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(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)3.3


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/>知 识 导 读 1.等比数列的判定与证明方法

an+1 =q(常数),n∈N* an (1)定义法:______________________________; a2=an-1·n+1,n≥2,n∈N* a (2)等比中项法:__________________________; n (3)通项公式法:__________________________. an=a1·n-1,n∈N* q
2.等比数列的通项公式 a1·n-1,n∈N* q (1)原型结构式:an=____________________; qn-m (2)变式结构式:an=am· __________________.(n>m) ?na1,q=1, 3.等比数列的前 n 项和公式 ?

?a1?1-qn? ? 1-q ,q≠1; 若等比数列{an}的首项为 a1, 公比为 q, Sn=____________ 则 ? ?na1,q=1, ? ?a1-anq =________________. ? 1-q ,q≠1 ?
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4.等比数列的常用性质 (1)等比数列{an}中 ,m、n、p、q∈N*,若 m+n=p+q,则 = am·n__________ap·q; a a (2)等比数列{an}中 ,Sn 为其前 n 项和,当 n 为偶数时,S 偶 =S 奇· q __________; (3)等比数列{an}中 ,公比为 q,依次 k 项和 Sk,S2k-Sk,S3k qk 等比 -S2k 成__________数列,新公比 q′=__________.

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5.等比数列中解题技巧与经验 (1) 若 {an} 是 等 比 数 列 , 且 an > 0(n∈N*) , 则 {logaan} 成 等差 __________数列,反之亦然; a ,a,aq (2)三个数成等比数列可设三个数为__________,四个正数 q

a a 3 3, ,aq,aq q q 成等比数列可设四个数为________________.

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基 础 热 身 1.(2010· 浙江卷)若 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5 S5 =0,则 =( ) S2 A.11 B.5 C.-8 D.-11

S5 解析:由 8a2+a5=0,得 8a1q+a1q =0,得 q=-2,则 = S2 a1?1+25? =-11. a1?1-22? 答案:D
4

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2.(2010· 广东卷)已知数列{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 5 项和,若 a2·3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中项为 ,则 S5=( a ) 4 A.35 B.33 C.31 D.29

解析:设公比为 q(q≠0),则由 a2·3=2a1 知 a1q3=2, a 得 a4=2. 5 1 1 又∵a4+2a7= ,∴a7= ,∴a1=16,q= . 2 4 2 ? ?1? ? ? 16?1-?2?5? ? ? ? a1?1-q5? ? ? ? ? 故 S5= = =31. 1 1-q 1- 2 答案:C
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3.(2010· 北京卷)在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若 am =a1a2a3a4a5,则 m=( ) A.9 B.10 C.11 D.12

解析:在等比数列{an}中,∵a1=1, ∴am=a1a2a3a4a5=a5q10=q10. 1 -1 又∵am=qm ,∴m-1=10,∴m=11. 答案:C

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4. (2010· 天津卷)已知{an}是首项为 1 的等比数列, Sn 是{an} 若 ?1? ? ? 的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列?a ?的前 5 项和为( ) ? ? ? n? 15 31 31 15 A. 或 5 B. 或 5 C. D. 8 16 16 8

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解析:若 q=1,则由 9S3=S6,得 9×3a1=6a1,则 a1=0, 不满足题意,故 q≠1. a1?1-q3? a1?1-q6? 由 9S2=S4,得 9× = ,解得 q=2. 1-q 1-q 1 ?1?n-1 n-1 n -1 故 an=a1q =2 , =?2? . an ? ? ? ? ?1? ? ? 1 ? ?是以 1 为首项, 为公比的等比数列,其前 5 于是数列?a ? 2 ? n? ? ? 1? ? ? 1×?1-?2?5? ? ? ? 31 ? ?? ? 项和为 S5= = . 1 16 1- 2 答案:C

