) B. ( ,2] C.[0, ) D. ( ,2)

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.现有 10 张奖券,其中 4 张有奖,若有 4 人购买,每人一张,至少有一人中奖的概率是 ______. 14.已知数列{an}中 a1=1,nan=(n+1)an+1,则 a2016=______. 15.若直线 ax+2by﹣2=0(a,b>0)始终平分圆 x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0 的周长,则 ab 的取值 范围是______. 16.函数 f(x)=|cosx|(x≥0)的图象与过原点的直线恰有四个交点,设四个交点中横坐 标最大值为 θ,则 =______.

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.设{an}是公差大于零的等差数列,已知 a1=3,a3=a22﹣27. (1)求{an}的通项公式; (2) 设{bn}是以函数 y=4sin2πx 的最小正周期为首项, 以 2 为公比的等比数列, 求数列{an+bn} 的前 n 项和 Sn. 18.近年来空气污染是一个生活中重要的话题,PM2.5 就是其中一个重要指标.各省、市、 县均要进行实时监测,某市 2015 年 11 月的 PM2.5 浓度统计如图所示. PM2.5 浓度 PM2.5 浓度 PM2.5 浓度 日期 日期 日期 11﹣1 11﹣11 11﹣21 137 144 40 11﹣2 11﹣12 11﹣22 143 166 42 11﹣3 11﹣13 11﹣23 145 197 35 11﹣4 11﹣14 11﹣24 193 194 53 11﹣5 11﹣15 11﹣25 133 219 88 11﹣6 11﹣16 11﹣26 22 41 29 11﹣7 11﹣17 11﹣27 22 90 199 11﹣8 11﹣18 11﹣28 57 46 287 11﹣9 11﹣19 11﹣29 111 80 291 11﹣10 11﹣20 11﹣30 134 67 452 (1)请完成频率分布表; PM2.5 24 小时浓度均 空气质量指数类别 频数 频率 值 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 合计 0﹣35 36﹣75 76﹣115 116﹣150 151﹣250 251﹣500 / 4 7 4 6

30

1

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(2)专家建议,空气质量为优、良、轻度污染时可正常进行户外活动,中度污染及以上时, 取消一切户外活动,在 2015 年 11 月份,该市某学校进行了连续两天的户外拔河比赛,求拔 河比赛能正常进行的概率. (3)PM2.5 浓度在 75 以上,空气质量为超标,陶先生在 2015 年 11 月份期间曾有两天经过 该市,记 ξ 表示两天中 PM2.5 检测数据超标的天数,求 ξ 的分布列及期望. 19.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB∥CD,∠ABC=∠CAD=90°,点 E 在棱 PB 上,且 PE=2EB,PA=AB=BC. (1)求证:PD∥平面 AEC; (2)求二面角 P﹣AC﹣E 的余弦值.

20.已知点 R 是圆心为 Q 的圆(x+ )2+y2=16 上的一个动点,N( ,0)为定点,线段 RN 的中垂线与直线 QR 交于点 T,设 T 点的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)过圆 x2+y2=1 上的动点 P 作圆 x2+y2=1 的切线 l,与曲线 C 交于不同两点 A,B,用几 何画板软件可画出线段 AB 的中点 M 的轨迹是如图所示的漂亮的曲线,求该曲线的方程.

21.m∈R,函数 f(x)=mx﹣lnx+1. (1)讨论函数 f(x)的单调区间和极值; (2)将函数 f(x)的图象向下平移 1 个单位后得到 g(x)的图象,且 x1= (e 为自然对 数的底数)和 x2 是函数 g(x)的两个不同的零点,求 m 的值并证明:x2>e . 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按第一题计分.【选修 4-1:几何 证明选讲】 22.已知△ABC 中, D 是△ABC 外接圆劣弧 上的点 C 重合) (不与点 A, , 延长 BD 至 E, 且 AD 的延长线平分∠CDE. (1)求证:AB=AC; (2)若∠BAC=30°,△ABC 中 BC 边上的高为 4+2 ,求△ABC 外接圆的面积.

