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(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)3.3


讲案 3.3 等比数列 课前自主研习 温故而知新 可以为师矣 知 识 导 读 1.等比数列的判定与证明方法 (1) 定 义 法 : ______________________________; (2) 等 比 中 项 法 : __________________________; (3) 通 项 公 式 法 : __________________________. 2.等比数

列的通项公式 (1) 原 型 结 构 式 : an = ____________________; (2) 变 式 结 构 式 : an = am· __________________.(n>m) 3.等比数列的前 n 项和公式 若等比数列{an}的首项为 a1,公比 为 q , 则 Sn = ________ = ________________. 4.等比数列的常用性质 (1)等比数列{an}中 , n、 q∈N*, m、 p、

若 m + n = p + q , 则 am·n__________ap·q; a a (2)等比数列{an}中 ,Sn 为其前 n 项 和, n 为偶数时, 偶=S 奇· 当 S __________; (3)等比数列{an}中 ,公比为 q,依 次 k 项 和 Sk , S2k - Sk , S3k - S2k 成 __________ 数 列 , 新 公 比 q′ = __________. 5.等比数列中解题技巧与经验 (1) 若 {an} 是 等 比 数 列 , 且 an > 0(n∈N*), 则{logaan}成__________数列, 反之亦然; (2)三个数成等比数列可设三个数为 __________,四个正数成等比数列可设 四个数为__________. an+1 导读校对: 1.(1) a =q(常数), n∈N* n (2)a2=an-1·n+1,n≥2,n∈N* (3)an= a n a1·n - 1 , n∈N* 2.(1)a1·n - 1 , n∈N* q q (2)qn


m

?na1,q=1, ? 3. ?a1?1-qn? ? 1-q ,q≠1; ?

?na1,q=1, ? ?a1-anq ? 1-q ,q≠1 ? 等比 q
k

4.(1) =

(2)q

(3) a q3 ,

a 5.(1)等差 (2)q,a,aq

a ,aq,aq3 q 基 础 热 身 1.(2010· 浙江卷)若 Sn 为等比数列{an} S5 的前 n 项和,8a2+a5=0,则S =( ) 2 A.11 B.5 C.-8 D.-11 解析:由 8a2+a5=0,得 8a1q+a1q4 5 S5 a1?1+2 ? =0,得 q=-2,则S = 2 =-11. a1?1-2 ? 2 答案:D 2.(2010· 广东卷)已知数列{an}为等 比数列,Sn 是它的前 n 项和,若 a2·3= a 5 2a1,且 a4 与 2a7 的等差中项为4,则 S5 =( )

A.35 B.33 C.31 D.29 解析:设公比为 q(q≠0),则由 a2·3 a =2a1 知 a1q3=2, 得 a4=2. 5 1 又∵a4+2a7=2, 7=4, 1=16, ∴a ∴a 1 q=2. ? ?1?5? 5 16?1-?2? ? a1?1-q ? ? ? ? ? 故 S5= = 1 =31. 1-q 1-2 答案:C 3. (2010· 北京卷)在等比数列{an}中, a1=1,公比|q|≠1.若 am=a1a2a3a4a5,则 m=( ) A.9 B.10 C.11 D.12 解析:在等比数列{an}中,∵a1=1, ∴am=a1a2a3a4a5=a5q10=q10. 1 又∵am =qm - 1 ,∴m-1=10,∴m =11. 答案:C

4.(2010· 天津卷)已知{an}是首项为 1 的等比数列,若 Sn 是{an}的前 n 项和, ?1? 且 9S3 =S6 ,则数列 ?a ? 的前 5 项和为 ? n? ( ) 15 31 31 15 A. 8 或 5 B.16或 5 C.16 D. 8 解析:若 q=1,则由 9S3=S6,得 9×3a1=6a1,则 a1=0,不满足题意,故 q≠1. a1?1-q3? 由 9S2 = S4 , 得 9× = 1-q a1?1-q6? ,解得 q=2. 1-q 1 ?1?n-1 n-1 n-1 故 an=a1q =2 ,a =?2? . ? ? n ?1? 1 ? ?是以 1 为首项, 为公 于是数列 a 2 ? n? 比 的 等 比 数 列 , 其 前 5 项 和 为 S5 = ? ?1?5? 1×?1-?2? ? ? ? ? ? 31 1 =16. 1-2

