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两角和与差的正弦s


两角和与差的正弦

复习引入:cos(? +? )

cos (? –? )

C(? ? ? ) :

cos?? ? ? ? ? cos? ? cos ? ? sin ? ? sin ?

C(? ? ? ) :

cos?? ? ? ? ? cos? ?

cos ? ? sin ? ? sin ?
sin ? ? cos( ? ? ) 2

用 ? ? 代替为 ?

思考:

我们能否用 ?、? 的正、余弦

?

来表示两角和与差的正弦呢?

复习引入

公式推导

公式记忆

例与练习

回顾小结

公式推导:

?? ? sin ? ? cos? ? ? ? ?2 ?

?? ? sin?? ? ?? ? cos? ? ?? ? ??? ?2 ?

? sin ? cos? ? cos? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
两角和的正弦公式
复习引入 公式推导 公式记忆 例与练习

?? ? ? ? ? cos?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? 2 ?? ? ?? ? ? cos? ? ? ? cos? ? sin? ? ? ? sin ? ?2 ? ?2 ?

S? ? ?

回顾小结

公式推导:
S?? ? ? ? : sin?? ? ? ? ? sin ? cos? ? cos? sin ?
用 ? ? 代替为 ?

sin?? ? ? ? ? sin ? cos(?? ) ? cos? sin(?? )

sin?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
两角差的正弦公式
复习引入 公式推导 公式记忆 例与练习

S? ??

回顾小结

两角和与差的正弦公式
1、

sin( ? + ? ?) ?S sin ? ? c cos ? + ?c cos? ?S sin ? sin( ? ? ? ) ? S sin ? ? c cos ? ? c cos? ?S sin ?

注意:①公式中角的顺序;
②公式中三角符号的顺序; ③公式中的运算符号.

复习引入

公式推导

公式记忆

例与练习

回顾小结

公式记忆

2、 S? ? ? : sin( ? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin ?
“异名积,同号连”

C? ? ? : cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ?
“同名积,异号连”

复习引入

公式推导

公式记忆

例与练习

回顾小结

例题1-求值
sin 75 ? sin(45 ? 30 )
?
? ?

? sin 45 ? cos30 ? cos45 ? sin 30
? ? ?

?

2 3 2 1 ? ? ? ? 2 2 2 2 6? 2 ? 4
复习引入 公式推导 公式记忆 例与练习 回顾小结

例题2-化简
(1) sin 13 ? cos17 ? cos13 ? sin 17
? ? ? ?

1 ? sin( 13 ? 17 ) ? sin 30 ? 2 ? ?
? ?
?

(2) sin 160 ? cos 40 ? cos160 ? sin 140
?

?

? sin 160 ? cos 40 ? cos160 ? sin 40 ? ? ? sin( 160 ? 40 )
? ? ?

?

3 ? sin 120 ? 2
?

复习回顾

公式推导

公式记忆

例与练习

回顾小结

练习1-求值或化简
6? 2 (1) sin 15 ? 4
?

(2) sin 24 ? cos36 ? sin 66 ? sin 144
? ? ?

?

3 ? 2
复习引入 公式推导 公式记忆 例与练习 回顾小结

练习2

2 ? 3 3 sin ? ? , ? ? ( , ? ), cos ? ? ? , ? ? (? , ? ), 3 2 5 2 求 sin(? ? ? ).

分析:sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ?





复习引入

公式推导

公式记忆

例与练习

回顾小结

练习2 解:

2 ? 5 由sin ? ? , ? ? ( , ? ),得 cos ? ? ? . 3 2 3

3 3? 4 又由cos ? ? ? , ? ? (?, ),得 sin ? ? ? 5 2 5

所以sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ? ?6?4 5 ? 15
复习引入 公式推导 公式记忆 例与练习 回顾小结

练习2

3 ? 变式1:在?ABC 中, sin A ? (0 ? ?A ? ), 5 4 5 ? ? cos B ? ( ? ?B ? ), 求 sin C. 13 4 2 提示:

sin C ? sin[ ? ? ( A ? B)] ? sin( A ? B)

复习引入

公式推导

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例与练习

回顾小结

例题3

12 4 已知 sin (? ? ? ) ?? , cos ? ? ? , 13 5 3? ? 且? ? ? ? (? , ),? ? ( , ? ), 求 sin ? . 2 2
用已知角“整体”表示未知 角

复习引入

公式推导

公式记忆

例与练习

回顾小结

12 4 变式:已知 sin (? ? ?) ?? , cos ? ? ? , 13 5 且? , ? ? ( , ? ), 求 sin ? . 2 分析: sin ? ? sin ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? cos ? ? cos ?? ? ? ? sin ?
12 25 ? 12 ? 2 ? sin ?? ? ? ? ? ? ,? cos ?? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 13 ? 13 ? 169 5 ? cos ?? ? ? ? ? ?
2

?