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【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.在直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C: ρcos2θ=2sinθ,过点 P(0,1)的直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,直线 l 与轨

迹 C 交于 M,N 两点. (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)求|MN|. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.设函数 f(x)= .

(1)当 m=3 时,求函数 f(x)的定义域; (2)若函数 f(x)的定义域为 R,求 m 的取值范围.

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2015-2016 学年河北省廊坊市高三 (上) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合 A={1,2,3},B={2,3,4},全集 U=A∪B,则集合?U(A∩B)中元素的个 数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】求出集合的全集,然后求解交集的补集. 【解答】解:集合 A={1,2,3},B={2,3,4},全集 U=A∪B={1,2,3,4}, 集合?U(A∩B)={1,4}. 元素个数为:2. 故选:B.

2.复数 A.﹣2+2i

等于( B.1+i

) C.﹣1+i D.2﹣2i

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,求得 z 的值. 【解答】解: 故选:C. 3.已知点 A(1,0) ,B(6,2)和向量 =(2,λ) ,若 ∥ A. B.﹣ C. D.﹣ ,则实数 λ 的值为( ) = =﹣1+i,

【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示. 【分析】先求出 =(5,2) ,再由向量平行的性质能求出实数 λ 的值. 【解答】解:∵点 A(1,0) ,B(6,2) , ∴ =(5,2) , ∵向量 =(2,λ) , ∥ , ∴ ,解得 .

故选:A. 4.已知 α 的终边过点 P(2,﹣1) ,则 cosα 的值为( A.﹣ B.﹣ C. D. )

【考点】任意角的三角函数的定义.

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【分析】由题意可得 x=2,y=﹣1,r=

,再根据 cosα= ,∴cosα= =

计算得到结果. = ,

【解答】解:由题意可得 x=2,y=﹣1,r= 故选 C. 5.如图程序的功能是( )

A.计算 1+3+5+…+2016 B.计算 1×3×5×…×2016 C.求方程 1×3×5×…×i=2016 中的 i 值 D.求满足 1×3×5×…×i>2016 中的最小整数 i 【考点】伪代码. 【分析】逐步分析程序中的各语句的功能,可知程序的功能是求满足 1×3×5×…×i>2016 中的最小整数 i. 【解答】解:模拟执行程序,可得 S=1,i=1 满足条件 S≤2016,i=3,S=1×3 满足条件 S≤2016,i=5,S=1×3×5 … 满足条件 S≤2016,i=n,S=1×3×5…×n, 满足条件 S>2016,退出循环,输出此时 n 的值, 故程序的功能是求满足 1×3×5×…×i>2016 中的最小整数 i, 故选:D. 6.下列说法正确的个数是( ①若 f(x)= )

+a 为奇函数,则 a= ;

②“在△ABC 中,若 sinA>sinB,则 A>B”的逆命题是假命题; ③“三个数 a,b,c 成等比数列”是“b= ”的既不充分也不必要条件; 3 2 ④命题“? x∈R,x ﹣x +1≤0”的否定是“? x0∈R,x03﹣x02+1>0”. A.0 B.1 C.2 D.3 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】利用函数的奇偶性判断①的正误;利用三角形中正弦定理判断②的正误,利用充 要条件判断③的正误,命题的否定判断④的正误.

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【解答】解:对于①,若 f(x)=

+a 为奇函数,则 f(0)=0,解得 a=﹣ ,所以①

不正确; 对于②,“在△ABC 中,若 sinA>sinB,由正弦定理可得 a>b,则 A>B”,的逆命题是真 命题;所以②不正确; 对于③,“三个数 a,b,c 成等比数列”则 b2=ac,∴b=± , 若 a=b=c=0,满足 b= ,但三个数 a,b,c 成等比数列不成立, ”的既不充分也不必要条件,所以③正确. ∴“三个数 a,b,c 成等比数列”是“b= 3 2 对于④,命题“? x∈R,x ﹣x +1≤0”的否定是“? x0∈R,x03﹣x02+1>0”.满足命题的否定 形式,所以④正确. 故选:C.