答案:C 5.(2010· 辽宁卷)设{an}是由正数组 成的等比数列, n 为其前 n 项和. a2a4 S 若 =1,S3=7,则 S5=( ) 15 31 33 17 A. 2 B. 4 C. 4 D. 2 解析: ∵{an}是由正数组成的等比数 列,且 a2a4=1, ∴设{an}的公比为 q,则 q>0,且 a2=1,即 a3=1. 3 1 1 ∵S3 =7,∴a1 +a2 +a3 = q2 + q +1 =7,即 6q2-q-1=0. 1 1 1 故 q=2, q=-3(舍去), 1=q2= 或 a 4. ? 1? 4?1-25? ? 1 ? 31 ? ? 故 S5= =8?1-25?= 4 . 1 ? ? 1-2 答案:B 6.(2010· 全国卷Ⅰ)已知各项均为正 数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9

=10,则 a4a5a6=( ) A.5 2 B.7 C.6 D.4 2 解析:∵a1a2a3=5,a7a8a9=10,且 {an}是各项均为正数的等比数列,∴a2 a8 3 3 3 3 6 = 5,8= 10.于是a = 2, q = 2, a 即 2 6 3 q = 2. 故 5 2. 答案:A 思维互动启迪 博学而笃志 切问而近思 疑难精讲 1.在等比数列{an}中, 已知 a1、 n、 q、 an、Sn 中的三个量,可以求其他两个量, 归结为解方程(组)问题. 2.掌握设元的方法和技巧:三个数 a 成等比数列时,可设为q,a,aq,公比 为 q;四个数成等比数列(公比 q>0)时, 3 3 3 3 a4a5a6=a5=(a2q ) =( 6 3 5· 2) =

a a 可设为q3,q,aq,aq3,公比为 q2 等. 3.运用等比数列的求和公式时,需 对 q=1 和 q≠1 进行讨论. 4.解题时,应该注意等比数列的常 用性质的应用,以减少运算量. 5.对于数列{anbn}(其中{an}为等差 数列, n}为等比数列)的求和, {b 可用“乘 公比,错位相减法”完成. 互动探究 题型 1. 等比数列中基本量的计算 例1 在等比数列{an}中,已知 a6 -a4 = 24,a3·5=64.求{an}前 8 项的和 S8. a 【解法一】 设数列{an}的公比为 q,依题意, a6-a4=a1q3(q2-1)=24,① a3·5=(a1q3)2=64, a ∴a1q3=± 8. 将 a1q3=-8 代入①式得 q2-1=- 3,q2=-2,舍去.

将 a1q3=8 代入到①式得 q2-1=3, q=± 2. a1?q8-1? 当 q=2 时,a1=1,S8= = q-1 255; a1?q8-1? 当 q=-2 时,1=-1,8= a S q-1 =85. 【解法二】 因为{an}是等比数列, 所以依题设得 a2=a3·5=64, a 4 ∴a4=± 8,a6=24+a4=24± 8, a6 ∵a >0, 故舍去 a4=-8, a4=8, 得 4 a6=32. a6 2 从而 q =a =4.∴q=± 2. 4 当 q=2 时, 1=a4·-3=1, 9=a6·3 a q a q =256, a1-a9 ∴S8= =255; 1-q 当 q=-2 时,a1=a4·-3=-1,a9 q =a6·3=-256, q

a1-a9 ∵S8= =85. 1-q 题型 2. 等比数列的判定与证明 例 2.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 1 Sn=3(an-1)(n∈N*). (1)求 a1,a2; (2)求证:数列{an}是等比数列. 1 【解析】 (1)由 S1=3(a1-1),得 1 a1=3(a1-1), 1 ∴a1=-2. 1 1 又 S2=3(a2-1),即 a1+a2=3(a2- 1 1),得 a2=4. (2)证明:当 n≥2 时, 1 1 an=Sn-Sn-1=3(an-1)-3(an-1-1)

1 an 得 =-2. an-1 1 1 ∴{an}是首项为-2, 公比为-2的等 比数列. 题型 3.等比数列性质的应用 例 3.(1)已知等比数列{an},a1 +a2 +a3=7,a1a2a3=8,则 an=________. (2)已知数列{an}是等比数列,且 Sm = 10 , S2m = 30 , 则 S3m = ________(m∈N*). (3)在等比数列{an}中,公比 q=2, 前 99 项的和 S99=56, a3+a6+a9+? 则 +a99=________. 【解析】 (1)∵a1a2a3=a3=8, 2 ?a1+a3=5 ? ∴a2=2,∴? ?a1a3=4 ?
?a1=1, ? 解得? ?a3=4 ? ?a1=4 ? 或? ?a3=1 ?

