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2013年高一数学必修一课件:1.2《集合间的基本关系》(2)(北师大版)


集合间的基本关系

1.集合的表示方法有 列举法 、 描述法 . 2.元素与集合间的关系用符号 ∈ 或? ? 表示. 3.(1)若A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},用列举法表示集合

B= {4,9,16}.

.

(2)用描述法表示集合A={1,4,7,10,13}= {x|

x=3n-2,n∈N+,n≤5}

1.子集、真子集、集合相等的概念
概念 定义 符号表示 图形表示

任意一个
如果集合A中 子集 元素都是集 合B中的元素,就说这两个集合有

?B(或B A?

关系,称集合A为集合B的子集.

包含

?A) ?

? 如果集合A? B,但存在元素
真子集
集. 集合 相等

? A,则称集合A是集合B的真子 且 x?
如果 A?B且B?A ,那么就说集合 A与集合B相等.

x∈B

A? B(或 B? A)

?

?

A= B

2.空集 (1)定义: 不含任何元素 的集合,叫做空集.

?. (2)用符号表示为:?
3.子集的有关性质

(3)规定:空集是任何集合的 子集 . ?A . (1)任何一个集合是它本身的 子集 ,即 A?

?C . (2)对于集合A,B,C,如果A ? ?B,B? ?C,那么 A?

1.任何一个集合都是它本身的子集,对吗?

?A. 身,即A?

【提示】 正确,对于任何一个集合A,它的任何一个元素都属于集合A本 2.包含关系{a}? ?A与从属关系a∈A有什么区别?

?”表示的是两个集合间的 【提示】 两者的区别是:(1)从符号上看,“?
关系,而“∈”表示的是元素与集合间的关系; (2){a}是含一个元素a的集合,而a通常表示一个元素; (3){a}? ?A表示{a}是A的一个子集,而a∈A表示a是A的一个元素.

两集合相等的应用 ? b? ? ? 若 ?1,a, ? ={0,a2,a+b},则a2009+b2010的值为 a? ? ? ?
【思路点拨】 先从特殊元素0着手,结合集合元素的特性求解. 【解析】 ∵?1,a, ? ={0,a2,a+b},
? ? ? ? ? b? a? ?

.

∴0∈? . 1,a, ?
? ?

? ?

? b? a? ?

∴b=0,此时有{1,a,0}={0,a2,a}, ∴a2=1,a=±1. 当a=1时,不满足互异性, ∴a=-1. ∴a2009+b2010=-1.

【答案】 -1

(1)两个集合相等,则所含元素完全相同,与顺序无关,但

要注意检验,排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形.
(2)若两个集合中元素均无限多个,要看两集合的代表元素是否一致,且看 代表元素满足的条件是否一致,若均一致,则两集合相等.

? A. (3)证明两个集合相等的思路是证:A ? ?B且B?

1. M={x|x=1+a2,a∈R},P={x|x=a2-4a+5,a∈R}, 试问M与P的关系怎样? 【解析】 ∵a∈R,

∴x=1+a2≥1,
x=a2-4a+5=(a-2)2+1≥1, ∴M={x|x≥1},P={x|x≥1}, ∴M=P

子集、真子集的概念问题

?{a,b,c,d}的所有集合A. 写出满足{a,b}?A?
【思路点拨】 解答本题可根据子集、真子集的概念求解.

【解析】 由题设可知,一方面A是集合{a,b,c,d}的子集,另一方面A
又真包含集合{a,b},故集合A中至少含有两个元素a,b,且含有c,d两个 元素中的一个或两个. 故满足条件的集合有{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,d}. (1)正确区分子集与真子集概念是解题的关键. (2)写一个集合的子集时,按子集中元素个数多少,以一定顺序来写避免发生

重复和遗漏现象.
(3)集合中含有n个元素,则此集合有2n个子集,记住这个结论可以提高解答速
? 和集合本身易漏掉. 度,其中要注意空集?

2.已知集合A?{x∈N|-1<x<4},且A中至少有一个元素 为奇数,问:这样的集合A有多少个?并用恰当的方法表示这些集合.

【解析】 这样的集合A共有11个.
∵{x∈N|-1<x<4}={0,1,2,3}, 又A?{0,1,2,3},且A中至少含有一个奇数, 故A中只含有一个元素时,A可以为{1},{3}. A中含有两个元素时, A可以为{1,0},{1,2},{1,3},{3,0},{3,2}. A中含有三个元素时, A可以为{1,0,2},{3,0,2},{1,3,0},{1,3,2}.

(真)子集的综合应用
已知集合A={x|2≤x<4},B={x|x<a}.若A?B, 求实数a的取值范围. 【思路点拨】 解答本题可采用数轴分析法,将集合A、B表示在数轴上, 利用数轴分析a的取值. 【解析】 将数集A表示在数轴上(如图所示),要满足A?B,表示数a的点 必须在表示4的点处或在表示4的点的右边,所以所求a的集合为{a|a≥4}.