7.已知 O 为坐标原点,A,B 两点的坐标均满足不等式组

,设



的夹

角为 θ,则 sinθ 的最大值为( A. B. C.

) D.

【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用数形结合求出 A,B 的位置,利用向量的数量 积求出夹角的余弦,即可得到结论. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域,要使 sinθ 最大, 则由 ,解得 ,即 A(1,2) ,



,得

,即 B(2,1) ,

∴此时夹角 θ 最大, 则 =(1,2) , =(2,1) , 则 cosθ= = ,

∴sinθ= . 故选:D.

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8.若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是(



A.28

B.32

C.

D.24

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图得到此几何体由三部分组成,上半部分是一个四棱台,下半部分是两个平 行六面体,其中四棱台的中间部分是一个棱长为 2 的正方体,两边是两个全等的直三棱柱, 两个平行六面体的底是边长为 2 的正方形,高为 2,由此能求出此几何体的体积. 【解答】解:由三视图得到此几何体由三部分组成, 上半部分是一个四棱台,下半部分是两个平行六面体, 其中四棱台的中间部分是一个棱长为 2 的正方体,两边是两个全等的直三棱柱, 两个平行六面体的底是边长为 2 的正方形,高为 2, 这两个直三棱柱的底面三角形的直角边分别为 1,2,高为 2, ∴此几何体的体积 V=3×23+2×( 故选:A. 2×1×2)=28.

9.如图所示,y=f(x)是可导函数,直线 l:y=kx+3 是曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线,令 h(x)=xf(x) ,h′(x)是 h(x)的导函数,则 h′(1)的值是( )

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A.2

B.1

C.﹣1 D.

【考点】导数的几何意义. 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率,利用导数的运算法则进行求解即可得到结论. 【解答】解:由图象可知直线的切线经过点(1,2) ,则 k+3=2,得 k=﹣1, 即 f′(1)=﹣1,且 f(1)=2, ∵h(x)=xf(x) , ∴h′(x)=f(x)+xf′(x) , 则 h′(1)=f(1)+f′(1)=2﹣1=1, 故选:B. 10.用一个边长为 2 的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,现 将半径为 的球体放置于蛋巢上,则球体球心与蛋巢底面的距离为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】点、线、面间的距离计算. 【分析】蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半,为 部分高度是 cm,由此能求出球体球心与蛋巢底面的距离.

cm,蛋槽立起来的小三角形

【解答】解:蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半,为 蛋槽立起来的小三角形部分高度是 ,

cm,

半径为 的球体放置于蛋巢上,得到 r= cm, 直径 D=2 cm,大于折好的蛋巢边长 cm, 四个三角形的顶点所在的平面在鸡蛋表面所截取的小圆直径就是蛋槽的边长 根据图示,AB 段由三角形 AB 求出得:AB= AE=AB+BE= + = , = ,

cm,

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∴球体球心与蛋巢底面的距离为 故选:B.



11.过双曲线



=1(a>0,b>0)的一个焦点 F 向其一条渐近线作垂线 l,垂足为 A, =3 ,则双曲线的离心率为( )

l 与另一条渐近线交于 B 点,若 A. B.2 C. D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据题意,取右焦点 F(c,0) ,渐近线 y= x,求出直线 FA 的方程为 y=﹣ (x ﹣c) ,由方程联立求出 A、B 的坐标,利用坐标表示 坐标表示,求出双曲线的离心率 e. 【解答】解:如图所示, 取右焦点 F(c,0) ,渐近线方程为 y= x. ∵FA⊥OA, ∴直线 FA 的方程为 y=﹣ (x﹣c) , 与 ,由 =3 ,运用向量共线的



,解得



∴A(



) .



,解得



∴B(

,﹣

) ,

=(

,﹣



第 11 页(共 25 页)



=(﹣



) .



=3

,可得

=﹣



化为 c2=3b2﹣3a2=3c2﹣6a2,即有 c2=3a2, ∴该双曲线的离心率为 e= = 故选:D. .

