两角和与差的正弦s

两角和与差的正弦

复习引入：cos（? +? ）

cos (? –? ）

C(? ? ? ) :

cos?? ? ? ? ? cos? ? cos ? ? sin ? ? sin ?

C(? ? ? ) :

cos?? ? ? ? ? cos? ?

cos ? ? sin ? ? sin ?
sin ? ? cos( ? ? ) 2

用 ? ? 代替为 ?

思考：

我们能否用 ?、? 的正、余弦

?

来表示两角和与差的正弦呢？

复习引入

公式推导

公式记忆

例与练习

回顾小结

公式推导：

?? ? sin ? ? cos? ? ? ? ?2 ?

?? ? sin?? ? ?? ? cos? ? ?? ? ??? ?2 ?

? sin ? cos? ? cos? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
两角和的正弦公式
复习引入 公式推导 公式记忆 例与练习

?? ? ? ? ? cos?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? 2 ?? ? ?? ? ? cos? ? ? ? cos? ? sin? ? ? ? sin ? ?2 ? ?2 ?

S? ? ?

回顾小结

公式推导：
S?? ? ? ? : sin?? ? ? ? ? sin ? cos? ? cos? sin ?
用 ? ? 代替为 ?

sin?? ? ? ? ? sin ? cos(?? ) ? cos? sin(?? )

sin?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
两角差的正弦公式
复习引入 公式推导 公式记忆 例与练习

S? ??

回顾小结

两角和与差的正弦公式
1、

sin( ? + ? ?) ?S sin ? ? c cos ? + ?c cos? ?S sin ? sin( ? ? ? ) ? S sin ? ? c cos ? ? c cos? ?S sin ?

注意：①公式中角的顺序;
②公式中三角符号的顺序; ③公式中的运算符号.

复习引入

公式推导

公式记忆

例与练习

回顾小结

公式记忆

2、 S? ? ? : sin( ? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin ?
“异名积，同号连”

C? ? ? : cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ?
“同名积，异号连”

复习引入

公式推导

公式记忆

例与练习

回顾小结

例题1－求值
sin 75 ? sin(45 ? 30 )
?
? ?

? sin 45 ? cos30 ? cos45 ? sin 30
? ? ?

?

2 3 2 1 ? ? ? ? 2 2 2 2 6? 2 ? 4
复习引入 公式推导 公式记忆 例与练习 回顾小结

例题2－化简
(1) sin 13 ? cos17 ? cos13 ? sin 17
? ? ? ?

1 ? sin( 13 ? 17 ) ? sin 30 ? 2 ? ?
? ?
?

(2) sin 160 ? cos 40 ? cos160 ? sin 140
?

?

? sin 160 ? cos 40 ? cos160 ? sin 40 ? ? ? sin( 160 ? 40 )
? ? ?

?

3 ? sin 120 ? 2
?

复习回顾

公式推导

公式记忆

例与练习

回顾小结

练习1－求值或化简
6? 2 (1) sin 15 ? 4
?

(2) sin 24 ? cos36 ? sin 66 ? sin 144
? ? ?

?

3 ? 2
复习引入 公式推导 公式记忆 例与练习 回顾小结

练习2

2 ? 3 3 sin ? ? , ? ? ( , ? ), cos ? ? ? , ? ? (? , ? ), 3 2 5 2 求 sin(? ? ? ).

分析：sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ?

√

√

复习引入

公式推导

公式记忆

例与练习

回顾小结

练习2 解：

2 ? 5 由sin ? ? , ? ? ( , ? )，得 cos ? ? ? . 3 2 3

3 3? 4 又由cos ? ? ? , ? ? （?， ），得 sin ? ? ? 5 2 5

所以sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ? ?6?4 5 ? 15
复习引入 公式推导 公式记忆 例与练习 回顾小结

练习2

3 ? 变式1：在?ABC 中， sin A ? (0 ? ?A ? ), 5 4 5 ? ? cos B ? ( ? ?B ? ), 求 sin C. 13 4 2 提示：

sin C ? sin[ ? ? ( A ? B)] ? sin( A ? B)