解决此类问题的常用方法是数形结合,首先将各个已知集 合在数轴上画出来,以形定数,然后利用数轴分析,再结合(真)子集的定义, 列出参数满足的不等式,进而求出参数的取值范围.值得注意的是要检验端 点值是否满足题意,做到准确无误.

3.(1)本例中A?B换成A? ?B,A={x|2≤x≤4},则a的取值范 围又是什么? (2)本例中,若集合B={x|2a-9<x<a},其他条件不变,则a的取值范围又 如何呢? 【解析】 (1)将集合A表示在数轴上.

要使A ? ?B,需a>4.所以所求a的取值范围为a>4.
? ,所以B≠? ?. (2)由于A ?B,A≠?

2a-9<a ? ? 由数轴知 ?2a-9<2 ,解得4≤a< 11 .故所求a的取值范围是4≤a< 11. 2 2 ? ?a≥4

1.子集、真子集的概念的理解
(1)集合A是集合B的子集,不能简单地理解为集合A是由集合B的“部分元 素”所组成的集合.如A=? ,则集合A不含B中的任何元素. ? (2)如果集合A中存在着不属于集合B的元素,那么A不包含于B,或B不包含 A.这有两方面的含义,其一是A、B互不包含,如A={a,b},B={b,c,d}; 其二是,A包含B,如A={a,b,c},B={b,c}.

2.集合相等 (1)集合相等的定义有两方面含义:

?B且B? ?A,那么A=B;若A=B,那么A ? ?B且B ? 若A? ?A.
(2)证明两个集合相等的方法:若A、B两个集合是元素较少的有限集,

可用列举法将元素列举出来,说明两个集合的元素完全相同,从而A=B;

?A都成立即可. ?B与B? 若A、B是无限集,欲证A=B,只需证A ?

3.注意一些容易混淆的符号

?表示集合与集合之间的关系,因此有N ? ?R, N?;? ?? ? R. ?

?的区别:∈表示元素与集合之间的关系,因此有0∈N,但0? (1)∈与?
(2)a与{a}的区别:一般地a表示一个元素,而{a}表示只有一个元素的集

?{1,2,3}等,不能写成1? ?{1,2,3},0= 合,因此有1∈{1,2,3},0∈{0},{1}?
{0},{1}∈{1,2,3}.

? (3){0}与? 的区别:{0}是仅含有一个元素的集合,? ?是不含任何元素的

?{0},不能写成? ? 集合,因此有? ?? ={0},? ?∈{0}等.

若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},且B?A,求m的值.

【错解】 A={x|x2+x-6=0}={-3,2}.
∵B?A,∴mx+1=0的解为-3或2. 当mx+1=0的解为-3时, 由m·(-3)+1=0,得m= 3; 1 当mx+1=0的解为2时,由m·2+1=0得m=- . 综上所述,m= 或m=- .
1 3 1 2 2 1

【错因】

上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法.原因是考虑不全面,

由集合B的含义及B?A,忽略了集合为? ?的可能,而漏掉解.因此题目若出现包
?的可能. 含关系时,应首先想到有没有出现?

【正解】 A={x|x2+x-6=0}={-3,2}. ∵B?A, ∴当B=? ?时,m=0适合题意. 当B≠? ? 时, 方程mx+1=0的解为x=- m ,
1 1 =-3或- =2, m m ∴m= 1 或m=- 1 3 2

1

则-

综上可知,所求m的值为0或 3 或- 2

1

1

1.集合{0,1}的子集有( ?A.?1个 ?C.?3个? B.?2个 D.?4个

)

【答案】 ?D?

2.下列各式中,正确的是(

)

A.2 3 ∈{x|x≤3} C.2? 3 ? {x|x≤3}

B.2? 3 ? {x|x≤3}
D.{2 3 }?{x|x≤3}

【解析】 2 3 表示一个元素,{x|x≤3}表示一个集合,但2 3 不在集合

? 中,故2 3 ? {x|x≤3},A、C不正确,又集合{2 3 }? {x|x≤3},故D不正确.
【答案】 B 3.集合A={1}与集合B={x|x2-4x+3=0}的关系为 【答案】 A? B .

4.已知集合A={x∈R|x2-3x+4=0},B={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}要

? 使A?P? B,求满足条件的集合P.
【解析】 由题意得,A={x∈R|x2-3x+4=0}=? ?, B={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}={-1,1,-4}, ? 由A?P? B知集合P非空,且其元素全属于B,即有满足条件的集合P为:{ -1}或{1}或{-4}或{-1,1}或{-1,-4}或{1,-4}或{-1,1,-4}.


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