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山西省曲沃中学2014届高三上学期期中考试数学理试题 Word版含答案


第 I 卷 (选择题
合 题目要求的一项.)

共 60 分)

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题列出的四个选项中,选出符

1.集合 A ? ?x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0? , B ? ?x x ? 0? ,则 A ? B ? ( A. ( ?

?,0] B. ( ??,1] C. [1,2]

) D. [1, ?? ) )

2.已知数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,且 a1 ? a3 ? 4 , a4 ? 8 ,则 a1 ? q 的值为( A. 3 B. 2 C. 3 或 ?2
2 2

D. 3 或 ?3 )

3.对于常数 m 、 n , “ mn ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 的曲线是椭圆”的( A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4.如图,是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图,且正视图、 侧视图都是矩形,则该几何体的体积是( A.24 B.12 C.8 ) D.4

a ? ?(4 ? ) x ? 4 ( x ? 6), f ( x ) ? 2 已知函数 ? a ? 0, a ? 1? 数列 ?an ? 满足 an ? f (n)(n ? N * ) , 且 ? 5. ?a x ?5 ( x ? 6). ?

?an ?
是单调递增数列,则实数 a 的取值范围( A. ? 7,8 ? B. ?1,8 ? ) C. ? 4,8 ? D. ? 4, 7 ?

6.双曲线 C 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,且 F2 恰为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,设双曲线 C 与该抛 物 线的一个交点为 A ,若 ?AF1 F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形,则双曲线 C 的离心率为( A. )

2

B. 1 ? 2

C. 1 ? 3

D. 2 ? 3

7.已知正项等比数列 ?an ? 满足: a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在两项 am , an 使得 am an ? 4a1 ,则

1 4 ? 的最小值为( m n 3 A. 2
8.已知关于 X 的方程 A. 3,6,9
2

) B.

5 3

C.

25 6

D.不存在 )

的解集为 P,则 P 中所有元素的和可能是( B. 6,9,12
2

C. 9,12,15

D. 6,12,15 )

9.已知直线 a x+y+2=0 与直线 bx-(a +1)y-1=0 互相垂直, 则|ab|的最小值为 ( A.5 B.4 C.2 D.1

10.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB=2.∠ ASC=∠ BSC=45°则棱锥 S—ABC 的体积为

A.

3 3
2

B.

2 3 3
2

C.

4 3 3
2 2

D.

5 3 3

11.已 知 圆 C1 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 , 圆 C2 : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 9 , M , N 分 别 是 圆

C1 , C2
上的动点, P 为 x 轴上的动点,则 PM ? PN 的最小值为( A. 5 2 ? 4 B. 17 ? 1 C. 6 ? 2 2 ) D. 17

12.如图,直角坐标平面内的正六边形 ABCDEF,中心在原点,边长为 a, AB 平行于 x 轴,直线 M、N 两点,记 偶性的判断正确的是 ( A.一定是奇函数 C.既不是奇函数,也不是偶函数 (k 为常数)与正六边形交于 的面积为 S,则关于函数 ) B. —定是偶函数 D.奇偶性与 k 有关 的奇

第 II 卷(非选择题共 90 分)
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. 若函数 f ? x ? ? 值范围为______ . 14.在等差数列 ?an ? 中, a2 ? 6, a5 ? 15, bn ? a2 n ,则数列 ?bn ? 的前 5 项和 S5 =______ . 则实数 m 的取 x ? 1 ? m 在区间 ? a, b ? 上的值域为 ? a , b ? ? b ? a ? 1? , ? ?2 2? ?

15.正方体 ABCD ? A1 B1C1D1 的棱长为 1 ,若动点 P 在线段 BD1 上运动,则 DC ? AP 的取值 范围是______________. 动点 P ( x, y ) 到两条坐标轴的距离之和等于它到点 (1,1) 的距离, 记 16.在平面直角坐标系中, 点 P 的轨迹为曲线 W . (1) 给出下列三个结论: ①曲线 W 关于原点对称;②曲线 W 关于直线 y ? x 对称; ③曲线 W 与 x 轴非负半轴, y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 其中,所有正确结论的序号是_____; (2)曲线 W 上的点到原点距离的最小值为______. 三、解答题: (解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.) 17.已知△ ABC 中,A,B, C 的对边分别为 a,b,c,且 2 cos 2 (1)若 A ?

???? ??? ?