12.已知函数 f(x)= 值范围是( )

,设 a>b≥0,若 f(a)=f(b) ,则 b?f(a)的取

A. (0, ) B. ( ,2] C.[0, ) D. ( ,2) 【考点】分段函数的应用;函数的零点与方程根的关系. 【分析】先作出函数 f(x)的图象,根据 f(a)=f(b)的关系,确定 a,b 以及 f(a)的取 值范围,利用数形结合以及不等式的性质进行求解即可. 【解答】解:由函数 f(x)的解析式作出其图象如图,则当 0≤x≤1 时,函数 f(x)为增 函数,且 1≤f(x)≤2, 当 x>1 时,函数 f(x)为减函数,且 1<f(x)< , 由 x+1= ,得 x= , 所以,若满足 a>b≥0 时,f(a)=f(b) , 必有 b∈[0, ) ,a∈[1,+∞) ,1<f(a)< , 则 0<b?f(a)< = ,

由不等式的可乘积性得:b?f(a)∈(0, ) , 故选:A.

第 12 页(共 25 页)

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.现有 10 张奖券,其中 4 张有奖,若有 4 人购买,每人一张,至少有一人中奖的概率是 . 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】由题意知本题是一个古典概型,试验包含的所有事件是从 10 张奖券中抽 4 张,满 足条件的事件的对立事件是没有人中奖,根据古典概型公式和对立事件的公式得到概率. 【解答】解:由题意知本题是一个古典概型, 试验包含的所有事件是从 10 张奖券中抽 4 张共有 C104=210, 满足条件的事件的对立事件是没有人中奖, 没有人中奖共有 C64=15 种结果, 根据古典概型公式和对立事件的公式得到概率 1﹣ 给答案为: = ,

14.已知数列{an}中 a1=1,nan=(n+1)an+1,则 a2016= 【考点】数列递推式. 【分析】a1=1,nan=(n+1)an+1,可得 【解答】解:∵a1=1,nan=(n+1)an+1, ∴ = . =



.利用“累乘求积”即可得出.

∴an= = = .

?

?…?

?a1

?

?…? ?1

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∴a2016= 故答案为:

. .

15.若直线 ax+2by﹣2=0(a,b>0)始终平分圆 x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0 的周长,则 ab 的取值 范围是 (0, ] . 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】由圆的性质可知,圆心(2,1)在直线 ax+2by﹣2=0 上,从而 a+b=1,由此能求出 ab 的取值范围. 【解答】解:∵直线 ax+2by﹣2=0(a,b>0)始终平分圆 x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0 的周长, ∴由圆的性质可知,直线 ax+2by﹣2=0 即是圆的直径所在的直线方程 ∵圆 x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0 的标准方程为(x﹣2)2+(y﹣1)2=13, ∴圆心(2,1)在直线 ax+2by﹣2=0 上 ∴2a+2b﹣2=0 即 a+b=1, ∵a>0,b>0,∴ ∴ab 的取值范围是(0, ]. 故答案为: . = .

16.函数 f(x)=|cosx|(x≥0)的图象与过原点的直线恰有四个交点,设四个交点中横坐 标最大值为 θ,则 【考点】函数的图象. 【分析】依题意,过原点的直线与函数 y=|cosx|(x≥0)在区间( 切,利用导数知识可求得切线方程,利用直线过原点,可求得 θ=﹣ ,2π)内的图象相 ,代入所求关系 = ﹣2 .

式即可求得答案 【解答】解:∵函数 f(x)=|cosx|(x≥0)的图象与过原点的直线恰有四个交点, ∴直线与函数 y=|cosx|(x≥0)在区间( 在区间( ,2π)内的图象相切,

,2π)上,y 的解析式为 y=cosx,

故由题意切点坐标为(θ,cosθ) , ∴切线斜率 k=y′=﹣sinx|x=θ=﹣sinθ, ∴由点斜式得切线方程为: y﹣cosθ=﹣sinθ(x﹣θ) , ∴y=﹣sinθx+θsinθ+cosθ, ∵直线过原点,

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∴θsinθ+cosθ=0,得 θ=﹣





=

=﹣(tanθ+

)sin2θ=﹣(

+

)?2sinθcosθ=﹣2(sin2θ+cos2θ)=﹣2.