复习引入

公式推导

公式记忆

例与练习

回顾小结

例题3

12 4 已知 sin （? ? ? ） ?? ， cos ? ? ? ， 13 5 3? ? 且? ? ? ? （? , ），? ? （ , ? ), 求 sin ? . 2 2
用已知角“整体”表示未知 角

复习引入

公式推导

公式记忆

例与练习

回顾小结

12 4 变式：已知 sin （? ? ?） ?? ， cos ? ? ? ， 13 5 且? , ? ? （ , ? ), 求 sin ? . 2 分析： sin ? ? sin ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? cos ? ? cos ?? ? ? ? sin ?
12 25 ? 12 ? 2 ? sin ?? ? ? ? ? ? ,? cos ?? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 13 ? 13 ? 169 5 ? cos ?? ? ? ? ? ?
2

?

?

?

2 2 ? ? ?? ? ? ? ? ? 2 5 ? cos ?? ? ? ? ?

? ? ? ?,

?

13

? ? ??

??

?
2

?? ?? ?

?
2
例与练习 回顾小结

13

复习引入

公式推导

公式记忆

演板练习3

5 4 已知 cos(? ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? , 13 5 且?、? ? (0， ), 求 sin 2? . 2

?

sin 2? ? sin ?(? ? ? ) ? (? ? ? )?
? sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )sin(? ? ? )
？ ？ √ √

复习引入

公式推导

公式记忆

例与练习

回顾小结

学以致用的公式变用能力—探究舞台

例4.把下列各式化为一个角的正弦型函数形式

3 1 (1) sin ? ? cos ? 2 2

(2)sin ? ? cos ?
(3)a sin x ? b cos x

3 1 (1) sin ? ? cos ? 2? 2
6 3 1 ? ? ? sin ? ? cos ? ? sin ? cos ? cos ? sin ? sin(? ? ) 2 2 6 6 6 cos
? sin 6

2 2 (2)? sin ? ? cos ? ? 2( sin ? ? cos ? ) 2 2 2 ? ? ? sin ? cos 2 4 4 ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ) 4 或 sin ? ? cos ? ? 2 cos(? ? ) 4

?

?

学以致用的公式变用能力—探究舞台

例4.把下列各式化为一个角的正弦型函数形式

3 1 (1) sin ? ? cos ? 2 2

(2)sin ? ? cos ?
(3)a sin x ? b cos x

化

a sin x ? b cos x

a sin x ? b cos x为一个角的三角函数形式
? ? a b ? a ?b ? sin x ? cos x ? 2 2 2 2 a ? b a ? b ? ? a cos ? ? ? a 2 ? b2 令 ? b ? sin ? ? a 2 ? b2
2 2

? a ? b ? sin x cos ? ? cos x sin ? ?
2 2

? a 2 ? b2 sin ? x ? ? ? 我们可进一步求出函数y ? a sin x ? b cos （ x x ? R)的
最大值是 a ? b 最小值是 ? a ? b
2 2 2 2

练习：
(1)求函数y ? sin x ? cos x的值域.
5? 12

? ? 2， 2 ? ? ?

(2)函数y ? 3sin 2 x ? 3 3 cos 2 x ? 1的最小值是 ?5 ，
? ；最大值是 7 ，对应的x值是 k? ? 12 ？ ? 解：（2）y ? 3sin 2 x ? 3 3 cos 2 x ? 1 ? 6sin(2 x ? ) ? 1 3 ?

对应的x值是

k? ?

5? 解得：x ? k? ? 12

? ?1 ? sin(2 x ? ) ? 1 ??5 ? y ? 7 3 ? ? ? 当y ? ?5时， sin(2 x ? ) ? ?1, 此时2 x ? ? 2k? ? 3 3 2

易得，当y ? 7时，x ? k? ?

?
12

小结
1、 S? ? ? : sin( ? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin ?
2、在两角和与差正弦公式的应用中，会 运用已知角“整体”表示未知角，运用 角的范围判断三角函数值的符号，如：

? ? (? ? ? ) ? ?

? ? (? ? ? ) ? ?

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? )
复习引入 公式推导 公式记忆 例与练习 回顾小结