1 ; 2

5? ,求边 c 的大小; 12

B ? 3 sin B, b ? 1 。 2

(2)若 a=2c,求△ ABC 的面积. 18.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2an ? 2 ( n ? N * ) , 数列 {bn } 满足 b1 ? 1 ,且点 P (bn , bn ?1 ) ( n ? N * ) 在直线 y ? x ? 2 上. (1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Dn ;

19.如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ?ABC ? ?DAB ? 90? , ?CAB ? 30? , BC ? 2 ,

AD ? 4 . 把 ?DAC 沿对角线 AC 折起到 ?PAC 的位置,如图 2 所示,使得点 P 在平面 ABC
上的正投影 H 恰好落在线段 AC 上,连接 PB ,点 E , F 分别为线段 PA, AB 的中点. (1) 求证:平面 EFH / / 平面 PBC ;

(2)求直线 HE 与平面 PHB 所成角的正弦值; (3)在棱 PA 上是否存在一点 M ,使得 M 到点 P, H , A, F 四点的距离相等?请说明理由.
D C A B

P E A F
图2

H B

C

图1

x2 y 2 1 20.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半 a b 2
径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切,过点 P(4,0)且不垂直于 x 轴直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 OA ? OB 的取值范围; (3)若 B 点关于 x 轴的对称点是 E,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点。 21.已知函数 f ( x ) ? e x ,点 A( a ,0) 为一定点,直线 x ? t (t ? a ) 分别与函数 f ( x ) 的图象和 x 轴 交 于点 M , N ,记 ?AMN 的面积为 S (t ) . (1)当 a ? 0 时,求函数 S (t ) 的单调区间; (2)当 a ? 2 时, 若 ?t0 ? [0,2] ,使得 S (t0 ) ? e , 求实数 a 的取值范围. 22.已知偶函数 y ? f ( x) 满足:当 x ? 2 时, f ( x) ? ( x ? 2)(a ? x), a ? R ,当 x ? [0,2) 时,
f ( x) ? x(2 ? x) .

(1) 求当 x ? ?2 时, f ( x) 的表达式; (2) 试讨论:当实数 a, m 满足什么条件时,函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有 4 个零点, 且这 4 个零点从小到大依次构成等差数列.

曲沃中学高三年级第一学期期中考试数学答卷纸(理科)
13._________ 17. 14._________ 15._______ 16.________ _______

18.

19.

20。

21.

22.

1-5BDBBC

6-10 BABCC

11-12 AB

13. (0,1/2]

14. 90

15. [0,1]

16.②③; 2 ? 2

18.(Ⅰ)当 n ? 1 , a1 ? 2 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 2an ? 2an ?1 ∴ an ? 2an ?1 (n ? 2) ,∴ {an } 是等比数列,公比为 2,首项 a1 ? 2 ∴ an ? 2n 又点 P (bn , bn ?1 ) ( n ? N * ) 在直线 y ? x ? 2 上,∴ bn?1 ? bn ? 2 , ∴ {bn } 是等差数列,公差为 2,首项 b1 ? 1 ,∴ bn ? 2n ? 1 (Ⅱ)∴ an ? bn ? (2n ? 1) ? 2n ∴ Dn ? 1? 21 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? 7 ? 2 4 ? ?? (2n ? 3) ? 2 n ?1 ? (2 n ? 1) ? 2 n ① ②

2 Dn ? 1? 22 ? 3 ? 23 ? 5 ? 24 ? 7 ? 25 ? ?? (2n ? 3) ? 2 n ? (2n ? 1) ? 2 n ?1
①—②得

? Dn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? 2 ? 24 ? ?? 2 ? 2 n ? (2n ? 1) ? 2 n ?1

? 2 ? 2?

4(1 ? 2n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 2n ?1 ? 2n ?1 (3 ? 2n) ? 6 1? 2

Dn ? (2n ? 3)2n ?1 ? 6
19.解: (I)因为点 P 在平面 ABC 上的正投影 H 恰好落在线段 AC 上 所以 PH ? 平面 ABC ,所以 PH ? AC ????1 分 因为在直角梯形 ABCD 中, ?ABC ? ?DAB ? 90? , ?CAB ? 30? , BC ? 2 , AD ? 4 所以 AC ? 4 , ?CAB ? 60? ,所以 ?ADC 是等边三角形, 所以 H 是 AC 中点, 所以 HE / / PC ????2 分 ????3 分

同理可证 EF / / PB 又 HE ? EF ? E , CP ? PB ? P 所以 EFH / / PBC 平面 PBC (II)在平面 ABC 内过 H 作 AC 的垂线 如图建立空 间直角坐标系,则 A(0, ?2,0) , P (0,0,2 3) , B ( 3,1,0)
???? 因为 E (0, ?1, 3) , HE ? (0, ?1, 3) ? 设平面 PHB 的法向量为 n ? ( x, y , z ) ??? ? ??? ? 因为 HB ? ( 3,1,0) , HP ? (0,0,2 3)
A F x E H B C y

???5 分

?????6 分
z P

??? ? ? ? ? 3x ? y ? 0 ? HB ? n ? 0 ? ? ? 所以有 ? ??? ,即 ? , ? ? ?z ? 0 ? HP ? n ? 0
令 x ? 3, 则 y ? ?3,
? 所以 n ? ( 3, ?3,0)

???8 分

? ???? ? ???? n ? HE 3 3 ?? cos ? n, HE ?? ? ????? ? 4 | n | ?| HE | 2 ? 2 3
所以直线 HE 与平面 PHB 所成角 (III)存在,事实上记点 E 为 M 即可 因为在直角三角形 PHA 中, EH ? PE ? EA ? 在直角三角形 PHB 中,点 PB ? 4, EF ? 所以点 E 到四个点 P, O , C , F 的距离相等 21.解: (I) 因为 S (t ) ? 当 a ? 0 , S (t ) ?