故答案为:﹣2. 三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.设{an}是公差大于零的等差数列,已知 a1=3,a3=a22﹣27. (1)求{an}的通项公式; (2) 设{bn}是以函数 y=4sin2πx 的最小正周期为首项, 以 2 为公比的等比数列, 求数列{an+bn} 的前 n 项和 Sn. 【考点】数列与三角函数的综合;数列的求和. 【分析】 (1)利用已知条件求出数列{an}的公差为 d,然后求解 an. (2)求出函数 y=4sin2πx 的最小正周期得到{bn}首项,利用公比 q=2,求出 用错位相减法求解数列的和即可. 【解答】解: (1)设数列{an}的公差为 d, 则 ∴an=3+3(n﹣1)=3n. … (2)∵ 其最小正周期为 ∵公比 q=2,∴ ∴ 令 两边都乘以 2 得, ②﹣①得, ,故数列{bn}的首项为 1, ,∴ , ,…①, …② … , ,解得 d=3 或 d=﹣7(舍) ,… ,利

=



故,


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18.近年来空气污染是一个生活中重要的话题,PM2.5 就是其中一个重要指标.各省、市、 县均要进行实时监测,某市 2015 年 11 月的 PM2.5 浓度统计如图所示. PM2.5 浓度 PM2.5 浓度 PM2.5 浓度 日期 日期 日期 11﹣1 11﹣11 11﹣21 137 144 40 11﹣2 11﹣12 11﹣22 143 166 42 11﹣3 11﹣13 11﹣23 145 197 35 11﹣4 11﹣14 11﹣24 193 194 53 11﹣5 11﹣15 11﹣25 133 219 88 11﹣6 11﹣16 11﹣26 22 41 29 11﹣7 11﹣17 11﹣27 22 90 199 11﹣8 11 18 11 28 57 46 287 ﹣ ﹣ 11﹣9 11﹣19 11﹣29 111 80 291 11﹣10 11﹣20 11﹣30 134 67 452 (1)请完成频率分布表; PM2.5 24 小时浓度均 空气质量指数类别 频数 频率 值 优 良 0﹣35 36﹣75 4 7

76﹣115 4 轻度污染 116﹣150 6 中度污染 151 250 重度污染 ﹣ 251 严重污染 ﹣500 / 30 1 合计 (2)专家建议,空气质量为优、良、轻度污染时可正常进行户外活动,中度污染及以上时, 取消一切户外活动,在 2015 年 11 月份,该市某学校进行了连续两天的户外拔河比赛,求拔 河比赛能正常进行的概率. (3)PM2.5 浓度在 75 以上,空气质量为超标,陶先生在 2015 年 11 月份期间曾有两天经过 该市,记 ξ 表示两天中 PM2.5 检测数据超标的天数,求 ξ 的分布列及期望. 【考点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 【分析】 (Ⅰ)由已知条件能求出频率分布表. (Ⅱ) 学校进行了连续两天的户外拔河比赛,要能正常进行,利用列举法求出需选择的日 期,由此能求出拔河比赛能正常进行的概率. (Ⅲ)ξ 的可能取值为 0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出 ξ 的分布列及期望. 【解答】解: (Ⅰ)由已知条件能求出频率分布表: PM2.5 24 小 空气质量 频数 频率 指数类别 时浓度均值 优 良 0﹣35 36﹣75 4 7

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轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 合计 …

76﹣115 116﹣150 151﹣250 251﹣500

4 6 6 3 30 1

(Ⅱ) 学校进行了连续两天的户外拔河比赛,要能正常进行,需选择的日期为: (6,7) (7,8) (8,9) (16,17) (17,18) (18,19) (19,20) (20,21) (21,22) (22, 23) (23,24) (24,25) (25,26) , 所以拔河比赛能正常进行的概率为 (Ⅲ)ξ 的可能取值为 0,1,2, , . …