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5.(2010· 辽宁卷)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其 前 n 项和.若 a2a4=1,S3=7,则 S5=( ) 15 31 33 17 A. B. C. D. 2 4 4 2 解析:∵{an}是由正数组成的等比数列,且 a2a4=1, ∴设{an}的公比为 q,则 q>0,且 a2=1,即 a3=1. 3 1 1 ∵S3=7,∴a1+a2+a3= 2+ +1=7,即 6q2-q-1=0. q q 1 1 1 故 q= ,或 q=- (舍去),a1= 2=4. 2 3 q ? 1? ? 4?1-25? ? ? 1 ? 31 ? ? ? 故 S5= =8?1-25?= . ? 1 4 ? ? 1- 2 答案:B
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6.(2010· 全国卷Ⅰ)已知各项均为正数的等比数列{an}中, a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6=( ) A.5 2 B.7 C.6 D.4 2

解析:∵a1a2a3=5,a7a8a9=10,且{an}是各项均为正数的 a8 3 3 3 3 6 等比数列,∴a2= 5,a8= 10.于是 = 2,即 q = 2,q3= a2 6 2. 3 6 3 3 3 3 故 a4a5a6=a5=(a2q ) =( 5· 2) =5 2. 答案:A

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疑难精讲 1.在等比数列{an}中,已知 a1、q、n、an、Sn 中的三个量,可 以求其他两个量,归结为解方程(组)问题. a 2.掌握设元的方法和技巧:三个数成等比数列时,可设为 , q a a a,aq,公比为 q;四个数成等比数列(公比 q>0)时,可设为 3, , q q aq,aq3,公比为 q2 等. 3.运用等比数列的求和公式时,需对 q=1 和 q≠1 进行讨论. 4.解题时,应该注意等比数列的常用性质的应用,以减少运 算量. 5.对于数列{anbn}(其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列)的 求和,可用“乘公比,错位相减法”完成.

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互动探究 题型 1. 等比数列中基本量的计算 例1 在等比数列{an}中,已知 a6-a4=24,a3·5=64.求{an}前 8 项 a 的和 S8.
【解法一】 设数列{an}的公比为 q,依题意, a6-a4=a1q3(q2-1)=24,① a3·5=(a1q3)2=64, a ∴a1q3=± 8. 将 a1q3=-8 代入①式得 q2-1=-3,q2=-2,舍去. 将 a1q3=8 代入到①式得 q2-1=3,q=± 2. a1?q8-1? 当 q=2 时,a1=1,S8= =255; q-1 a1?q8-1? 当 q=-2 时,a1=-1,S8= =85. q-1
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【解法二】 因为{an}是等比数列,所以依题设得 a2=a3·5 a 4 =64, ∴a4=± 8,a6=24+a4=24± 8, a6 ∵ >0,故舍去 a4=-8,得 a4=8,a6=32. a4 a6 2 从而 q = =4.∴q=± 2. a4 当 q=2 时,a1=a4·-3=1,a9=a6·3=256, q q a1-a9 ∴S8= =255; 1-q 当 q=-2 时,a1=a4·-3=-1,a9=a6·3=-256, q q a1-a9 ∵S8= =85. 1-q

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题型 2. 等比数列的判定与证明 1 例 2.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn= (an-1)(n∈N*). 3 (1)求 a1,a2; (2)求证:数列{an}是等比数列.

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1 1 【解析】 (1)由 S1= (a1-1),得 a1= (a1-1), 3 3 1 ∴a1=- . 2 1 1 1 又 S2= (a2-1),即 a1+a2= (a2-1),得 a2= . 3 3 4 (2)证明:当 n≥2 时, 1 1 an=Sn-Sn-1= (an-1)- (an-1-1) 3 3 an 1 得 =- . 2 an-1 1 1 ∴{an}是首项为- ,公比为- 的等比数列. 2 2

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题型 3.等比数列性质的应用 例 3.(1)已知等比数列{an},a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,则 an =________. (2)已知数列{an}是等比数列,且 Sm=10,S2m=30,则 S3m= ________(m∈N*). (3)在等比数列{an}中,公比 q=2,前 99 项的和 S99=56,则 a3+a6+a9+?+a99=________.

