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2017高中数学课本典例改编之必修一:专题五 函数的图象.doc

时间:2017-04-01


一、题之源:课本基础知识 1.作函数的图象有两种基本方法: (1)利用描点法作图,其一般步骤为: ①确定函数定义域; ②化简函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等); ④描点并作出函数图象. (2)图象变换法. ㈠平移变换 ①水平平移: y=f(x)的图象向左平移 a(a>0)个单位长度, 得到 y ? f ? x ? a ? 的图象; y=f(x -a)

(a>0)的图象可由 y=f(x)的图象向左平移 a 个单位长度而得到. ②竖直平移: y=f(x)的图象向上平移 b(b>0)个单位长度, 得到 y ? f ? x ? ? b 的图象; y=f(x) -b(b>0)的图象可由 y=f(x)的图象向下平移 b 个单位长度而得到. 总之,对于平移变换,记忆口诀为“左加右减,上加下减”. ㈡对称变换 ① y=f(-x),y=-f(x),y=-f(-x)三个函数的图象与 y=f(x)的图

象分别关于 y 轴、x 轴、原点对称; ②若对定义域内的一切 x 均有 f(m+x)=f(m-x),则 y=f(x)的图象关于直线 x=m 对称. 2.作分段函数的图象时 ,分别作出各段的图象,在作每一段图象时 ,先不管定义域的限制,作出 其图象,再保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏. 3.识图与用图 (1)识图 对于给定的图象,要能从图象的左、右、上、下分布的范围、变化趋势、对称性等方面研究 函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、最大值、最小值等. (2)用图 函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解 题途径,使问题成功获解的重要依托. 函数图象主要应用于以下方面:①求函数的解析式;②求函数的定义域;③求函数的值域; ④求函数的最值; ⑤判断函数的奇偶性; ⑥求函数的单调区间; ⑦解不等式; ⑧证明不等式; ⑨探求关于方程根的分布问题;⑩比较大小;? 求函数周期等. 二、题之本:思想方法技巧 1.证明函数图像的对称性,即证明图像上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像

上;如已知函数 f ( x) ? 心对称图形。

x ?1? a (a ? R) 。求证:函数 f ( x) 的图像关于点 M (a, ?1) 成中 a?x

2.曲线 f ( x, y ) ? 0 关于点 ( a, b) 的对称曲线的方程为 f (2a ? x, 2b ? y ) ? 0 。如若函数

y ? x 2 ? x 与 y ? g ( x) 的图象关于点(-2,3)对称,则 g ( x) =______(答:? x 2 ? 7 x ? 6 )
3.形如 y ? ax ? b (c ? 0, ad ? bc) 的图像是双曲线, 对称中心是点 (? d , a ) 。 如已知函数图

cx ? d

c c

象 C ? 与 C : y( x ? a ? 1) ? ax ? a2 ? 1关于直线 y ? x 对称,且图象 C ? 关于点(2,-3)对 称,则 a 的值为______(答:2) 4.作 | f ( x) | 的图象时先保留 f ( x) 原来在 x 轴上方的图象,作出 x 轴下方的图象关于 x 轴的 对称图形,然后擦去 x 轴下方的图象得到;作 f (| x |) 的图象时先保留 f ( x) 在 y 轴右方的图 象,擦去 y 轴左方的图象,然后作出 y 轴右方的图象关于 y 轴的对称图形得到。如(1)作 出函数 y ?| log2 ( x ? 1) | 及 y ? log 2 | x ? 1| 的图象; (2)若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函 数,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ) 的图象关于____对称 (答: y 轴) 5.函数图象的辨识可从以下几方面入手:(1)从函数的定义域判断图象的左右位置;从函数的 值域判断图象的上下位置;(2)从函数的单调性判断图象的变化趋势;(3)从函数的奇偶性判 断图象的对称性;(4)从函数的周期性判断图象的循环往复;(5)从函数的特殊点判断图象的 相对位置等. 6.涉及函数图象问题的试题形式主要有: ①知图选(求)式; ②知式选(作)图; ③图象变换; ④图式结合等. 对基本初等函数,要“胸有成图”,会“依图判性”,进而达到对图“能识会用”. 7.图象对称性的证明 (1)证明函数的对称性, 即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图 象上. (2)证明曲线 C1 与 C2 的对称性,即证明 C1 上任一点关于对称中心(或对称轴)的对称点在 C2 上,反之亦然. 8.函数图象的辨识可从以下几方面入手:(1)从函数的定义域判断图象的左右位置;从函数的