… ∴ξ 的分布列为: ξ 0 1 2 P … …

19.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB∥CD,∠ABC=∠CAD=90°,点 E 在棱 PB 上,且 PE=2EB,PA=AB=BC. (1)求证:PD∥平面 AEC; (2)求二面角 P﹣AC﹣E 的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定.
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【分析】解法一: (1)连结 BD,交 AC 于点 M,连结 EM,设 PA=AB=BC=1,由△ABM ∽△CDM,推出 PD∥EM,然后证明 PD∥平面 AEC. (2)以 A 为原点,分别以直线 AC,AD,AP 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 A ﹣xyz,求出平面 AEC 的一个法向量,平面 PAC 的一个法向量,通过向量的数量积求解二 面角 P﹣AC﹣E 的余弦值. 解法二: (1)以 A 为原点,分别以直线 AB 为 x 轴,以过点 A 垂直于 AB 的直线为 y 轴, 以直线 AP 为 z 轴,建立空间直角坐标系,求出平面 AEC 的一个法向量,利用数量积为 0 证明 PD∥平面 AEC. (2)求出平面 AEC 的一个法向量,平面 PAC 的一个法向量,利用向量的数量积求解二面 角 P﹣AC﹣E 的余弦值. 【解答】解法一: (1)连结 BD,交 AC 于点 M,连结 EM.… 设 PA=AB=BC=1,∠ABC=90°,∴ ,又因为∠BCA=∠BAC=45°且 AB∥CD,∴∠ ACD=45°, ∵∠CAD=90°,∴AC=AD,∴ . 由△ABM∽△CDM,得 又 PE=2EB,∴ , ,∴PD∥EM.…

∵EM? 平面 AEC,PD?平面 AEC, ∴PD∥平面 AEC.… (2)以 A 为原点,分别以直线 AC,AD,AP 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 A ﹣xyz(如图) , 则 , 设 是平面 AEC 的一个法向量, ,…



,取





是平面 PAC 的一个法向量,…





∴二面角 P﹣AC﹣E 的余弦值为

.…

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解法二: (1)以 A 为原点,分别以直线 AB 为 x 轴,以过点 A 垂直于 AB 的直线为 y 轴, 以直线 AP 为 z 轴,建立空间直角坐标系(如图) ,设 PA=AB=BC=3 则 A(0,0,0) ,P(0,0,3) ,C(3,3,0) ,B(3,0,0) ,E(2,0,1) ,D(﹣3,3, 0) …



是平面 AEC 的一个法向量,则

,取

… ∵EM? 平面 AEC,PD?平面 AEC,∴PD∥平面 AEC.… (2)由(1)知平面 AEC 的一个法向量为 设 则 是平面 PAC 的一个法向量, , ,…









∴二面角 P﹣AC﹣E 的余弦值为 注:其他解法酌情给分.

.…

20.已知点 R 是圆心为 Q 的圆(x+ )2+y2=16 上的一个动点,N( ,0)为定点,线段 RN 的中垂线与直线 QR 交于点 T,设 T 点的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)过圆 x2+y2=1 上的动点 P 作圆 x2+y2=1 的切线 l,与曲线 C 交于不同两点 A,B,用几 何画板软件可画出线段 AB 的中点 M 的轨迹是如图所示的漂亮的曲线,求该曲线的方程.

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【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【分析】 (1)利用垂直平分线的性质、椭圆的定义及其标准方程即可得出. y) A y1) B y2) P y0) x0≠0. (2) 解法一: 设M (x, , (x1, , (x2, , (x0, . 由题意, 由 =4, =4,得(x1+x2) (x1﹣x2)=﹣4(y1+y2) (y1﹣y2) . (i)当 x1≠x2,即 y≠0

时,y1+y2≠0,利用斜率计算公式及其 P(x0,y0)在圆 x2+y2=1 上,代入化简即可得出. (ii) 当 x1=x2,即 y=0 时,x=±1,也适合上式. 解法二:同解法一得 .利用切线的性质可得

OP⊥l,化简整理即可得出. 解法三:对直线 l 的斜率分类讨论,利用直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式即 可得出. 【解答】解: (1)由题意, ,圆 Q 的半径 r=4. |TQ|+|TN|=|TQ|+|TR|=|QR|=4 , ∴点 T 的轨迹 C 是以 Q,N 为焦点的椭圆. 设 C 的方程为: .∵2a=4,∴a=2,又 ,∴b2=a2﹣c2=1.