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【解析】 (1)∵a1a2a3=a3=8, 2 ?a1+a3=5 ? ∴a2=2,∴? ?a1a3=4 ?
?a1=1, ? 解得? ?a3=4 ? ?a1=4 ? 或? ?a3=1 ?

当 a1=1、a2=2、a3=4 时,q=2,an=2n-1 1 1 n -1 当 a1=4、a2=2、a3=1 时,q= ,an=4· ) . ( 2 2 (2)∵{an}是等比数列,∴(S2m-Sm)2=Sm· 3m-S2m),即 202 (S =10· 3m-30)得 S3m=70. (S

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(3)a3+a6+a9+?+a99 是数列{an}的前 99 项中的一组, 还有 另外两组,它们之间存在着必然的联系. 设 b1=a1+a4+a7+?+a97,b2=a2+a5+a8+?+a98,b3= a3+a6+a9+?+a99, 则 b1q=b2,b2q=b3 且 b1+b2+b3=56, 56 2 ∴b1(1+q+q )=56,即 b1= =8,∴b3=b1q2=32. 1+2+4 1 n-1 n-1 【答案】 (1)2 或 4· ) ( (2)70 (3)32 2

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题型 4 等比数列的综合问题 例 4 设等比数列{an}的公比为 q, n 项和 Sn>0(n=1,2?). 前 (1)求 q 的取值范围; 3 (2)设 bn=an+2- an+1,记{bn}的前 n 项和为 Tn,试比较 Sn 2 和 Tn 的大小.

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【解析】 (1)因为{an}是等比数列, Sn>0,可得 a1=S1>0,q≠0.

a1?1-qn? 当 q=1 时,Sn=na1>0;当 q≠1 时,Sn= >0, 1-q 1-qn 即 >0(n=1,2,?), 1-q ?1-q<0, ? 上式等价于不等式组? (n=1,2,?),① ?1-qn<0, ?
?1-q>0, ? 或? ?1-qn>0. ?

(n=1,2,?).②

解①式得 q>1;解②,由于 n 可为奇数,可为偶数,得-1 <q<1.综上所述,q 的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).

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3 3 3 2 2 (2)由 bn=an+2- an+1 得,bn=an(q - q),Tn=(q - q)Sn. 2 2 2 3 1 2 于是 Tn-Sn=Sn(q - q-1)=Sn(q+ )(q-2). 2 2 又 Sn>0,且-1<q<0 或 q>0,则 1 当-1<q<- 或 q>2 时,Tn-Sn>0,即 Tn>Sn; 2 1 当- <q<2 且 q≠0 时,Tn-Sn<0,即 Tn<Sn; 2 1 当 q=- 或 q=2 时,Tn-Sn=0,即 Tn=Sn. 2

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错解辨析 例 5{an}是首项为 1 的正项数列,且(n+1)a2+1-na2+an+1an n n =0(n=1,2,3,?),则它的通项公式是 an=__________. 【错解】 ∵(n+1)a2+1-na2+an+1·n=0 a n n ∴(an+1+an)[n(an+1-an)+an+1]=0 即(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0 an+1 n ∵an>0,∴an+1+an>0,∴(n+1)an+1=nan,∴ = , an n+1 n ∴{an}是以 1 为首项, 为公比的等比数列. n+1 n n-1 ∴an=1· ( ) . n+1

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an+1 n 【错因】 以上解答错在由“ = ”认为它是等比数 an n+1 an+1 列,其实,由 =q 得{an}为等比数列的条件不仅仅是一种形 an n 式,而是这里的 q 必须是一非零常数,而 显然不是常数,所 n+1 以解答错误.

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【正解】 ∵(n+1)a2+1-na2+an+1an=0 n n ∴(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0 ∵an>0,∴an+1+an>0 an+1 n n ∴ = ,即 an+1= a an n+1 n+1 n n-1 n-1 n-2 ∴an= a = · a n n-1 n n-1 n-2 n-1 n-2 n-1 n-2 2 =?= · ?a3= · ? a n n-1 n n-1 3 2 n-1 n-2 2 1 1 = · ? ·= n n-1 3 2 n 1 ∴数列的通项公式为 an= . n
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