?

?

2 2 ? ? ?? ? ? ? ? ? 2 5 ? cos ?? ? ? ? ?

? ? ? ?,

?

13

? ? ??

??

?
2

?? ?? ?

?
2
例与练习 回顾小结

13

复习引入

公式推导

公式记忆

演板练习3

5 4 已知 cos(? ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? , 13 5 且?、? ? (0, ), 求 sin 2? . 2

?

sin 2? ? sin ?(? ? ? ) ? (? ? ? )?
? sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )sin(? ? ? )
? ? √ √

复习引入

公式推导

公式记忆

例与练习

回顾小结

学以致用的公式变用能力—探究舞台

例4.把下列各式化为一个角的正弦型函数形式

3 1 (1) sin ? ? cos ? 2 2

(2)sin ? ? cos ?
(3)a sin x ? b cos x

3 1 (1) sin ? ? cos ? 2? 2
6 3 1 ? ? ? sin ? ? cos ? ? sin ? cos ? cos ? sin ? sin(? ? ) 2 2 6 6 6 cos
? sin 6

2 2 (2)? sin ? ? cos ? ? 2( sin ? ? cos ? ) 2 2 2 ? ? ? sin ? cos 2 4 4 ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ) 4 或 sin ? ? cos ? ? 2 cos(? ? ) 4

?

?

学以致用的公式变用能力—探究舞台

例4.把下列各式化为一个角的正弦型函数形式

3 1 (1) sin ? ? cos ? 2 2

(2)sin ? ? cos ?
(3)a sin x ? b cos x



a sin x ? b cos x

a sin x ? b cos x为一个角的三角函数形式
? ? a b ? a ?b ? sin x ? cos x ? 2 2 2 2 a ? b a ? b ? ? a cos ? ? ? a 2 ? b2 令 ? b ? sin ? ? a 2 ? b2
2 2

? a ? b ? sin x cos ? ? cos x sin ? ?
2 2

? a 2 ? b2 sin ? x ? ? ? 我们可进一步求出函数y ? a sin x ? b cos ( x x ? R)的
最大值是 a ? b 最小值是 ? a ? b
2 2 2 2

练习:
(1)求函数y ? sin x ? cos x的值域.
5? 12

? ? 2, 2 ? ? ?

(2)函数y ? 3sin 2 x ? 3 3 cos 2 x ? 1的最小值是 ?5 ,
? ;最大值是 7 ,对应的x值是 k? ? 12 ? ? 解:(2)y ? 3sin 2 x ? 3 3 cos 2 x ? 1 ? 6sin(2 x ? ) ? 1 3 ?

对应的x值是

k? ?

5? 解得:x ? k? ? 12

? ?1 ? sin(2 x ? ) ? 1 ??5 ? y ? 7 3 ? ? ? 当y ? ?5时, sin(2 x ? ) ? ?1, 此时2 x ? ? 2k? ? 3 3 2

易得,当y ? 7时,x ? k? ?

?
12

小结
1、 S? ? ? : sin( ? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin ?
2、在两角和与差正弦公式的应用中,会 运用已知角“整体”表示未知角,运用 角的范围判断三角函数值的符号,如:

? ? (? ? ? ) ? ?

? ? (? ? ? ) ? ?

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? )
复习引入 公式推导 公式记忆 例与练习 回顾小结


两角和与差的正弦(案例)

? ( S? ? ? ).二、两角和与差的正弦公式的应用(数学运用) 2 ? 3 3? , ? ? ( , ? ) , cos ? ? ? , ? ? (? , ) .求 sin(? ? ? )...

两角和与差的正弦,余弦,正切(一)

因此我们得到两角和与差的正弦公式, 分别简记为 S(α +β )、 S(α -β ). sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ , sin(α -β )=sinα cos...

两角和与差的正弦、余弦教案

因此我们得到两角和与差的正弦公式,分别简记为 S(α+β)、S(α-β). 教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记 忆,同时进一步体会本节...

两角和与差正弦

? 5 ,则 3 3.1.2 两角和与差的正弦公式【学习目标】 1.能推导 ? 2 ?? , 3? ? ? 的诱导公式,并能灵活运用; 2 2.掌握 S(? ? ? ) 公式的推导,...

3.1.2__两角和与差的正弦、余弦公式

因此我们得到两角和与差的正弦公式,分别简记为 S(α+β)、S(α-β). sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 对...

两角和与差的正弦教案

有了 C(α+β)和 C(α-β)的公式,自然会联想到两角和与差的正弦公式如何...这一式子被称为两角差的正弦公式 S(α-β):sin(α-β)=sinαcosβ-cosα...

两角和与差的正弦

两角和与差的正弦两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2011-6-1 学情分析...tan15o 5、将 S (α + β ) 、 C (α + β ) 、 T(α + β )...

两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案

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