∴点 T 的轨迹 C 的方程为:



(2)解法一:设 M(x,y) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,P(x0,y0) . x 0 由题意, 0≠ . 由 =4, =4,

得(x1+x2) (x1﹣x2)=﹣4(y1+y2) (y1﹣y2) . (i)当 x1≠x2,即 y≠0 时,y1+y2≠0,∴ .



,∴

,∴

.①



.②

联立①②可得:
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∵P(x0,y0)在圆 x2+y2=1 上,∴







化简得: (x2+4y2)2=x2+16y2,即:x4+8x2y2+16y4﹣x2﹣16y2=0. (ii)当 x1=x2,即 y=0 时,x=±1,也适合上式, 故线段 AB 的中点 M 的轨迹方程为:x4+8x2y2+16y4﹣x2﹣16y2=0(x≠0) . 解法二:同解法一得 .

∵OP⊥l,∴

…..①

…②

由②得: ∴

, ,∴ ,

两边同除以

得:∴



将①代入得:



化简得:x4+8x2y2+16y4﹣x2﹣16y2=0. 又当 y=0 时,x=±1,也适合上式, 故线段 AB 的中点 M 的轨迹方程为:x4+8x2y2+16y4﹣x2﹣16y2=0(x≠0) . 解法三:当 l 的斜率存在时,设 l:y=kx+m,由题意,k≠0. 由 ? (1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0.

设 M(x,y) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 ,∴ , .



得:

….①

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又 l 与圆 x2+y2=1 相切,故圆心到 l 的距离







化简得: (x2+4y2)2=x2+16y2 即:x4+8x2y2+16y4﹣x2﹣16y2=0(x≠0) . l l x= 1 y=0 M 1 0 当 的斜率不存在时, : ± , , (± , )也适合上式. 故线段 AB 的中点 M 的轨迹方程为:x4+8x2y2+16y4﹣x2﹣16y2=0(x≠0) .

21.m∈R,函数 f(x)=mx﹣lnx+1. (1)讨论函数 f(x)的单调区间和极值; (2)将函数 f(x)的图象向下平移 1 个单位后得到 g(x)的图象,且 x1= (e 为自然对 数的底数)和 x2 是函数 g(x)的两个不同的零点,求 m 的值并证明:x2>e . 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 【分析】 (1)求出函数 f(x)的定义域,求导数,通过 f′(x)=0,得 x=1,利用导函数的 符号,推出函数的单调区间. (2)利用 g(x)=mx﹣lnx,且 x1= 是函数 g(x)的零点,推出 m 值,利用函数的零点 判定定理,结合函数 g(x)在(2 ,+∞)上单调递增,求解即可. 【解答】 (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞) .求导得 f′(x)=m﹣ = ①若 m≤0,则 f′(x)<0,f(x)是(0,+∞)上的减函数,无极值; ②若 m>0,令 f′(x)=0,得 x= .… 当 x∈(0, )时,f′(x)<0,f(x)是减函数; 当 x∈( ,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数.… 所以当 x= 时,f(x)有极小值,极小值为 f( )=2﹣ln =2+lnm. 综上所述,当 m≤0 时,f(x)的递减区间为(0,+∞) ,无极值;
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. …

当 m>0 时,f(x)的递增区间为( ,+∞) ,递减区间为(0, ) ,极小值为 2+lnm.… (2)证明:因为 g(x)=mx﹣lnx,且 x1= 所以 g( )=0,即 m ﹣ =0,解得 m= 是函数 g(x)的零点, .… )= ﹣ > 0,

所以 g(x)= 所以 g( )g(

﹣lnx.因为 g( )<0.….