当 a1=1、a2=2、a3=4 时,q=2, an=2n-1

1 当 a1=4、a2=2、a3=1 时,q=2, 1 n-1 an=4·2) . ( (2)∵{an}是等比数列,∴(S2m-Sm)2 =Sm· 3m-S2m),即 202=10· 3m-30)得 (S (S S3m=70. (3)a3 +a6 +a9 +?+a99 是数列{an} 的前 99 项中的一组,还有另外两组,它 们之间存在着必然的联系. 设 b1=a1+a4+a7+?+a97,b2=a2 +a5+a8+?+a98,b3=a3+a6+a9+? +a99, 则 b1q=b2,b2q=b3 且 b1+b2+b3= 56, 56 2 ∴b1(1+q+q )=56, b1= 即 1+2+4 =8,∴b3=b1q2=32. 1 n-1 n-1 【答案】 (1)2 或 4·2) ( (2)70 (3)32

题型 4 等比数列的综合问题 例 4 设等比数列{an}的公比为 q, 前 n 项和 Sn>0(n=1,2?). (1)求 q 的取值范围; 3 (2)设 bn=an+2-2an+1, 记{bn}的前 n 项和为 Tn,试比较 Sn 和 Tn 的大小. 【解析】 (1)因为{an}是等比数列, Sn>0,可得 a1=S1>0,q≠0. 当 q=1 时, n=na1>0; q≠1 时, S 当 a1?1-qn? Sn= >0, 1-q 1-qn 即 >0(n=1,2,?), 1-q ?1-q<0, ? 上式等价于不等式组 ? ?1-qn<0, ? (n=1,2,?),① ?1-q>0, ? 或? (n=1,2,?).② ?1-qn>0. ? 解①式得 q>1;解②,由于 n 可为 奇数, 可为偶数, 得-1<q<1.综上所述,

q 的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞). 3 (2)由 bn=an+2-2an+1 得,bn=an(q2 3 3 2 -2q),Tn=(q -2q)Sn. 3 2 于是 Tn-Sn=Sn(q -2q-1)=Sn(q+ 1 2)(q-2). 又 Sn>0,且-1<q<0 或 q>0,则 1 当-1<q<-2或 q>2 时,Tn-Sn >0,即 Tn>Sn; 1 当-2<q<2 且 q≠0 时, n-Sn<0, T 即 Tn<Sn; 1 当 q=-2或 q=2 时,Tn-Sn=0, 即 Tn=Sn. 错解辨析 例 5{an}是首项为 1 的正项数列, 且 (n + 1)a 2+1 - na 2 + an + 1an = 0(n = n n

1,2,3 , ?) , 则 它 的 通 项 公 式 是 an = __________. 【错解】 ∵(n+1)a2+1-na2+an+ n n a 1·n=0 ∴(an+1+an)[n(an+1-an)+an+1]=0 即(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0 ∵an>0, n+1+an>0, ∴a ∴(n+1)an an+1 n +1=nan,∴ an =n+1,∴{an}是以 1 为 n 首项, 为公比的等比数列. n+1 n n-1 ∴an=1· ( ) . n+1 an+1 【错因】 以上解答错在由“ a = n an+1 n ”认为它是等比数列,其实,由 a n+1 n =q 得{an}为等比数列的条件不仅仅是 一种形式,而是这里的 q 必须是一非零 n 常数,而 显然不是常数,所以解答 n+1 错误.

【正解】 ∵(n+1)a2+1-na2+an+ n n 1an=0 ∴(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0 ∵an>0,∴an+1+an>0 an+1 n n ∴ a = ,即 an+1= an n+1 n+1 n n-1 n-1 n-2 ∴an= n an-1= n · an-2 n-1 n-1 n-2 = ? = n · ?a3 = n-1 n-1 n-2 2 n · ?3a2 n-1 n-1 n-2 2 1 1 = n · ?3·=n 2 n-1 1 ∴数列的通项公式为 an=n.


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