???10 分

3 4

???11 分 ???12 分

1 PA ? 2 , 2

???13 分

1 PB ? 2 2
?????14 分 ????2 分

1 | t ? a | e t ,其中 t ? a 2

1 | t | e t ,其中 t ? 0 2 1 t 1 t 当 t ? 0 时, S (t ) ? te , S '(t ) ? (t ? 1)e , 2 2 所以 S '(t ) ? 0 ,所以 S (t ) 在 (0, ??) 上递增,
t t 当 t ? 0 时, S (t ) ? ? te , S '(t ) ? ? (t ? 1)e ,

?????4 分

1 2

1 2

1 2 1 t 令 S '(t ) ? ? (t ? 1)e ? 0 , 解得 t ? ?1 ,所以 S (t ) 在 ( ?1,0) 上递减 ???7 分 2 综上, S (t ) 的单调递增区间为 (0, ??) , ( ??, ?1) S (t ) 的单调递增区间为 ( ?1,0)
t 令 S '(t ) ? ? (t ? 1)e ? 0 , 解得 t ? ?1 ,所以 S (t ) 在 ( ??, ?1) 上递增

(II)因为 S (t ) ?

1 | t ? a | e t ,其中 t ? a 2 1 当 a ? 2 , t ? [0,2] 时, S (t ) ? ( a ? t )e t 2

因为 ?t0 ? [0,2] ,使得 S (t0 ) ? e ,所以 S (t ) 在 [0,2] 上的最大值一定大于等于 e

1 S '(t ) ? ? [t ? ( a ? 1)]e t ,令 S '(t ) ? 0 ,得 t ? a ? 1 2
当 a ? 1 ? 2 时,即 a ? 3 时

???????8 分

1 S '(t ) ? ? [t ? ( a ? 1)]e t ? 0 对 t ? (0,2) 成立, S (t ) 单调递增 2 1 所以当 t ? 2 时, S (t ) 取得最大值 S (2) ? ( a ? 2)e 2 2 1 2 2 a ? ?2 , 令 ( a ? 2)e ? e ,解得 2 e
所以 a ? 3 当 a ? 1 ? 2 时,即 a ? 3 时 ???????10 分

1 S '(t ) ? ? [t ? ( a ? 1)]e t ? 0 对 t ? (0, a ? 1) 成立, S (t ) 单调递增 2 1 S '(t ) ? ? [t ? ( a ? 1)]e t ? 0 对 t ? ( a ? 1,2) 成立, S (t ) 单调递减 2 1 a ?1 所以当 t ? a ? 1 时, S (t ) 取得最大值 S ( a ? 1) ? e 2 1 a ?1 令 S ( a ? 1) ? e ? e ,解得 a ? ln 2 ? 2 2
所以 ln 2 ? 2 ? a ? 3 ???????12 分 综上所述, ln 2 ? 2 ? a ???????13 分 2 2 c a ? b2 1 c 1 4 ? ,即 a 2 ? b 2 20.(1)解:由题意知 e ? ? ,∴ e2 ? 2 ? 2 4 a 2 3 a a 6 ? 3 ,∴ a 2 ? 4, b2 ? 3 又b ? 1?1 y2 x2 故椭圆的方程为 2分 ? ?1 4 3 (2)解:由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) 由 y ? k ( x ? 4) 得: (4k 2 ? 3) x 2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 ? ? 2 y2 ?x ? ?1 ? 3 ? 4 由 ? ? (?32k 2 ) 2 ? 4(4k 2 ? 3)(64k 2 ? 12) ? 0 得:
k2 ? 1 4

4分

设 A(x1,y1),B (x2,y2),则

x1 ? x2 ?

32k 2 64k 2 ? 12 , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3



6分

∴ y y ? k ( x ? 4)k ( x ? 4) ? k 2 x x ? 4k 2 ( x ? x ) ? 16k 2 1 2 1 2 1 2 1 2

22.解: (1)设 x ? ?2, 则 ? x ? 2 ,? f (? x) ? (? x ? 2)(a ? x) 又? y ? f ( x) 偶函数? f ( x) ? f (? x) 所以, f ( x) ? ( x ? a )(? x ? 2) (2) f ( x) ? m 零点 x1 , x2 , x3 , x4 , y ? f ( x) 与 y ? m 交点有 4 个且均匀分布

? x1 ? x 2 ? ?2 ? (Ⅰ) a ? 2 时, ?2 x 2 ? x1 ? x3 ?x ? x ? 0 3 ? 2
所以 a ? 2 时, m ?

得 x1 ? 3 x 2 , x1 ? ?

3 1 1 3 , x 2 ? ? , x3 ? , x 4 ? , 2 2 2 2

3 4 3 a 3 2 (Ⅱ) 2 ? a ? 4 且 m ? 时 , ( ? 1) ? 4 2 4 3 所以 2 ? a ? 3 ? 2 时, m ? 4 (Ⅲ) a ? 4 时 m=1 时 符合题意

, ? 3?2?a?

3?2


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