)= ﹣ <0,g(

由(1)知,函数 g(x)在(2 所以函数 g (x)在区间( 注:其它解法酌情给分. ,

,+∞)上单调递增, )上有唯一零点,因此 x2> ,即 x2> ….

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按第一题计分.【选修 4-1:几何 证明选讲】 22.已知△ABC 中, D 是△ABC 外接圆劣弧 上的点 C 重合) (不与点 A, , 延长 BD 至 E, 且 AD 的延长线平分∠CDE. (1)求证:AB=AC; (2)若∠BAC=30°,△ABC 中 BC 边上的高为 4+2 ,求△ABC 外接圆的面积.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (1)连接 CD,设 F 为 AD 延长线上一点,由四点共圆得∠CDF=∠ABC,由平行 线性质得∠CDF=∠EDF,由此能证明 AB=AC. (2) 设 O 为外接圆圆心, 且半径为 r, 连接 AO 并延长交 BC 于 H, 则 AH⊥BC. 连接 OC. 由 题意推导出 ,从而 r=4,进而能求出外接圆面积.

【解答】证明: (1)如图,连接 CD,设 F 为 AD 延长线上一点, ∵A,B,C,D 四点共圆,∴∠CDF=∠ABC. 又 AD 的延长线平分∠CDE,∴∠CDF=∠EDF, 又∵∠EDF=∠ADB 且∠ADB=∠ACB, ∴∠ABC=∠ACB, ∴AB=AC… 解: (2)设 O 为外接圆圆心,且半径为 r, 连接 AO 并延长交 BC 于 H,则 AH⊥BC. 连接 OC.由题意∠OAC=∠OCA=15°,∠ACB=75°, ∴∠OCH=60°,∴

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,得 r=4,

∴外接圆面积为 16π.…

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.在直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C: ρcos2θ=2sinθ,过点 P(0,1)的直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,直线 l 与轨

迹 C 交于 M,N 两点. (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)求|MN|. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)将 ρcos2θ=2sinθ 两边同时乘以 ρ,根据极坐标与直角坐标的对应关系得出曲线 C 的直角坐标方程,将 代入 y=1+ 消去参数 t 即得直线 l 的普通方程;

(2)将直线的参数方程代入曲线方程得到 M,N 对应的参数,利用参数得几何意义得出 |MN|. 【解答】解: (I)∵ρcos2θ=2sinθ,∴ρ2cos2θ=2ρsinθ,∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2=2y.



,∴y=1+x,即 x﹣y+1=0,∴直线 l 的普通方程 x﹣y+1=0;

(II)将

代入 x2=2y 可得



设 M,N 对应的参数分别为 t1,t2, 则 t1+t2=2 ,t1t2=﹣4. ∴|MN|=|t1﹣t2|= 【选修 4-5:不等式选讲】 24.设函数 f(x)= . = =2 .

(1)当 m=3 时,求函数 f(x)的定义域;
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(2)若函数 f(x)的定义域为 R,求 m 的取值范围. 【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】令 g(x)=|x+1|+|2x﹣1|并分段写出. (1)直接由根式内部的代数式大于等于 0 求解绝对值的不等式得答案; (2)函数 f(x)的定义域为 R,即|x+1|+|2x﹣1|﹣m≥0 恒成立,分离参数 m 后求解函数 g(x)的值域得答案.

【解答】解:令 g(x)=|x+1|+|2x﹣1|=



(1)当 m=3 时,



由|x+1|+|2x﹣1|﹣3≥0,得

,或

,或



解得 x≤﹣1,或 x≥1, 故函数 f(x)的定义域为{x|x≤﹣1,或 x≥1}; (2)由题可知|x+1|+|2x﹣1|﹣m≥0 恒成立,即 m≤|x+1|+|2x﹣1|=g(x)恒成立, 由(1)知 ∴ . ,故 .

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