值域判断图象的上下位置;(2)从函数的单调性判断图象的变化趋势;(3)从函数的奇偶性判 断图象的对称性;(4)从函数的周期性判断图象的循环往复;(5)从函数的特殊点判断图象的 相对位置等. 例:函数 y= cos6x - 的图象大致为( 2x-2 x )

cos6x π kπ 解:令 f(x)= x -x,由 f(-x)=-f(x)知 f(x)为奇函数,排除 A;由 cos6x=0?x= + (k 12 6 2 -2 π π ∈Z),知 f(x)=0 有无穷多个根,排除 C;x 轴正半轴靠近原点的根为 ,不妨取 x= ∈ 12 24

?0, π ?得 f? π ?>0,排除 B.故选 D. ? 12? ?24?
三、题之变:课本典例改编 1.原题(必修 1 第二十三页练习第二题)改编 1 小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交 通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶 . 与以上事件吻合得最好的图象是 ( )

【答案】C.

改编 2 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的 行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图象可能是 ( )

【答案】A. 【解析】汽车加速行驶时,速度变化越来越快,而汽车匀速行驶时,速度保持不变,体现在 s 与 t 的函数图象上是一条直线,减速行驶时,速度变化越来越慢,但路程仍是增加的.故 选 A. 改编 3 如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点.点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记∠BOP=x.将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x),则 y=f(x) 的图象大致为( )

【答案】B.

2.原题(必修 1 第二十五页习题 1.2B 组第二题)画出定义域为 x ? 3 ? x ? 8, 且x ? 5 ,值 域为 (1)将你的图像和其他同学的比较,有什么差别 ? y ? 1 ? y ? 2, y ? 0? 的一个函数的图像, 吗?(2)如果平面直角坐标系中点 P(x,y) 的坐标满足 ?3 ? x ? 8 , ?1 ? y ? 2 ,那么其 中哪些点不能在图像上? 改编 1 若函数 y ? f ( x) 的定义域为 x ? 3 ? x ? 8, x ? 5 , 值域为 y ? 1 ? y ? 2, y ? 0 , 则 y ? f ( x) 的图象可能是( )

?

?

?

?

?

?

A 【答案】B.

BC

D

2 ? ?3-x ,x∈[-1,2], 改编 2 已知函数 f(x)=? ?x-3,x∈? 2 ,5]. ?

(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出 f(x)的图象; (2)写出 f(x)的单调递增区间; (3)由图象指出当 x 取什么值时 f(x)有最值. 【解析】(1)函数 f(x)的图象如图所示.

(2)由图象可知, 函数 f(x)的单调递增区间为, . (3)由图象知当 x=2 时,f(x)min=f(2)=-1, 当 x=0 时,f(x)max=f(0)=3. 3.原题(必修 1 第一百一十三页复习参考习 B 组第一题) 经济学家在研究供求关系时,一 般用纵轴表示产品价格(自变量) ,而用横轴来表示产品数量(因变量) ,下列供求曲线,哪 条表示厂商希望的供应曲线,哪条表示客户希望的需求曲线?为什么?(图略) 改编 1 某地一年的气温 Q(t) (单位:℃)与时间 t(月份)之间的关系如图(1)所示, 已知该年的平均气温为 10℃,令 G(t)表示时间段〔0,t〕的平均气温,G(t)与 t 之间 的函数关系用下列图象表示,则正确的应该是 ( )

【答案】A. 改编 2 为了稳定市场,确保农民增收,某农产品的市场收购价格 a 与其前三个月的市场收 购价格有关,且使 a 与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小.若下表列出的是该产 品前 6 个月的市场收购价格: 月份 价格 (元/担) 1 68 2 78 3 67 4 71 5 72 6 70 ( A.69 元 D.72 元 【答案】C. 改编 3 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三 辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( ) ) 7

则 7 月份该产品的市场收购价格应为

B.70 元C . 71 元

A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时.相同条件下, 在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D


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